2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题
一、单选题1．抛物线2
14
y x =的焦点到准线的距离为（）A ．
18
B ．
14
C ．1
D ．2
【正确答案】D
【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由2
14
y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.
2．下列式子错误的是（）
A ．2
5
77C =C B ．3
2
3
544C =C +C C ．333
553
A =C A D ．43
56
A =4A 【正确答案】D
【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.
【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，25
77C =C ，
323
544C =C +C ，所以A 、B 正确；
对于C ，因为m m n n
m m
A C A =得m m n n m m A C A =，所以333
553A =C A ，所以C 正确.
对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创
=，43
56A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.
3．圆()()2
2
341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（
）
A ．相离
B ．内切
C ．外切
D ．相交
【正确答案】B
【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.
【详解】圆()()2
2
341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；
圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B
4．已知二项式1n
x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（
）
A ．405-
B ．405
C ．81-
D ．81
【正确答案】A
【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则1
1
(5)(52)55221
5
5
(1)3C (1)3C r r r r r
r r
r r
r r T
x
x
x
------+=-=-，
由题意
5312
r
-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为41
53C 405-=-．
故选：A ．
5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（
）
A B C D 【正确答案】B
【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.
【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以
11A D CC ⊥，
因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，
所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，
因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，
由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==
，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =
，所以1A C =，在1Rt ACD
中，1A C =
，1A D =
，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B
故选：
B.
6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）
A ．
7
4
B ．2
C ．
94
D ．
52
【正确答案】C
【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，
∴焦点1(0,4
F ，准线l 方程1
4y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，
设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，
如图所示，
∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，
当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94
，故选：C.
7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种
【正确答案】D
【详解】分两个步骤：先分配医生有33
6A =种方法，再分配护士有422
3
64233
3
90C C C A A =，由分步计数原理可得：42233
6423
33
3690540C C C A A A ⨯
=⨯=，应选答案：D ．
本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以3
3A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
得()
22
0OP OF F P +=
，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为
A ．
3
B 1
C
D 【正确答案】D
【分析】由()
220OP OF F P += ，得2OP OF =
，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的
定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．
【详解】由()
220OP OF F P += ，得2OP OF =
，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以
12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=
，解得c
e a
=
=故选：D ．二、多选题
9．已知双曲线2
2:14
x C y -=，则（）
A ．双曲线C
B ．双曲线
C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12
y x =±
D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC
【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.
【详解】解：双曲线2
2:14
x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=
，则2,1,a b c ===所以双曲线C
的离心率为c a
A 正确；
双曲线的焦点为()
到渐近线1
2
y x =±
1=，故B 正确，C 正确；
双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F
的距离为22PF c a ≥++
2，故D 不正确.故选：ABC.
10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）
A ．28y x
=B ．2
18
x y
=C ．()22
1044x y m m m
+=<<-D ．()
22
1044
y x m m m -=<<-【正确答案】BC
分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.
【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以
22
p
=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由2
18
x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B
正确；
对于选项C ：22
14x y m m
+=-，因为04m <<，所以40m -<，
所以原方程可化为22
14y x m m
-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，
所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线
()22
1044x y m m m
+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：22
14y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，
原方程可化为：22
14y x m m
+=-，
当4m m =-即2m =时，22
122y x +=表示圆，没有焦点
当4m m >-即m>2时，22
14y x m m
+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，
()222424c a b m m m =-=--=-
，焦点为(0,，不符合题意，
当4m m <-即02m <<时，22
14y x m m
+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，
()222
442c a b m m m =-=--=-，焦点为(
)
，不符合题意，
故选项D 不正确；故选：BC.
11．已知圆C 的方程为()()2
2
114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的
是（）
A ．直线l 恒过定点()2,1
B ．直线与圆相交
C ．直线被圆所截最短弦长为
D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC
【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定
点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.
【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组20
10x y -=⎧⎨-=⎩
，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；
对于B 项：由圆C 的方程()()22
114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；
对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最
短弦长为==C 正确；
对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.
