2024年上海市第八中学数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】

2024年上海市第八中学数学九年级第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若关于x 的分式方程3144x m x x ++=--有增根，则m 的值是（）A ．0或3B ．3C ．0D ．﹣12、（4分）一元二次方程x 2＝x 的根是()A ．1x ＝0，2x ＝1B ．1x ＝0，2x ＝－1C ．1x ＝2x ＝0D ．1x ＝2x ＝13、（4分）将下列多项式因式分解，结果中不含因式x －1的是()A ．x 2－1B ．x 2＋2x ＋1C ．x 2－2x ＋1D ．x(x －2)＋(2－x)4、（4分）下列图象不能反映y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）数据3，2，0，1，1-的方差等于（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6、（4分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当90B ︒∠=时，如图1，测得AC=2，当60B ︒∠=时，如图2，则AC 的值为（）
A ．
B ．
C ．2
D ．7、（4分）若关于x 的不等式组3428512x x x a x +≤+⎧⎪
⎨+-⎪⎩＜有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程3111y a y y ---=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（）A ．12B ．14C ．21D ．338、（4分）用一些相同的正方形，摆成如下的一些大正方形，如图第（1）个图中小正方形只有一个，且阴影面积为1，第（2）个图中阴影小正方形面积和3；第（3）个图中阴影小正方形面积和为5，第（9）个图中阴影小正方形面积和为（）A ．11B ．13C ．15D ．17二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知一次函数y=bx+5和y=﹣x+a 的图象交于点P （1，2），直接写出方程5
bx y y x a
-=-⎧⎨+=⎩的解_____．
10、（4分）方程2
3x －=-1的根为________
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正
方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．12、（4分）如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE ⊥BC 于E ，连接OE ，若∠ABC=140°，则∠OED=_____．13、（4分）若关于x 的分式方程333x a x x +--=2a 无解，则a 的值为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，ABCD 的一个外角为38，求A ∠，B Ð，D ∠的度数.15、（8分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表售价x （元）152025･･････
日销售量y （件）252015･･････若日销售量y 是销售价x 的一次函数.
（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润.
16、（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝45°，E 、F 分别在CD 和BC 的延
长线上，AE ∥BD ，∠EFC ＝30°，AB ＝1．求CF 的长．17、（10分）计算：)18、（10分）如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 分别在AB 、BC 上（AE ＜BE ），且∠EOF ＝90°，OE 、DA 的延长线交于点M ，OF 、AB 的延长线交于点N ，连接MN ．（1）求证：OM ＝ON ；（2）若正方形ABCD 的边长为6，OE ＝EM ，求MN 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB AE =，连接CE 交AD 于点F ，若CF 平分BCD ∠，5AB =，则BC =________．
20、（4分）甲、乙两人面试和笔试的成绩如下表所示：
候选人甲乙
测试成绩（百分制）面试成绩8692
笔试成绩9083某公司认为，招聘公关人员，面试成绩应该比笔试成绩重要，如果面试和笔试的权重分别是6和4，根据两人的平均成绩，这个公司将录取________。

21、（4分）如图，数轴上点O 对应的数是0，点A 对应的数是3，AB ⊥OA ，垂足为A ，且AB ＝2，以原点O 为圆心，以OB 为半径画弧，弧与数轴的交点为点C ，则点C 表示的数为_____．22、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝CD ；其中正确的是_____（填序号）23、（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，把ABC ∆绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到A B C '''∆，B C ''交AB 于点E ，若AE BD =，则DE 的长是________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：BE=AD ；（2）求∠BFD 的度数．25、（10分）先化简，再求值:2221()121a a a a a a +-÷--+其中a ＝1226、（12分）某校举办了一次趣味数学党赛，满分100分，学生得分均为整数，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90.组别平均分中位数方差甲组68a 376乙组b 70（1）以生成绩统计分析表中a ＝_________分，b ＝_________分.（2）小亮同学说:“这次赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上！”双察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生?并说明理由。

