第七讲：高阶偏导数、极值11题

f yx

f yy
dy ) dx


fy(
f xx

f xy
dy ) dx
fx(
( f y )2
f yx

f yy
dy ) dx


(
1 f y )3
[(
f
y
)2
f xx

2
fx
f
y
f xy

(
fx
)2
f
yy ]

0
y = y(x) 是线性函数
f (x , y) = c 为一直线
2°极值 、最值 1、局部极值
x
x2
2u x 2

2xy
2u xy

y2
2u y 2

0
可化为
2u
2 0
, 其中 u 具有连续的二阶偏导数
解 把ξ,η看作中间变量
u x

u



x

u



x


y x2

u

u u u 1 u u y y y x
2u



y

2u
2


y
1 2u 2 2u 2u
x2 2 x 2
2u xy


1 x2
[ u


y(
2u
2


y

2u



y
)]
1 u y 2u y 2u
x2 x3 2 x2
fx a , f y b , fxx 0 , fxy 0 , f yy 0
( f y )2 fxx 2 fx f y fxy ( fx )2 f yy 0
“ ” 只需证明由 f (x , y) = c 确定的函数 y = y(x) 有 y''(x) 0
两边再对 x 求导得
( f11
f12

y
z x
)

2z y[ x 2
f2

z x
(
f21

(1)

f
22

y
z x
)]

0
将 z 代入解得 x
2z x 2

y(
1 f2
)3
[(
f
2
)2
f11 ( f1)2
f22 2 f1 f2 f12]
例5 证明: 当 y , y 时 , 方程
1 (2) x r 2 2x2
uxx r2 x
r3
r
r4
r2 2y2 uyy r 4
3r 2 2r 2 1 uxx uyy uzz r 4 r 2
r2 2z2 uzz r 4
例2
设
z

f (x2y ,
y )
,求
2z
x
xy
解
z x
例9 (练习九/六) 设 f ( x, y) eay( x2 2x 2 y) 有一
驻点为 M0 = (1 , 1) , (1) 求常数 a 的值 (2) 研究函数在该点处是否取得极值 ？
解 (1) f (1,1) { eay(2x 2) , eay(2 a(x2 2x 2 y))} 0
解得可能的最值点为:
11
11
P1 ( 2 , 2 , 0) ,
P2
( , , 0) 22
比较
f
l P1
f 2 ,
l P2
2
知
11 P1 ( 2 , 2 , 0)
为所求的点
例11 (练习九/十三) 在曲面 : x y z 1 ,
上作一个切平面 , 使它与三个坐标面所围成的
代入原方程得:
y2
2u
2

0
2u
2 0
例6 在函数 u = f(x , y) 中 , 若令 x r cos , y r sin ,
试证 :
x2
2u x 2

2xy
2u xy

y2
2u y 2

r
2
2u r 2
解 把 x , y 看作中间变量
u r

u x

x r

u y

y r

cos

ux

sin

uy
2u r 2

cos
r
(ux
)

sin
r
(uy
)

cos
(uxx
x r

uxy
y r
)

sin
(uyx
x r

uyy
y r
)
cos2 uxx 2sin cos uxy sin2 uyy
2u
1 u
x2 y x ( x2 )
2 u 1 2u 2u


y[
x3



x2
(

2

x



x
)]
2 y u y2 2u

x3



x4
2
2u y 2

1 x
2u
( 2


y

2u



y
)

f1 2xy
f2(
y x2
)

2
xyf1

y x2
f2
2z xy

y (2xyf1)
x
(
y x2
f2)

