高中数学 第二章 函数 2.2.1 第1课时 函数的单调性学案 苏教版必修1(2021年最新整理)

2018版高中数学第二章函数2.2.1 第1课时函数的单调性学案苏教版必修1
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2．2。

1 第1课时函数的单调性
1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．（重点）
2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)
3．会求函数的单调区间．(重点、难点）
[基础·初探］
教材整理1 单调性的定义
阅读教材P37，完成下列问题．
1．定义
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，区间I⊆A。

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f (x1）<f (x2)，那么就说y＝f (x）在区间I上是单调增函数，I称为y＝f （x)的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1〈x2时，都有f （x1)>f （x2），那么就说y ＝f (x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f （x）的单调减区间．
2．函数单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f （x）在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)
（1）所有函数在定义域上都具有单调性．（）
（2）若函数y＝f （x）在定义域上有f （1）＜f （2)，则函数y＝f (x）是增函数．( )（3）若函数f （x）在实数集R上是增函数,则有f （1)＜f （4）．( )
（4）若函数y＝f (x)在区间[1,3］上是减函数，则函数f （x）的单调区间是［1，3］．( )【解析】（1）y＝2在定义域上无单调性；(2)只根据f （1）〈f （2），无法确定f （x）
的单调性；(3)由f （x)在R上递增，可以得出f (1)<f （4)；(4）一个函数的增区间也是单调区间．
【答案】(1)×(2)×（3)√(4)×
2．下列说法正确的是________．(填序号）
①定义在(a,b)上的函数f （x)，若存在x1<x2，使f （x1）<f (x2），那么f （x）在（a，
b)上为增函数;
②定义在（a,b)上的函数f (x）,若有无穷多对x1，x2∈（a，b)，使得当x1〈x2时，有f (x1)<f （x2）,那么f (x)在（a，b）上为增函数；
③若f （x）在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f (x)在I1∪I2上也一定为增函数；
④若f （x)在区间I上为增函数,且f (x1）<f （x2）(x1，x2∈I)，那么x1<x2.
【解析】①②都是用部分x1和x2对应的函数值的大小来判断单调性，忽略了“任意”．③可举反例排除，如y＝－错误!在(－∞，0），（0，＋∞)上均递增，但在定义域上不具有单调性．
【答案】④
教材整理2 单调性的判断
阅读教材P38例1、例2,完成下列问题．
判断单调性的常用方法是图象法、定义法．
根据下列函数的图象，说明函数的单调性．
(1）一次函数y＝kx＋b，当k>0时,函数在R上单调递______，当k〈0时，函数在R上单调递______．
(2）反比例函数y＝错误!，当k〉0时，函数在(－∞,0)，（0,＋∞)上单调递______，当k<0时，函数在（－∞,0）,（0，＋∞）上单调递______．
(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a>0时，函数在错误!上单调递______，在错误!上单调递______，
当a〈0时，函数在错误!上单调递______，在错误!上单调递____．
【答案】(1)增减(2）减增（3)减增增减
[小组合作型］
利用函数图象求单调
区间
作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；(2)y＝－错误!；(3)f (x）＝错误!
【精彩点拨】在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．【自主解答】三个函数图象如图（1）（2)（3)．
（1) (2）(3）
(1）y＝x2－4的单调递减区间为（－∞,0），递增区间为（0，＋∞）．
(2)y＝－错误!的单调增区间为(－∞，0)，（0，＋∞），无递减区间．
（3）f （x）的单调增区间为(－∞,0),(2，＋∞)，递减区间为（0,2)．
1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升"或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开,或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
［再练一题]
1．函数f (x)＝－x2＋｜x｜(x∈R）的单调递增区间为________。

【解析】（1）f (x）＝－x2＋|x|＝错误!
图象如图所示：
∴f (x)的单调增区间为错误!,错误!。

【答案】错误!，错误!
函数单调性的判断与
证明
用定义证明函数f (x)＝错误!在(－1，＋∞）上是减函数．
【精彩点拨】解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．
【自主解答】证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则f （x1)－f （x2)＝错误!－错误!＝错误!。