12．已知椭圆1C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1
C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123
F MF π
∠=
，则下列说法正确的是（）
A ．
2
1
e e =B ．1234
e e =
C ．22
122
e e +=D ．22
1232
e e -=
【正确答案】AC
设双曲线的标准方程为22
112211
1(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，
可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则
2222
1()()4
m n m n mn a a +--==-，在
12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33
c m n mn m n mn π
=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2
e 【详解】解：设双曲线的标准方程为22
112211
1(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，
因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。

所以2
122
c b b ⋅⋅=，解得b c =，
所以22222a b c c =+=
，所以1c e a =
=
，不妨设点M 在第一象限，设12,MF m MF n ==，则12,2m n a m n a +=-=，
所以2222
1()()4
m n m n mn a a +--==-，
在12MF F △中，由余弦定理可得222
242cos
()33
c m n mn m n mn π
=+-=+-，
所以2222
1443()c a a a =--，即222143c a a =+，
两边同除以2c ，得22
12134e e =+
，解得2e =，
所以
2
1
e e =
，12e e =，22122e e +=，22
12
1e e -=-，故选：AC
关键点点睛：此题考查了椭圆与双曲线的定义及性质、余弦定理，解题的关键是设
12,MF m MF n ==，则12,2m n a m n a +=-=，得22
22
1()()4
m n m n mn a a +--==-，在由余弦定理
可得2222
42cos ()33
c m n mn m n mn π=+-=+-，从而得222143c a a =+，进而可求出2e ，考查计算
能力和数学转化思想，属于较难题三、填空题
13．某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有______种排法（数字作答）【正确答案】1440
【分析】利用特殊元素优先排列进行求解即可．
【详解】第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有2
4A 种排法；第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有5
5A 种排法，
共25
45A A 1440⋅=种排法.
故1440.
14．焦点在x 轴上的椭圆22
2125
x y a +=焦距为6，两个焦点为1F ，2F ，弦AB 过点1F ，则2ABF △的
周长为______．
【正确答案】
【分析】根据椭圆的方程和焦距求得a ，再由2ABF △的周长为4a 求解.【详解】解：焦点在x 轴上的椭圆22
2125
x y a +=焦距为6，
所以26c =，解得3c =，
所以225934a =+=，则a
所以2ABF △的周长为4a =
故15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．
【正确答案】
16
3
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，
又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121
,3
3
x x ==
所以12116||||3|33
AB x x =-=-=
解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103
x x +=
,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.
12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=
3
x x =+
故
163
本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
16．数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：22()()x a y b -+-A (x ，y )与点B (a ，b )之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程22820820x x x x ++-+|=4的解为_____.【正确答案】x =±
43
3
把已知式变形为2222(4)2(4)2x x ++-+|=4.其几何意义是动点(x ，2)到定点(-4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4，求出到定点(-4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4动点轨迹双曲线的标准方程，然后由(,2)x 是双曲线的上点可得原方程的解．
【详解】22820820x x x x ++-+，即2222(4)2(4)2x x ++-+|=4.其几何意义是动点(x ，2)到定点(-4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4，
满足动点(x ，y)到定点(-4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4的曲线为双曲线，∴2a =4，a =2，c =4，b 2=12，
∴双曲线的标准方程为22
412
x y -=1.
∵点(x ，2)在该双曲线上，∴24412
x -=1，解得x =±43
3.
故x 43
3
本题考查双曲线的定义，考查平方和的几何意义，用几何意义解方程，能避免繁琐的计算过程．四、解答题
17．已知二项式()2*
2N n
x n
⎛∈ ⎝
展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：
（1）求n 的值；
（2）展开式中的常数项．【正确答案】（1）10；（2）180.
【分析】（1）解方程012
56n n n C C C ++=即可求得n 的值；
（2）先求出二项式展开式的通项，令x 的指数位置为0即可求得k 的值，进而可得常数项.【详解】（1）因为前三项的二项式系数和是56，
所以012
56n n n C C C ++=，即()11562
n n n -++
=，
整理可得：21100n n +-=，解得：10n =，
（2）10
22x
⎛ ⎝展开式的通项为()15202101010221101022k k k k k k k k T C x
x C x -----+==，令5
2002
k -=可得：8k =，
所以展开式中常数项为8108
102
454180C -=⨯=.
18．已知曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线=1x -的距离相等.（1）求曲线C 的方程；
（2）若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且2,5FA FB ==，求原点O 到直线AB 的距离.
【正确答案】（1）y 2=4x ；（2）
5
（1）由题得曲线C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点的抛物线，且
12
p
=，故曲线C 的方程为24y x =；（2）由抛物线的焦半径公式得()1,2A ，(4,4)B -，进而得AB 的方程为240x y +-=，再根据点到直线的距离求解即可得答案.
【详解】（1）∵曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线=1x -的距离相等，∴曲线C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点的抛物线，且12
p
=，∴曲线C 的方程为24y x =.
