常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式
⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，2
1)1(x x
-
='，x
x 21
)(='。

⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。

⑷ x x 1)(ln =
'；一般地，)1,0( ln 1
)(log ≠>=
'a a a
x x a 。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)
()()()()())()((
2
≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()
()()()g x g x g x ''=-。

3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式
（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4
3,2,),1( 1143
32
21αααα
；
（2） C x dx x +=⎰||ln 1； C e dx e x x +=⎰； )1,0( ln ≠>+=
⎰a a C a
a dx a x x
； （3）⎰
⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
⑴
⎰⎰⎰
+=+b
a
b a
b
a
dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121
⑵ 分部积分法
设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
⎰⎰-=b
a
b a
b
a
x du x v x v x u x dv x u )()()
()()()(
6、线性代数 特殊矩阵的概念
（1）、零矩阵 ,00002
2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 0000
222112
11 下三角形矩阵⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211转置后⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n
n n T a a a a a a a a a A 212221212111
6、矩阵运算 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f e
d c b a B A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h g
f e
d c b a AB 7、MATLAB 软件计算题
例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
例：试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(x x y +=的一阶导数y '的命令语句。

>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y)
例11 试写出用MATLAB 软件计算定积分⎰2
1
d e 13
x x
x 的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用MATLAB 软件计算定积分
⎰
x x
x d e 13
的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y)
MATLAB 软件的函数命令
典型例题
例1 设某物资要从产地A 1，A 2，A 3调往销地B 1，B 2，B 3，B 4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：
（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
找空格对应的闭回路，计算检验数： 11λ＝1， 12λ＝1， 22λ＝0， 24λ＝－2 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为
1 调整后的第二个调运方案如下表：
求第二个调运方案的检验数： 11λ＝－1 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为
2 调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
求第三个调运方案的检验数：
12λ＝2， 14λ＝1， 22λ＝2， 23λ＝1， 31λ＝9， 33λ＝12
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）
例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300
元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。

2. 写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
2．解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
例3已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101111412210101C B A ，，，求：T C AB + 解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+3612201116012101111412210101C AB 例4 设y ＝(1＋x 2
)ln
x ，求：y '
解：x
x x x x x x x y 2
2
2
1ln 2))(ln 1(ln )1(++='++'+='
例5 设x
y x
+=1e ，求：y '
解：2
2)
1(e )1()1(e )1()e (x x x x x y x
x x +=+'+-+'=' 例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万
元，销售该产品q 百台的收入为R (q )＝4q －0.5q 2
（万元）。

当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？
解：产量为q 百台的总成本函数为：C (q )＝q ＋2
利润函数L (q )＝R (q )－C (q )＝－0.5q 2
＋3q －2 令ML (q )＝－q ＋3＝0 得唯一驻点 q ＝3（百台） 故当产量q ＝3百台时，利润最大，最大利润为
L (3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）
例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数q
q q C 1000000000
40)(+
=
令010********
401)(2=-=
'q
q C 得定义域内的唯一驻点q ＝200000件。

即经济批量为200000件。

例9 计算定积分：⎰
+10
d )
e 3(x x x
解：
2
5e 3)e 321(d )e 3(|1021
-=+=+⎰x x x x x 例10 计算定积分：⎰+3
1
2d )2
(x x
x
解：
3ln 23
26
|)|ln 231(d )2(|3133
1
2+=+=+⎰x x x x x
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数e x
，ln
x ，x 在MATLAB 软件中相应的命令函数exp(x)，
log(x)，sqrt(x)；
2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
c x a x x a a
++=
+⎰1
11d （a ≠－1） c x x x +=⎰
e d e c x x x +=⎰||ln d 1
7. 记住两个函数值：e 0＝1，ln
1＝0。

模拟试题
一、单项选择题：（每小题4分，共20分）
1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

(A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过
2．某物流公司有三种化学原料A 1，A 2，A 3。

每公斤原料A 1含B 1，B 2，B 3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A 2含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A 3含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。

每公斤原料A 1，A 2，A 3的成本分别为500元、300元和400元。

今需要B 1成分至少100公斤，B 2成分至少50公斤，B 3成分至少80公斤。

为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A 1，A 2，A 3的用量分别为x 1公斤、x 2公斤和x 3公斤，则目标函数为（ D ）。

(A) max S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3 (B) min S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (C) max S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (D) min S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3
3. 设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=721,7421x B x A ，并且A ＝B ，则x ＝（ C ）。

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
4．设运输某物品q 吨的成本（单位：元）函数为C (q )＝q 2
＋50q ＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。

(A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000
5. 已知运输某物品q 吨的边际收入函数为MR
(q )，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。

(A)
)0(d )(300
100
C q q MR +⎰
(B) ⎰100
300d )(q q MR (C) ⎰q q MR d )(
(D)
⎰300
100d )(q q MR
二、计算题：（每小题7分，共21分）
6．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101111412210101C B A ，，，求：AB ＋C 解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+3702210116012101111412210101C AB 7. 设3
1ln x x
y +=
，求：y ' 解：2
32
3233
3)1(ln 31)1()1()(ln )1()(ln x x x x x x x x x x y +-+=+'+⋅-+⋅'='
8. 计算定积分：⎰+1
3d )e 2(x x x
解：
4
7e 2)e 241(d )e 2(|1
041
03-=+=+⎰x x x x x 三、编程题：（每小题6分，共12分）
9. 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB 软件计算定积分
⎰
10
d e x x x 的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1)
四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解： 库存总成本函数q
q q C 100000000040)(+= 令010********
401)(2=-=
'q
q C 得定义域内的惟一驻点q ＝200000件。

即经济批量为200000件。

12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A ，B ，C 三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。

每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。

又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。

试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行）。

解：设生产甲产品1x 吨，乙产品2x 吨。

线性规划模型为： 2143max x x S +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0
,38262122121x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear; >> C=-[3 4];
>> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2. 某物流公司有三种化学产品A 1，A 2，A 3都含有三种化学成分B 1，B 2，B 3，每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B 1成分至少100斤，B 2成分至少50斤，B 3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。

解：设生产1A 产品1x 公斤, 生产2A 产品2x 公斤, 生产3A 产品3x 公斤,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥++≥++≥++++=0,,803.06.01.0504.03.02.01003.01.07.0400300500min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x S
3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。

生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。

生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。

该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。

假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。

试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行出结果）
解：设生产桌子1x 张，生产椅子2x 张
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0,88012201000
14101012max 2121212
1x x x x x x x x S
MATLAB 软件的命令语句为： >> clear;
>> C=-[12 10];
>> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000；880]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D 四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C 机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D 机床加工3工时、3工时、2工时。

又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。

试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产甲产品1x 件，乙产品2x 件。

线性规划模型为： 2186max x x S +=
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,1400
2180051200
32150034212
121
21x x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear; >> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];
>> B=[1500；1200；1800；1400]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C 三种产品。

企业现有甲原料30吨，乙原料
50吨。

每吨A 产品需要甲原料2吨；每吨B 产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C 产品需要乙原料4吨。

又知每吨A,B,C 产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。

试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产A 产品1x 吨，B 产品2x 吨，C 产品3x 吨。

线性规划模型为：
3215.023max x x x S ++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+0
,,50423023213221x x x x x x x
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30；50];
>> LB=[0;0；0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
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