【100所名校】2019届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷三文科数学试题(解析版)

2019届云南省曲靖市第一中学 高三高考复习质量监测卷三文科数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．i 为虚数单位，若A ={0,i 2},B ={x | x <a }，且A ∩B ≠ϕ，则实数a 的取值范围是 A ． (0,+∞) B ． [0,+∞) C ． (−1,+∞) D ． [−1,+∞)
2．log 32，log 0.32，30.2
中最大的数是
A ． log 32
B ． log 0.32
C ． 0.30.2
D ． 30.2
3．下列说法正确的是
A ． ∀x ∈R,x 2>0”的否定是∃x 0∈R,x 02<0
B ． 命题“设a,b ∈R ，若a +b ≠4，则a ≠2或b ≠2是一个假命题
C ． “m ＝1”是“函数f(x)=m 2x m+2为幂函数”的充分不必要条件
D ． 向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(0,1)，则a ⃑在b ⃑⃑方向上的投影为5 4．若O （0，0），A （1，3），B （3，1），则sin∠AOB ＝ A ． 3
5 B ． 4
5 C ． −3
5 D ． −4
5
5．在△ABC 中，BD
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则λ+μ＝ A ． 1 B ． 1
2
C ． −1
2
D ． 1
4
6．已知函数f(x)=lgx ，则函数y =f(f(x)−1)的定义域为 A ． (−∞,10) B ． (0,10) C ． [−10,10] D ． (10,+∞)
7．将函数图象y =sinx 上所有点的横坐标缩短到原来的1
3倍（纵坐标不变），再将所得的函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到函数y =g(x)的图象．若y =g(x)是偶函数，则的φ可能取值为
A ． π
12 B ． π
6 C ． π
3 D ． 5π
12
8．函数f(x)=2|x |+1⋅sinx ⋅cos(2π−x)的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知x ＞0，y ＞0，lg4x +lg8y =lg8，则1
2x +1
3y 的最小值是 A ． 2
3
B ． 4
3
C ． 2
D ． 4
10．函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|ω|<π2
)的部分图象如图所示，则函数g(x)=|f(x)−3
π
φ|
的最小正周期为
A ． π
B ． 2π
C ． 4π
D ． π
2
11．设f(x)是定义在［－1，1］上的可导函数，f(0)=0，且f ′(x )=2+x 2，则不等式f(a)+f(1−2a)>0的解集为
A ． [0,1]
B ． [−1,1)
C ． (−1,1]
D ． [0,1)
12．已知定义在R 上的函数f(x)={lnx,x >1|x 2−x |,x ≤1
，若函数kf(x)=f(x)−ax 恰有2个零
点，则实数a 的取值范围是
A ． (−∞,−1)∪{0}∪(1
e ,+∞) B ． (−∞,−1)∪{0}∪(1
e ,1) C ． (−1,−1
e )∪{0}∪(1
e ,1) D ． (−1,−1
e )∪{0}∪(1
e ,+∞)
此
卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
二、填空题
13．与向量a ⃑=(12,−5)反向的单位向量e ⃑＝_______________。

14．若tan(α−β)=1,tanα=3，则tan2β＝_____________。

15．三个实数a ，b ，c 成等比数列，a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是____________。

16．若向量a ⃑=(sinα,1),b ⃑⃑=(sinα,−34)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，其中0°<α<90°，则sin(α+10°)[1−√3tan(α−10°)]＝______________
三、解答题
17．已知函数y =log a
(x+1)
−3(a >0且a ≠1）的图象恒过定点P ，二次函数y =f(x)的图象经
过点P ，且f(x)＞0的解集为（1，3）
（1）求f(x)的解析式
（2）求函数y =f(sinx),x ∈[0,
2π3
]的最值.
18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且sin C
2+cos C
2=1+√32
,C ∈(0,π
2),acosB +
bsinA =2
（1）求ΔABC 的外接圆的面积S ； （2）求a +b 的取值范围. 19．若函数f(x)=1
3
x 3+x 2−2
3
（1）若函数f(x)在区间(a,a +5)上存在极値，求实数a 的取值范围 （2）若函数f(x)在区间(a,a +5)上存在最小値,求实数a 的取值范围
20．设向量a ⃑=(x 1,y 1),b ⃑⃑=(x 2,y 2)，定义一种向量积:a ⃑⊗b ⃑⃑=(x 1x 2,y 1y 2)．已知m ⃑⃑⃑=
(2,2),n ⃑⃑=(π
3
,0)，点P 在y =sinx 的图象上运动，Q 是函数y =f(x)图象上的点，且OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃑⊗
OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+n ⃑⃑(O 为坐标原点）
（1）求函数y =f(x)的解析式；
（2）求函数y =f(−x)在x ∈[0,π]上的单调递减区间.
