数学同步必修二北师大版讲义：第二章 解析几何初步2.3 第1课时

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时直线与圆的位置关系
学习目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断 思考 如何判断直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系？ ★答案☆ 有两种方法． 方法一 (几何法)
圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2|
2＝2>r ＝1.故直线与圆相离．
方法二 (代数法)
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝1，
x ＋y －2＝0，该方程组无解．
故直线与圆相离．
梳理 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2位置关系的判定
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(√)
类型一直线与圆的位置关系的判断
例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；
②相切；③相离．
考点直线与圆的位置关系
题点由直线与圆的位置关系求参数的值或范围
解圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝
6
m2＋1
，圆的半径r＝2.
①若相交，则d ＜r ，即
6
m 2＋1
＜2， 所以m ＜－22或m ＞22； ②若相切，则d ＝r ，即6
m 2＋1
＝2，所以m ＝±22； ③若相离，则d ＞r ，即
6
m 2
＋1
＞2，所以－22＜m ＜2 2. 反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
考点 直线与圆的位置关系 题点 判断直线与圆的位置关系 ★答案☆ C
解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，则直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2一定相交．又直线y ＝kx ＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C. 类型二 切线问题
例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，
因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2
＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－15
8.
所以切线方程为－158x －y ＋15
2
－3＝0，
即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，
圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，
这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究
若本例的条件不变，求其切线长． 解 因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形， |AC |＝(3－4)2＋(1＋3)2＝17， 又|BC |＝r ＝1，
则|AB |＝|AC |2－|BC |2＝(17)2－12＝4， 所以切线长为4.
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1
k ，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率
不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程 ★答案☆ x ＋2y －5＝0
解析 点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0. 类型三 直线与圆相交问题 命题角度1 求弦长问题
例3 过圆x 2＋y 2＝8内的一点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 ★答案☆
30
解析 方法一 (交点法)
由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝8， 解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋152，1－152，B ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－152，1＋152.
∴|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－152－1＋1522＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋152－1－1522＝30. 方法二 (弦长公式)
由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0，
x 2＋y 2＝8， 消去y ，得2x 2－2x －7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72
.
∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1·12＋4·7
2
＝30.
方法三 (几何法)
由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0，
圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝2
2，
则有|AB |＝2r 2－d 2＝2
8－1
2
＝30. 反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求解． (2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|AB |＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． (3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2
，即|AB |＝2r 2－d 2
.
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；
(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长． 考点 圆的弦长问题 题点 求圆的弦长
(1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0，
直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C 内， ∴直线l 与圆相交．
(2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)， 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， 则与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2， ∴k l ＝12
，
∴直线l ：y －2＝1
2(x ＋1)，
即x －2y ＋5＝0.
设直线l 与圆交于A ，B 两点， |AB |＝2r 2－|OP |2＝28－5＝2 3.
∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2 3. 命题角度2 已知弦长求方程
例4 直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A ，B 两点，截得的弦长为45，求直线l 的方程． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求直线的方程 解 方法一 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y －5＝k (x －5)， 即kx －y ＋5(1－k )＝0.
如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，
|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半， 在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝1
2·45＝25，
∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5， ∴
|5(1－k )|
k 2＋1
＝5， 解得k ＝1
2
或k ＝2.
∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0. 方法二 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)， 且与圆相交于A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)两点．
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25，消去y ， 得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0， ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k >0.
又∵x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，
由斜率公式， 得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．
∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2
＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝
(1＋k 2
)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1＝45，
两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0， 解得k ＝1
2
或k ＝2，均符合题意．
故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.
反思与感悟 设直线方程时，注意别遗漏了斜率不存在的情况，应先验证斜率不存在时，是否符合题意．
跟踪训练4 已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求圆的方程 解 ∵圆心在直线x －3y ＝0上， 故可设其圆心为(3b ，b )，b ≠0， 由圆C 与y 轴相切可知，r ＝3|b |， 弦心距d ＝|b －3b |
2＝2|b |.
又∵弦长l ＝27，故l
2＝7.
∴(7)2＋(2|b |)2＝(3|b |)2， ∴b ＝±1，
故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.
1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．直线过圆心
D ．相离
考点 直线与圆的位置关系 题点 判断直线与圆的位置关系 ★答案☆ B
解析 圆心到直线的距离为d ＝
11＋1＝2
2
<1， 又直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，故选B.
2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12
考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程 ★答案☆ D
解析 圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0， 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为|7－b |
5＝1，
得b ＝2或12，故选D.
3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 考点 直线与圆的位置关系
题点 直线与圆的位置关系求参数值或范围 ★答案☆ C
解析 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a ,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则由d ≤r ＝2，得
|a ＋1|
2≤2，所以|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.