2 x[
f1
y(
f11x 2

f12
1 )] x
1 x2
[
f2

y(
f21x2

f22
1 )] x
2xf1
1 x2
f2 2x3 yf11
f { 2x , 2 y , 2z }{ 1 , 1 , 0 } 2( x y)
l M
22
构造拉格朗日函数
L( x, y, z,) 2( x y) (2x2 2 y2 z2 1)
Lx 2 4x , Ly 2 4y , Lz 2z 2x2 2y2 z2 1
例8 在函数 z = f (x , y) 具有二阶连续偏导数 , 且 f 0 , 试证: 对任意的常数 c , f (x , y) = c 为一
y
直线的充要条件是
( f y )2 f xx 2 f x f y f xy ( f x )2 f yy 0
解 “ ” 设 f (x , y) = c 为一直线 , 则有 f (x, y) ax by d
(1,1)
ea (2 a) 0 a 2
(2) 此时 fx e2 y (2x 2) , f y e2 y (2 2( x2 2x 2 y))
fxx 2e2 y , fxy 4e2 y ( x 1) , f yy 4e2 y (2 x2 2x 2 y)
yf1 xzy2 f11 3yzf12 2 yx2 f31 6xf32
例4 设 z z(x, y) 由
f ( y x, yz) 0 确定 , 求
2z x 2
解 将方程两边对 x 求导 ( z 是 x , y 的函数 ) 有
zfຫໍສະໝຸດ f2 y x0

z f1 x yf2
yf12
y x3
f22
例3 (练习九/二) 设 u f (xyz , 2 y 3z , x2 y2 ) , 且 f C2 , 求 2u
xz
解 ux f1 yz f3 2x yzf1 2xf3
uxz y[ f1 z( f11 xy f12 3)] 2x( f31 xy f32 3)
代入 x y z 1 x y z 1 9
P (1 , 1 , 1) 是唯一可能的最值点 , 由于问题 999
本身最大值存在 , 所以在 P 点处体积 V 最大
切平面方程:
x yz 1 9
D(1,1) 2e2 0
0 4e2
8e4
0
驻点 M0 不是极值点
2、条件极值 最值
例10 在椭球面 2x2 2 y2 z2 1 上求一点 , 使
函数 f (x, y, z) x2 y2 z2
在该点沿
l {1,1,0}
方向的方向导数最大
解 l { 1 , 1 , 0 } 设所求点为 M = ( x , y , z ) 22
解 当 (x, y) 0 时 , y3( y2 x2)
fx(x, y) (x2 y2)2
xy2(3x2 y2 ) f y(x, y) (x2 y2)2
f (0 x,0) f (0,0)
f
x
(0,0)

lim
x0
x
0
f y (0,0)
lim
y0
f (0,0 y) y

r
2
2u r 2

(r
cos
)2
uxx

2r
2
sin
cos

uxy

(r
sin
)2
uyy
x2uxx 2xyuxy y2uyy
例7 设 f (x, y)
xy3 x2 y2
,
( x, y) (0,0) ,求
f xy(0,0) ,
f yx(0,0)
0 , (x, y) (0,0)
f (0,0)
0
f xy(0,0)
lim
y0
f x (0,0 y) y
f x (0,0)

lim
y0
(y)3(y2 (0 y2 )2
0)

1 y

1
f yx(0,0)
lim
x0
f y (0 x,0) x
f y (0,0)
lim 0 0 0 x0 x
将 f (x , y) = c 两边对 x 求导有
dy f x f y dx 0
dy f x ( x, y) dx f y ( x, y)
d2y dx 2


d dx
(
fx
)
fy ( fy
fx )2
d dx
(
f
y
)

fy(
f xx

f xy
dy ) dx
fx(
( f y )2
V 1 xyz 6
构造拉格朗日函数: L xyz ( x y z 1)
yz
Lx 2
x2
0 x
xz
Ly 2
y2
0 y
xy
Lz 2
z2
0 z
x y z 1
yz , xz , xy x y z
四面体体积最大 , 求切平面方程
解
任取 M = ( x , y , z ) , 法向:
n{
1
,
1
,
1}
xy z
切平面: 1 ( X x) 1 (Y y) 1 (Z z) 0
x
y
z
即 X Y Z 1 x yz
截距: a x , b y , c z
第七讲 高阶偏导数、极值
1°高阶偏导数的计算
例1 (练习九/一(2)) 设 u ln r , r x2 y2 z2 ,
求 uxx uyy uzz
解
1 r 1 x x ux r x r r r 2
1 r y uy r y r 2
1 r z uz r z r 2