高三数学-2018届德阳中学高三数学试卷 精品

2018届德阳中学高三数学试卷 班级_________姓名________
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n +1＝3S n (n ≥1)，则下列结论正确的是( )
A 数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列
B 数列{a n }是等比数列
C 数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列
D 数列{a n }是等差数列
2 等差数列{a n }中,27,39963741=++=++a a a a a a ,则数列{a n }的前9项的和n S 是
( )
A 99
B 66
C 297
D 144
3.已知等差数列}{n a ，n S 表示前n 项的和，,0,0993<>+S a a 则n S S S ,,21中最小的是（ ）
A 4S
B 5S
C 6S
D 9S
4 若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 （ ） A x <y B x >y C x =y D x ≥y
5（理）设等比数列{}n a 中, 前n 项和为S n ,若n n S a a a a 212531)(3=++++- ,8321=a a a , 则n
n
n a S ∞→lim
=
A 0 B
2
1
C 2
D 8
6. 2003年3月.全世界爆发“非典” 科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“非典”病毒N 的同时能够自身复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“非典”病毒N 最多可生成M 的数值是（ ） A 1024 B 2048 C 2049 D 无法确定
7 数列{}n a 中，{}1,0+>n n n a a a 且是公比为)0(>q q 的等比数列，满足
211++++n n n n a a a a )(32N n a a n n ∈>++，则公比q 的取值范围是 （ ）
A 2
2
10+<
<q B 2
5
10+<
<q
C 2210+-<
<q D 2
5
10+-<<q
8 （理）数列{}
=
+++∈=+=→++)(lim *,,5
6
,51,21111n n x n n n n a a a N n a a a a 则中 （ ）
A
52 B 72 C 4
1 D 254
9 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1062a a a ++是一个定值，则下各数中也为定值
（ ）
A 6S
B 11S
C 12S
D 13S
10 （理）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率
为（ ）
A
56
1 B 701 C 3361
D
420
1
11. 把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2018的箭头方向依次为
12 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，
那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周 已知数列{}n x 满足
()112,n n n x x x n n N +-=-≥∈，如果()121,,0x x a a R a ==∈≠ ，当数列{}n x 的周期最小时，
该数列前2018项的和是
A 668
B 669
C 1336
D 1337
2018届高三数列数学试卷(一) 班级_________,姓名________ 选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分 13 等差数列{}n a 中，公差d ≠0，a 1，a 3 ，a 9 成等比数列，则
10
429
31a a a a a a ++++= ____ .
14.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则100S =_____
15一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,此等比数列的项数为____________________.
16 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,m m N >∈，且211210,3
8m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于_____________. 17 已知80
79--=
n n a n (n ∈N ＋)，则在数列{a n }的前50项中最大项的项数是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18 （12分）（理）已知：f (x )=
4
12
-x (x 2)，f (x )的反函数为g (x ),点A n (a n ,1
1+-
n a )在曲
线y =g (x )上(n ∈*N )，且a 1=1. (I)求y =g (x )的表达式； (II)证明数列{
2
1n
a }为等差数列；
(Ⅲ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅳ)设b n =
1
1
11++n n a a ,记S n =b 1+b 2+……+b n ，求S n .
19 （12分）（理）已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，
公比为a ，其中a ，+∈N b ，且2211a b a b a <<<<
（1）求a 的值；
（2）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；
（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3， +∈N m 的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T 是}{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T (+∈N n
20. （理）（10分） 已知函数223)(x ax x f -
=的最大值不大于6
1，又当.8
1
)(,]21,41[≥∈x f x 时
（1）求a 的值； （2）设.1
1
.),(,21011+<∈=<
<++n a N n a f a a n n n 证明
21`. (本题满分12分)有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A B 两方，开始时棋子放在A 方，根据下列① ② ③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2 3 4 5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A 方就不动，如果棋子在B 方就移至A 方
(1)求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A 方而掷第二次后在B 方的概率 (2)将骰子掷了n 次后，棋子仍在A 方的概率记为P n , 求P n
22 （理）(12分)设点n A (n x ，0)，1
(,2
)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n (n ∈N*)，其中a n ＝－2－4n －
1
12n -，n x 由以下方法得到：
x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1
上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：
y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离
(Ⅰ)求x 2及C 1的方程
(Ⅱ)证明{n x }是等差数列
2018届德阳中学高三数学试卷答卷
13 等差数列{}n a 中，公差d ≠0，a 1，a 3 ，a 9 成等比数列，则
10
42931a a a a a a ++++= _1613
___ . 14.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则100S =_2600____
15一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,此等比数列的项数为________8____________.