∵－1＜x1＜x2,∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴
x
2
－x1
x
1
＋1x2＋1
＞0，即f (x1)＞f （x2),
∴y＝x＋2
x＋1
在(－1，＋∞)上是减函数．
用定义证明（判断）函数单调性的步骤
［再练一题］
2．证明函数f （x)＝错误!在（1，＋∞）上单调递增．
【证明】任取x1,x2∈（1,＋∞),且x1<x2，
f （x
1
)－f （x2)＝错误!－错误!＝错误!－错误!
＝（x1－x2）＋错误!＝(x1－x2）错误!.
∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1〉0。

又x1<x2,∴x1－x2〈0，
∴f （x1）〈f (x2）,
∴f （x）在(1，＋∞)上单调递增．
[探究共研型]
单调性的应
用
探究1
【提示】先判断函数f (x)在区间D上的单调性，如果函数f （x）在D上是增函数，当x1〈x2时，则f （x1）<f （x2）,如果f （x）在D上是减函数，结论则相反．探究2 如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？
【提示】能．利用函数单调性,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,即脱去f 符号，转化为自变量的大小关系．
已知函数f (x）是定义在[－2，2］上的增函数,且f （x－2)〈f （1－x)，则x的取值范围为________．
【精彩点拨】根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域．
【自主解答】∵f （x）是定义在[－2，2］上的增函数，且f （x－2)〈f （1－x)，∴x－2〈1－x,∴x<错误!。

又f (x）的定义域为[－2,2]，∴错误!
∴错误!∴0≤x≤3，综上，0≤x〈错误!。

【答案】错误!
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f (x）在给定区间上是增函数，则当x1〈x2时，f (x1）〈f (x2），当x1>x2时，f （x1）〉f （x2）；另一方面是逆向应用，即若y＝f （x)在给定区间上是增函数，则当f (x1）〈f （x2)时，x1<x2，当f (x1）〉f （x2）时，x1>x2。

当y＝f (x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围推出参数的范围．
[再练一题]
3．已知f (x）在R上为减函数且f (2m）≥f （9－m），则m的取值范围是________.
【解析】由题意可得2m≤9－m，
∴m≤3.
【答案】m≤3
1．已知函数f (x)的图象如图2。

2­1所示，则f (x）的单调减区间为________．
图2­2。

1
【解析】由题图知，f （x)在错误!上图象呈下降趋势,∴单调减区间为错误!.
【答案】错误!
2．下列四个函数中,在(0，＋∞）上是增函数的是________．
（1)f （x)＝－错误!；(2)f (x）＝x2－3x；(3）f （x）＝3－x;(4）f （x）＝－｜x｜.
【解析】函数f （x）＝－错误!的单调递增区间是(－∞，－1)，（－1，＋∞)，显然在（0，＋∞)上是增函数；函数f （x)＝x2－3x在错误!上单调递减,在错误!上单调递增；函数f （x)＝3－x在（0，＋∞)上是减函数；函数f (x)＝－｜x｜在(0，＋∞）上是减函数，故（2)(3）(4)错误．
【答案】（1)
3．若函数f (x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为________。

【解析】∵f （x)＝（k－2）x＋b在R上是减函数，
∴k－2＜0,
∴k＜2.
【答案】k＜2
4．已知函数f （x)＝错误!则f （x)的单调增区间为________．
【解析】 f (x）为分段函数，当x≥1时，f (x)单调递增，当x∈(－1,1）时，f （x)单调递减，当x≤－1时，f （x)单调递增．
【答案】[1，＋∞)，（－∞，－1]
5．已知函数f （x）＝x＋错误!＋2，x∈[1，＋∞）．
(1）判断函数f (x)在区间［1，＋∞)上的单调性；
（2)解不等式：f 错误!＜f （x＋1 008）．
【解】（1）设1≤x1＜x2,
f (x
1
）－f (x2)＝x1＋错误!－x2－错误!
＝（x1－x2）＋错误!
＝(x1－x2)错误!
＝（x1－x2)·错误!。

由1≤x1＜x2得
x
1
－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，
∴f (x1）－f (x2)＜0，
即f (x1)＜f (x2)，
∴f （x）在［1，＋∞）上为增函数．
（2）∵f （x)在［1，＋∞）上为增函数，
∴f 错误!＜f （x＋1 008)
⇒错误!
解得3
4
≤x＜错误!，
故原不等式的解集为错误!。