4．圆x 2＋y 2＝4截直线3x ＋y －23＝0所得的弦长为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D ．23 考点 圆的弦长问题 题点 求圆的弦长 ★答案☆ A
解析 圆心(0,0)到直线3x ＋y －23＝0的距离为
|－23|
(3)2＋12
＝3，则弦长为222－(3)2＝2.
5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，且|MN |≥23，则k 的取值范
围是________．
考点直线与圆的位置关系
题点已知直线与圆的位置关系求参数的值或范围
★答案☆(－∞，0]
解析因为|MN|≥23，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于22－(3)2＝1，即|k＋1|
≤1，解得k≤0.
k2＋1
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|.
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
一、选择题
1．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线x 0x ＋y 0y ＝R 2与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离
D ．不确定
考点 直线与圆的位置关系 题点 判断直线与圆的位置关系 ★答案☆ B
解析 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，所以x 20＋y 20＞R 2，圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝R 2
的距
离为|R 2|x 20＋y 20＜R 2
R
＝R ，所以直线与圆相交，故选B.
2．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离
D ．不能确定
考点 直线与圆的位置关系 题点 判断直线与圆的位置关系 ★答案☆ B
解析 方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0，ax ＋by ＝0只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，
则直线与圆只有一个公共点(0,0)，因此它们相切．故选B. 3．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( ) A ．E ≠0，D ＝F ＝0 B ．D ≠0，E ≠0，F ＝0
C ．
D ≠0，
E ＝
F ＝0 D ．F ≠0，D ＝E ＝0 考点 圆的切线问题 题点 由相切求圆的方程 ★答案☆ A
解析 由题意得，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 又圆过原点，所以F ＝0， 且半径为⎪⎪⎪⎪－E 2＝1
2D 2＋E 2－4F ， 化简可得E ≠0，D ＝F ＝0.
4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －5＝0 D ．x ＋y －3＝0
考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求直线的方程 ★答案☆ A
解析 由圆的一般方程，可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知，M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1，得k AB ＝1.故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.
5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．5 2
B ．10 2
C ．15 2
D ．202 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 ★答案☆ B
解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)． 故|EF |＝5，∴|BD |＝210－(5)2＝25， ∴S 四边形ABCD ＝1
2
|AC |·|BD |＝10 2.
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 ★答案☆ D
解析 由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|
k 2＋1＝1，
解得k ＝－43或k ＝－3
4
，故选D.
7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点 题点 ★答案☆ C
解析 因为直线x ＋y ＋1＝0与圆相交且圆心到直线的距离为半径的一半，所以共有3个点满足题意，故选C. 二、填空题
8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 ★答案☆ 4±15
解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|
a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |
＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22
，
解得a ＝4±15.
9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求圆的方程 ★答案☆ (x －3)2＋y 2＝4
解析 设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)．
由于圆过点(1,0)，则半径为r ＝|x 0－1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|x 0－1|
2.
由弦长为22可知，⎝ ⎛
⎭⎪
⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2， 解得(x 0－1)2＝4，
∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 故圆心坐标为(3,0)，半径为2， ∴所求圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.
10．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________． 考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 ★答案☆
7
解析 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 考点 题点
★答案☆ (－13,13)
解析 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |
13<1，∴－13<c <13.
三、解答题
12．已知圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程． 考点 题点
解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|
22＋12
＝4 5.所以r ＝2 5.
所以|2a ＋b ＋15|22＋12＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；
①
|2a ＋b －5|
22＋12
＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.
②
又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12
.
③
联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－2，
b ＝－1.
故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.
13．已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求： (1)直线l 的方程；
(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为85
5的圆的方程．
考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆相交求圆的方程
解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m ,2－n )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2)．
又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. (2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552
，其中d 为弦心距，d ＝35
，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5. 四、探究与拓展
14．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 ★答案☆ 32
解析 由题意可知过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．
15．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)设l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角． 考点 圆的弦长问题
题点 直线和圆位置关系的综合问题 (1)证明 由已知得直线l ：y －1＝m (x －1)，
所以直线l 恒过定点P (1,1)， 因为12＝1<5， 所以点P 在圆C 内，
所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋(y －1)2＝5，
mx －y ＋1－m ＝0，消去y 得
(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 则x 1，x 2是一元二次方程的两个实根， x 1＋x 2＝2m 2
m 2＋1，x 1x 2＝m 2－5m 2＋1.
因为|AB |＝1＋m 2|x 1－x 2| ＝1＋m 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 即17＝
1＋m 2·
16m 2＋20
1＋m 2
，
所以m 2＝3，m ＝±3，
所以直线l 的倾斜角为60°或120°.。