（2）由抛物线的定义结合2FA =可得，A 到准线=1x -的距离为2，
即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得2y =，即()1,2A ，同理，由5FB =可得(4,4)B -，故直线AB 的斜率()
24214
k --=
=--，故AB 的方程为()221y x -=--，即240x y +-=，
由点到直线的距离公式可得，原点O 到直线AB
5
=
.本题考查抛物线的定义，焦半径公式，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是根据抛物线的定义掌握焦半径公式2
A p
AF x =+
，进而根据其求解A 的坐标.19．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
(1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
(2)在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【正确答案】(1)186(2)4320
【分析】（1）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．
（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，分两步，第一步先取球，第二步，再排，根据分步计数原理可得．
【详解】（1）设x 个红球y 个白球，5
27
0406
x y x y x y +=⎧⎪+≥⎪
⎨≤≤⎪
⎪≤≤⎩，因为,N x y ∈，所以23x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩．
∴符合题意的取法种数有233241
464646C C C C C C 186++=种．
（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相
邻，第一步先取球，共有32
46C C 60=种，
第二步，再排，先把两个白球全排列，再选2个红球捆绑在一起，和另外一个红球插空，共有
222
233A A A 72=，
根据分步计数原理可得，60724320⨯=种．
20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥
．
(1)求BC ；
(2)求二面角A PM B --的余弦值．【正确答案】
(2)
14
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0PB AM ⋅=
求得BC .
（2）利用向量法求得二面角A PM B --的余弦值.
【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥，四边形ABCD 为矩形，AD CD ⊥，
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，
设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =- ，(),1,0AM a =-
，
PB AM ⊥ ，则2210PB AM a ⋅=-+=
，
解得2
a =
，故2BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =
，则2AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
AP = ，
由1111020
m AM y m
AP z ⎧⋅=-
+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩
，取1x =
，可得)
m =
，
设平面PBM 的法向量为()222,,x n y z =
，2BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
1,1BP =- ，
由2222020
n BM x n BP y z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩
，取21y =，可得()0,1,1n = ，
设二面角A PM B --的平面角为θ，
则cos m n m n θ⋅=⋅ ，
由图可知，二面角A PM B --为锐角，所以二面角A PM B --
的余弦值为
14
.21．已知双曲线C
的渐近线为y =
，且过点(M ．(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线1y ax =+与双曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA 与OB 垂直，求a 的值以及弦长AB ．
【正确答案】(1)2231x y -=(2)1a =±
，AB =【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为223x y λ
-=
，代入(M 可求得λ，整理可得
结果；
（2）联立直线与双曲线的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，故可得122
23a x x a +=
-，12
22
3x x a -=-，利用OA OB ⊥
列等式可求得1a =±，然后利用弦长公式求AB 即可
【详解】（1
）由双曲线渐近线方程为y =，可设双曲线方程为：223x y λ
-=，
又双曲线过点(M ，321
λ∴=-=∴双曲线的方程为：2231
x y -=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22
131
y ax x y =+⎧⎨-=⎩，化为()
223220a x ax ---=()230a -≠．
∵直线1y ax =+与双曲线C 相交于A ，B 两点，∴()22
4830a a ∆=+->，化为26a <．
∴122
23a x x a +=
-，12
22
3x x a -=-（*）∵OA OB ⊥ ，∴0OA OB ⋅=
．∴12120x x y y +=，
又111y ax =+，221y ax =+，∴()
()2
1212110a x x a x x ++++=，
把（*）代入上式得
()222
2
2121033a a a a
-+++=--，化为2
1a =．满足0∆>．∴1a =±．由弦长公式可得
AB ==
22．过椭圆22
:1259
x y C +=右焦点F 的直线l 交C 于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且A 不在x 轴上．
(1)求12y y 的最大值；(2)若
1
4
AF FB
=
，求直线l 的方程．【正确答案】(1)
81
25
；
30y ±-.
【分析】（1）根据给定条件，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合函数性质求解作答.（2）由
1
4
AF FB
=
结合向量共线得214y y =-，再与（1）中的韦达定理联立求解作答.【详解】（1）椭圆22
:1259
x y C +=右焦点F 为()4,0，显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方
程为4x ky =+，
由22
12594
x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去x 整理得()22
92572810k y ky ++-=，因此12281925y y k =+，
当0k =时，2925k +取得最小值25，因此12y y 取得最大值8125
，所以12y y 的最大值是
8125
.（2）因为
14
AF FB
=
，即4FB AF =，则4F A B F =
，即有2211(4,)4(4,)x y x y -=--，因此214y y =-，
由（1）知21212
814925y y y k =-
=-+，1212723925
k
y y y k +=-=-+，
则
()
()
()22
2
2
24814925925k k k
=
++，解得k =，
所以直线AB 的方程为4x y =+30y ±-．方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。