21．已知数f(x)=e x −a(x −1)−b ，其中a,b ∈R,e 为自然对数底数 （1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若a ＞0，函数f(x)≥0对任意的x ∈R 都成立，求a ＋b 的最大值.
22．在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为{x =4cosα+2y =4sinα
(α为参数），在以O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π
6(ρ∈R)。

（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△PAB 面积的最大值. 23．设函数f(x)=|x −a |+2x ，其中a ＞0 （1）当a =3时，求不等式f(x)≥2x +4的解集； （2）若不等式f(x)≤0的解集为{x | x ≤−2}，求a 的值。

2019届云南省曲靖市第一中学
高三高考复习质量监测卷三文科数学试题
数学答案
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先化简集合A，再结合数轴确定满足A∩B≠ϕ时实数a的取值范围.
【详解】
由A={0,i2}={0,−1},A∩B≠∅，知a>−1，故选C．
【点睛】
在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．D
【解析】
【分析】
先根据对数函数以及指数函数性质确定三个数与0，1的大小关系，再确定三者大小.
【详解】
因为0=log31<log32<log33=1，log0.32<log0.31=0，30.2>30=1，所以0.30.2最大，故选D．
【点睛】
比较大小时，往往借助于第三量，如0，1等，实际是研究数的取值范围.
3．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定确定A错误，根据逆否命题的真假确定B真假，根据幂函数定义求m 值，即可确定C真假，根据向量投影定义计算可确定D真假.
【详解】
“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”，A错误；
B中的命题的逆否命题为：若a=2，b=2，则a+b=4为真命题，B错误；
f(x)=m2x m+2为幂函数时，m=±1，可判断C正确；
a⃑在b⃑⃑方向上的投影为a⃑⃑ · b⃑⃑
|b⃑⃑|
=4
1
=4，D错误，故选C．
【点睛】
判断命题真假，一般需结合命题所涉及的知识，从定义、计算、等价等方面进行研究.
4．B
【解析】
【分析】
先根据向量数量积计算cos∠AOB，再根据三角函数平方关系求sin∠AOB.
【详解】
∵OA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1， 3)，OB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3， 1)，∴cos∠AOB=OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ · OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
|OA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑||OB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|
=3
5
，∴sin∠AOB=4
5
，故选B．【点睛】
本题考查利用向量数量积求夹角，考查基本求解能力.
5．C
【解析】
【分析】
先根据向量加减法表示BP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再根据向量表示唯一性确定λ，μ，即得结果.
【详解】
BP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1
2
BA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑+1
2
BD
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1
2
BA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑+1
4
BC
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1
2
AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑+1
4
(AC
⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=−3
4
AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑+1
4
AC
⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴λ=−3
4
,μ=
1
4
，λ+μ=−3
4
+1
4
=−1
2
，故选C．
【点睛】
本题考查向量表示，考查基本求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
根据对数函数真数大于零得不等式f(x)>1，解得函数定义域.
【详解】
由题意f(x)=lgx的定义域为(0， +∞)，在y=f(f(x)−1)中f(x)>1⇒x>10，故选D．【点睛】
本题考查对数函数定义域以及复合函数定义域，考查基本求解能力.
7．B
【解析】 【分析】
先根据函数图象变换得g(x)解析式，再根据g(x)是偶函数列方程，解得φ=k π3
+π
6，k ∈Z ，最
后结合选项确定结果.
【详解】
由题意可得g(x)=sin3(x +φ)，∵y =g(x)是偶函数，∴3φ=k π+π
2，k ∈Z ，则φ=
k π3
+
π6
，k ∈Z ，∴当k =0时，φ=π
6，故选B ．
【点睛】
三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以
也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y =Asin(ωx +φ)(x ∈R)是奇函数⇔φ=k π(k ∈Z)；函数y =Asin(ωx +φ)(x ∈R)是偶函数⇔φ=k π+π
2(k ∈Z)；函数
y =Acos(ωx +φ)(x ∈R)是奇函数⇔φ=k π+π
2(k ∈Z)；函数y =Acos(ωx +φ)(x ∈R)是偶函数⇔φ=k π(k ∈Z).
