高中数学选修1-2课时作业1：3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义
一、基础过关
1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限()
A．一B．二
C．三D．四
[答案] D
[解析]由i2＝－1，
z＝3－i，
对应点坐标为(3，－1)．
2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于() A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] D
[解析]∵0<m<1，
∴m＋1>0，－1<m－1<0，
故对应的点在第四象限内．
3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
[答案] C
[解析] A (6,5)，B (－2,3)，
∵C 为AB 的中点，
∴C (2,4)，
∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.
4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )
A ．实轴
B ．虚轴
C ．原点
D ．虚轴除去原点 [答案] B
[解析] a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．
5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．－1＋3i 或1＋3i
D ．－2＋3i
[答案] A
[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.
6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．
[答案] 2<k <6或－6<k <－2
[解析] ∵z 位于第三象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k 2－6<0，4－k 2<0， ∴2<k <6或－6<k <－2.
7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |.
解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
二、能力提升
8．若θ∈(3π4，5π4
)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] B
[解析] ∵θ∈(3π4，5π4
)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0. ∴选B.
9．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )
A ．虚轴
B ．虚轴除去原点
C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)
D ．C 中线段PQ ，但应除去原点
[答案] C
10.设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] B
[解析] 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2
－B ，sin A >cos B . cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A
<cos B －sin A <0，又tan B >0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.
11．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．
[答案] 2 5
12．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.
[答案] 2
[解析] ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
13.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x 轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5
－7<m <4
，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0， ∴⎩
⎨⎧
3<m <5
m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，
须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.
14.已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模
为2，求复数z .
解 根据题意可画图形如图所示：
设点Z 的坐标为(a ，b )，
∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，
∴a ＝－1，b ＝3，
即点Z 的坐标为(－1，3)，
∴z ＝－1＋3i.
三、探究与拓展
15．(1)满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
[答案] C
（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x
的最大值为________． [答案] 3
[解析] ∵|x －2＋y i|＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x
表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为 3.。