(3)计算乙组成的方差，如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会进择哪一组?并说明理由。

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：3144x m x x ++=--方程两边同乘（x-4）得3()4x m x -+=-∵原方程有增根，∴最简公分母x-4=0，解得x=4，把x=4代入3()4x m x -+=-，得3(4)44m -+=-，解得m=-1故选：D 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2、A 【解析】移项后用因式分解法求解．【详解】x 2＝x
x 2-x=0,
x(x-1)=0,
x 1=0或x 2=1.
故选：A.
考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3、B 【解析】将各选项进行因式分解即可得以选择出正确答案．【详解】A.x 2﹣1=（x+1）（x-1）；B.x 2+2x+1=（x+1）2;C.x 2﹣2x+1=（x-1）2;D.x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）=（x-2）（x-1）；结果中不含因式x-1的是B ；故选B.
4、C 【解析】解：A ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，不符合题意；B ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，；不符合题意C ．当x 取一值时，y 没有唯一与它对应的值，y 不是x 的函数，符合题意；D ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，不符合题意．故选C ．
5、C 【解析】先计算这5个数据的平均数，再根据方差公式计算即可．【详解】解：这5个数的平均数=（3+2+0+1－1）÷5=1，所以这组数据的方差=()()()()()222221
312101111125⎡⎤-+-+-+-+--=⎣⎦．
故选：C ．
本题考查的是方差的计算，属于基础题型，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．6、D
【解析】
图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【详解】如图1，∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，连接AC ，则AB 2
＋BC 2
＝AC 2，∴AB ＝BC ，如图2，∠B ＝60°，连接AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴AC ＝AB ＝BC ．本题考查正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．7、B 【解析】先解不等式组，根据有5个整数解，确定a 的取值2＜a≤9，根据关于y 的分式方程，得y=a-22，根据分式方程有意义的条件确定a≠4，从而可得a 的值并计算所有符合条件的和．【详解】解：3428512x x x a x +≤+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解①得：x≤4，
解②得：x ＞2-a 7，
∴不等式组解集为：2-a 7＜x≤4，
∵不等式组3428
512x x x a x
+≤+⎧⎪⎨+-<⎪⎩有且仅有5个整数解，即0，
1，2，3，4，
∴-1≤2-a
7＜0，
∴2＜a≤9，
-y y-1−a-3
y-1=1，
去分母得：-y+a-3=y-1，
y=a-2 2，
∵y有非负整数解，且y≠1，即a≠4，
∴a=6或8，
6+8=14，
故选B．
本题考查了一元一次方程组的解、分式方程的解，此类题容易出错，根据整数解的个数确定字母系数a的值，有难度，要细心．
8、D
【解析】
根据前4个图中阴影小正方形的面积和找到规律，然后利用规律即可解题．
【详解】
第（1）个面积为12﹣02＝1；
第（2）个面积为22﹣12＝3；
第（3）个面积为32﹣22＝5；
…
第（9）个面积为92﹣82＝17；
故选：D．
本题为图形规律类试题，找到规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
1
2 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【解析】
根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答即可．
解：∵一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），
∴方程组5bx y y x a -=-⎧⎨+=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩．故答案为为12x y =⎧⎨=⎩．10、1x =【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：23x =-+，解得：1x =，经检验1x =是分式方程的解，故答案为：1x =此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11、(【解析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】
∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB ，
由勾股定理得：，
由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 3=…，
∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45∘，∴B 1),B 2(−1,1),B 3,0)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B 2019的坐标为,0)本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.12、20°【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴DO =OB ，∵DE ⊥BC 于E ，∴OE 为直角三角形BED 斜边上的中线，∴OE =12BD ，∴OB =OE ，∴∠OBE =∠OEB ，∵∠ABC =140°，∴∠OBE =70°，∴∠OED =90°﹣70°=20°，故答案为20°．点睛：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE 为直角三角形BED 斜边上的中线是解题的关键．13、1或12【解析】分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．详解：去分母得：x-3a=2a （x-3），整理得：（1-2a ）x=-3a ，
当1-2a=0时，方程无解，故a=12；
当1-2a≠0时，x=312a
a --=3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x 的分式方程333x a
x x +-+=2a 无解，则a 的值为：1或1
2．
故答案为1或12．点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、142A ∠=o ，38B ∠=o ，38D ∠=【解析】利用已知可先求出∠BCD=110°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等以及邻角互补来求∠A ，∠B ，∠D 的度数．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠BCD ，∠B=∠D ，AB//CD，∵▱ABCD 的一个外角为38°，∴∠BCD=142°，∴∠A=142°，∠B=∠DCE=38°，∴∠D=38°．本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补．15、（1）一次函数解析式为y=-x+1；（2）每日所获利润为200元.【解析】分析：（1）已知日销售量y 是销售价x 的一次函数，可设函数关系式为y =kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0），代入两组对应值求k 、b ，确定函数关系式．（2）把x =30代入函数式求y ，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．详解：（1）设此一次函数解析式为y =kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0）．则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩．解得：k =﹣1，b =1．
即一次函数解析式为y =﹣x +1．
（2）当x =30时，每日的销售量为y =﹣30+1=10（件），
每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）．
点睛：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．
16、
【解析】首先证明四边形ABDE 是平行四边形，可得AB=DE=CD ，即D 为CE 中点，然后再得CE=4，再利用三角函数可求出HF 和CH 的长即可．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB DC =，//AE DB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，AB DE CD ∴==，即D 为CE 中点，2AB =，4CE ∴=，//AB CD ，45ECF ABC ∴∠=∠=，过E 作EH BF ⊥于点H ，4CE =，45ECF ∠=，EH CH ∴==，30EFC ∠=，FH ∴=CF ∴=．
本题考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
17、2018.
【解析】
分析：先提公因式2018，再用平方差公式计算即可.
详解：原式=20182-)2]=2018点睛：此题考查了实数的混合运算，提取公因式后利用平方差公式进行简便计算是解决此题的关键.18、（1）见解析；（2）MN .【解析】（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为6且E 为OM 的中点知OH =HA =3、HM =6，再根据勾股定理得OM =，由勾股定理即可求出MN 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OB ，∠DAO =45°，∠OBA =45°，∴∠OAM =∠OBN =135°，∵∠EOF =90°，∠AOB =90°，∴∠AOM =∠BON ，∴△OAM ≌△OBN （ASA ），∴OM =ON ；（2）如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为6，
∴OH =HA =3，
∵E 为OM 的中点，
∴HM =6，
则OM =，
∴MN =．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，根据CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果．
【详解】
解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC，
∴∠BCE=∠EFA，
∵BE∥CD，
∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠EFA，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF=AB=5，
∵AB=AE，AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴
1
2 AE AF
BE BC
==，
∴BC=2AF=1．故答案为：1．
本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平行四边形的对边平行，以等腰三角形的判定和性质．20、乙【解析】根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．【详解】甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10=87.6（分），乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10=88.4（分），因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故答案为乙．此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算.【解析】首先利用勾股定理计算出OB 的长，然后再由题意可得BO=CO ，进而可得CO 的长．【详解】∵数轴上点A 对应的数为3，∴AO ＝3，∵AB ⊥OA 于A ，且AB ＝2，∴BO ，∵以原点O 为圆心，OB 为半径画弧，交数轴于点C ，∴OC ，
．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO 的长．
22、①②③⑤
【解析】
根据三角形中位线定理得到EF ＝12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝1
2AC ，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2AC，
∵AB=AC，EF＝1
2AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC 2=2CD 2，∴CD ，∵AB=AC ，∴AB ＝CD ，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．23、2【解析】在Rt △ACB 中，5AB ==，由题意设BD=B′D=AE=x ，由△EDB′∽△ACB ，可得ED DB AC BC '=，推出43DE x =，可得453x x x ++=，求出x 即可解决问题。