8．D 【解析】 【分析】
先化简f(x)，再研究函数奇偶性，最后根据(0， π)上函数值正负进行取舍. 【详解】
f(x)=2|x|+1 · sinx · cos(2π−x)=2|x|sin2x ，f(−x)=2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x =−f(x)，所以f(x)为奇函数，当x ∈(0， π)时，2|x|>0，sin2x 可正可负，所以f(x)可正可负，由上可知，故选D ．
【点睛】
本题考查函数图象与性质，考查基本分析与识别能力. 9．B 【解析】 【分析】
先化简条件得2x +3y =3，再利用基本不等式求最小值. 【详解】
lg4x
+lg8y
=lg8⇒2
2x+3y
=23
⇒2x +3y =3，12x +1
3y =(1
2x +1
3y )(2x +3y)×1
3=
13(3y 2x +2x 3y +2)≥13(2√3y 2x · 2x 3y +2)=43，当且仅当3y 2x =2x 3y 时取最小值4
3，故选B ． 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10．A 【解析】 【分析】
先根据图象求周期得ω，再根据点坐标求φ，最后根据g(x)图象确定周期. 【详解】 由图知T
4
=
7π12−π3
=π4
⇒T =π=
2πω⇒ω=2，点(π3
， 0)是五点作图的第二个点，则2×π
3
+
φ=π
2⇒φ=−π
6，∴g(x)=|f(x)−3
πφ|=|cos (2x −π
6)+1
2|，由图象知y =g(x)与y =cos (2x −π
6)+1
2
的最小正周期相同，均为T =
2π2
=π，故选A.
【点睛】
已知函数y =Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0)的图象求解析式 (1)A =
y max −y min
2
,B =
y max +y min
2.
(2)由函数的周期T 求ω,T =2πω
.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 11．D 【解析】 【分析】
由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】
因为f ′(x)=2+x 2，所以f (x )=2x +
x 33
+m,又f(0)=0，因此f (x )=2x +
x 33
，为[−1， 1]
上的奇函数和增函数，f(a)+f(1−2a)>0⇒f(a)>−f(1−2a)=f(2a −1)，则{−1≤a ≤1，
−1≤1−2a ≤1， a >2a −1
⇒0≤a <1，故选D ． 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(ℎ(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与ℎ(x)的取值应在外层函数的定义域内.
12．B
【解析】
【分析】
先作函数图象，再结合图象确定满足条件时实数a的取值范围.
【详解】
如图，分别作直线y=ax与曲线y=f(x)图象，
由直线y=ax与曲线y=f(x)的位置关系可得当a∈(−∞， −1)∪{0}∪(1
e
， 1)时有两个交点，即函数y=k(x)恰有两个零点，故选B．
【点睛】
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
13．(−12
13， 5
13
)
【解析】
【分析】
根据条件得e⃑=−1
|a⃑⃑|
 · a⃑，再计算得结果. 【详解】
e⃑=−1
|a⃑⃑| · a⃑=−1
13
(12， −5)=(−12
13
， 5
13
)．
【点睛】
本题考查向量模与共线向量，考查基本求解能力.
14．4
3
【解析】
【分析】
先根据两角差正切公式求tanβ，再根据二倍角正切公式求结果.
【详解】
tanβ=tan[α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)
1+tanαtan(α−β)
=3−1
1+3×1
=1
2
，∴tan2β=
2×1
2
1−(1
2
)
2
=4
3
．【点睛】
本题考查两角差与二倍角正切公式，考查基本求解能力.
15．[−3， 0)∪(0， 1]
【解析】
【分析】
先根据条件得ac=b2，a+c=3−b，再根据韦达定理构造方程，由判别式非负解得b的取值范围，不要忘记根据等比数列隐含条件得b≠0.
【详解】
由题意ac=b2，a+c=3−b，则a，c为方程x2−(3−b)x+b2=0的根，∴Δ=(3−b)2−4b2≥0⇒−3≤b≤1，由三个实数a，b，c成等比数列，则−3≤b≤1且b≠0．【点睛】
本题考查函数与方程以及等比数列性质，考查基本分析化解能力.
16．-1
【解析】
【分析】
先根据向量数量积为零得α=60°，再根据诱导公式、配角公式、二倍角正弦公式化简求值.
【详解】
∵a⃑⊥b⃑⃑，∴a⃑ · b⃑⃑=sin2α−3
4
=0⇒sin2α=3
4
，∵0°<α<90°，∴α=60°，
∴sin(α+10°)[1−√3tan(α−10°)]=sin70°(1−√3tan50°)=sin70°(1−√3sin50°
cos50°
)
=sin70°cos50°−√3sin50°
cos50°
=sin70°2sin(−20°)
cos50°
=−sin40°
cos50°
=−1．
【点睛】
本题考查向量数量积、诱导公式、配角公式、二倍角正弦公式，考查基本求解能力.