16 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,m m N >∈，且211210,3
8m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于_______10______. 17 9
18 36 （Ⅰ）由y =
4
12-x 得2214y x =
-，∴2
2
14y x +=
∵x <—2，∴2
1
4y
x +
-=，∴g(x )= 214x +-（x >0） (II)∵点A n (a n ,1
1+-
n a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，∴1
1+-
n a =g (a n )=2
14n
a +
-，并且a n >0
2
1
141n
n a a +
=∴
+，),1(4112
2
1
N n n a a n
n ∈≥=-
∴
+，∴数列{
2
1n
a }为等差数列
(III)∵数列{
2
1n
a }为等差数列，并且首项为
2
1
1a =1，公差为4，
∴
2
1n
a =1+4（n —1），∴3
41
2
-=
n a n ，∵a n >0，∴3
41-=n a n ，
(Ⅳ)b n ＝
1
111++n n a a =
4
3
4141
4341--+=
++-n n n n ,
∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =
43414 (45)
941
5--+++-+-n n =4
1
14-+n
19 解：（1）∵ b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ，
∴ ⎩⎨⎧+<<+.2，b a ab ab b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.
121
b b a b b a ， ∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-+<-+>.1221
11b a b a ， ∴ ⎩
⎨⎧<>41a a ，
…………4分
∴ a ＝2或a ＝3（a ＝3时不合题意，舍去） ∴a ＝2 …………5分
（2）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得 2)1(5-⋅=-+n b b m ∴ )12(1=+--m b n
∴ b ＝5 …………8分 （3）由（2）知35-=n a n ，125-⋅=n n b ， ∴ 2531-=-=-⋅n n m b a
∴ 251-=-⋅n n C ∴ n S n n 3)12(5--=，15(2
1
-=
n n T n ……10分 ∵ 211==T S ，22==T S …………11分
当n ≥3时，
]12
1
212[52---
=-n n T S n
n n ]12
121)11[(52---+=n n n
]12
121)1[523
21---++++=n n C C C n n n
]12
1
212)1(1[52=----++>n n n n n ∴ n T S > 综上得 n n T S ≥)(+∈N n …………14分
20 （1）解：由于223)(x ax x f -
=的最大值不大于,6
1
所以 .1,6
1
6)3(22≤≤=
a a a f 即 ① ………………3分 又,81)(]21,41[≥∈x f x 时所以1.813234,8
1832,81)4
1(,81)21
(≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥a a a f f 解得即. ② 由①②得.1=a ………………6分 （2）证法一：（i ）当n=1时，2101<
<a ，不等式1
1
0+<<n a n 成立；
因2,31
61)(0),3
2,0(,0)(12=<≤=<∈>n a f a x x f 故所以时不等式也成立. （ii ）假设)2(≥=k k n 时，不等式110+<<k a k 成立，因为2
2
3)(x x x f -=的
对称轴为,31=x 知]31,0[)(在x f 为增函数，所以由3
1
1101≤+<
<k a 得 )1
1
()(0+<<k f a f k ………………8分
于是有
,2
1)2()1(24212121)1(123110221+<+++-+=+-+++⋅-+<
<+k k k k k k k k k a k …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据（i ）（ii ）可知，对任何*
∈N n ，不等式1
1
+<
n a n 成立.…………14分
21 解：（1）将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A 方而掷第二次后在B 方的概率
P=
⨯6264=9
2
(2)设把骰子掷了n ＋1次后，棋子仍在A 方的概率为P n +1，有两种情况：
①第n 次棋子在A 方，其概率为P n ，且第n ＋1次骰子出现1点或6点，棋子不动，其概率为
3
1
62= ②第n 次棋子在B 方，且第n ＋1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为
6
5
∴)1(511n n n P P P -+=+，即)5(151--=-+n n P P ，P 0＝1，3
1)1(65310
01=-+=P P P ， 219
595
1-=-
-
+n n P P ， ∴{95-
n P }是首项为92951-=-P ，公比为2
1-的等比数列
∴1
)2
1(9295---=-n n P ⇒ 229)1(95-⋅-+=n n n P 22 解：（Ⅰ）由题意得()2
1111
,0,:7A C y x x b =-+， 设点(),P x y 是1C 上任意一点， 则
1||A P =
=
令()()()2
2
2
1
17f x x x x b =-+-+
则()()(
)()2
1
212727f x x x x b x '=-+-+-
由题意得()20f x '=，
即()()()2
221
2
2127270x x x b x
-+-+-=
又()22,2P x 在1C 上，2
22127x x b
∴=-+ 解得213,14x b ==
故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，
则||n A P =
=
令()()()
2
2
2
n n n
g x x x x a x b =-+++
则()()()()2
222n n n
n
g x x x x a x b x a '=-++++
由题意得()10n g x +'=
即()()()2
111
2220n n n n n
n n x x x a x b x
a +++-++++=
又
1
2
12n n n n n x a x b ++=++， ()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥，
即()
()1
112
20*n n n n n x x a +++-+=
下面用数学归纳法证明21n x n =-， ①当1n =时，11x =，等式成立；
②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，
则当1n k =+时，由()*知()
1
112
20k k k k k x x a +++-+=， 又11
242k k a k -=---，11
22112k k k k k x a x k ++-∴=
=++， 即1n k =+时，等式成立
由①②知，等式对*
n N ∈成立， 故{}n x 是等差数列。