【详解】解：在Rt ACB ∆中，5AB ==，由题意设BD B D AE x '===，∵EDB ACB '∆∆，∴ED DB AC BC '=，∴43DE x =，∴453x x x ++=，∴32x =，
∴2DE =，
故答案为2.
本题考查旋转变换、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题，所以中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）60°
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后根据SAS可证
△ABE≌△CAD，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
25、-2.
【解析】
先根据分式的运算法则进行计算化简，再把a＝1
2代入化简后的式中求值即可。

【详解】
解：原式
2
2
1(1)1
(1)(1)
a a a a a a a a
+--=⋅=
-+
当a=1
2时,2
1
a
a
-
=2
11
2
1
2
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=-2
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
26、（1）60，68；（2）小亮在甲组；（3）乙组的方差是116；乙组的方差小于甲组，选乙组同学代表学校参加复赛．
【解析】
（1）根据中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可求出a，b的值；（2）根据中位数的意义进行判断即可；
（3）根据方差公式先求出乙组的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【详解】
解：（1）甲组的中位数a=606060
2
+
=（分）；
乙组的平均数是：（50+60+60+60+70+70+70+70+80+90）÷10=68（分）；
故答案为：60，68；
（2）根据中位数判断，甲组中位数60分，乙组中位数70分，所以小亮是在甲组．
（3）乙组的方差是：1
10[（50-68）2+3×（60-68）2+4×（70-68）2+（80-68）2+（90-68）2]=116；∵乙组的方差小于甲组，
∴选乙组同学代表学校参加复赛．
本题考查了平均数、中位数及方差，熟练掌握平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．
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