17．（1）f(x)=−x2+4x−3；（2）y min=−3，y max=0
【解析】
【分析】
(1)先根据对数函数性质得定点P，再根据二次不等式解集设二次函数解析式f(x)=m(x−1)(x−3)，代入P点坐标得m值，(2) 令sinx=t，则得关于t的二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，即得结果
.
【详解】
（1）∵y =log a (x +1)−3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(0， −3)， 由题意可设f(x)=m(x −1)(x −3)，m <0， ∵f(x)的图象过点P(0， −3)， ∴3m =−3，∴m =−1，
∴f(x)=−(x −1)(x −3)=−x 2+4x −3． （2）令sinx =t ，∵x ∈[0， 2π
3]，
∴0≤t ≤1，
则y =f(t)=−t 2+4t −3，0≤t ≤1． ∵f(t)在t ∈[0， 1]上是增函数，
∴当t =0，即x =0时，y min =f(0)=−3； 当t =1，即x =π
2时，y max =f(1)=0． 【点睛】
本题考查三个二次关系以及二次函数最值，考查基本求解能力. 18．（1）S =4π3；（2）(2， 4]
【解析】 【分析】
(1)先对sin C
2
+cos C
2
=
1+√32
平方化简得C =π
3
，再由正弦定理得acosB +bsinA =2RsinC =c ，
即得c =2，最后根据正弦定理得外接圆直径，即得圆面积.(2)由正弦定理化边为角得a +b =
4√3
3
(sinA +sinB)，再根据三角形内角关系消B 化简得√3sin (A +π
6)，最后根据A 角范围以及正弦
函数性质求值域.
【详解】
（1）∵(sin C
2+cos C 2)2
=1+sinC =1+
√3
2
， ∴sinC =
√32
， ∵C ∈(0， π
2)，∴C =π
3．
由正弦定理知：2RsinAcosB +2RsinBcosA =2Rsin(A +B)=2RsinC =c =2， ∴c
sinC =
√32
=
4√33=2R ⇒R =
2√3
3
，
∴S =πR 2=
4π3
．
（2）由正弦定理知a
sinA
=
b sinB
=
4√33
⇒a =
4√3
3
sinA ，b =
4√3
3
sinB ， ∴a +b =
4√3
3
(sinA +sinB)，
而sinA +sinB =sinA +sin (2π
3−A) =3
2sinA +√3
2
cosA =√3sin (A +π
6)．
∵A ∈(0， 2π
3)⇒A +π
6∈(π
6， 5π
6)，
∴sin (A +π6)∈(12， 1]⇒√3sin (A +π6)∈(√3
2， √3]，
∴a +b ∈(2， 4]． 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
19．（1）(−7， 0)；（2）[−3， 0) 【解析】 【分析】
(1)先求导数，再求导函数零点，最后根据零点与区间(a ， a +5) 关系列不等式，解得结果，(2)根据条件得函数极小值必在区间(a,a +5)内，再根据函数值不小于最小值确定区间(a ， a +5)范围，最后解得结果.
【详解】
（1）∵f ′(x)=x 2+2x ，x ∈R ， 令f ′(x)=0，解得x =−2或x =0，
∴当x ∈(−∞， −2)和x ∈(0， +∞)时，f ′(x)>0，此时f(x)为增函数； 当x ∈(−2， 0)时，f ′(x)<0，此时f(x)为减函数．
∴−2，0分别为函数的极大与极小值点，由题意−2∈(a ， a +5)或0∈(a ， a +5)， 则{a <−2， a +5>−2 或{a <0， a +5>0 ⇒−7<a <−2或−5<a <0⇒−7<a <0，
故a ∈(−7， 0)．
（2）由（1）得f(x)极小值=f(0)=−2
3，
令f(x)=−23⇒1
3x 3+x 2=0⇒x =−3或x =0， ∵函数f(x)在区间(a ， a +5)上存在最小值， ∴{a +5>0， −3≤a <0 ⇒−3≤a <0，故a ∈[−3， 0)．
【点睛】
已知极值求参数：若函数f(x)在点(x 0,y 0)处取得极值，则f ′(x 0)=0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
20．（1）y =f(x)=2sin (1
2x −π
6)；（2）[0， 2π
3] 【解析】 【分析】
(1)设Q(x ， y)，P(x 0， sinx 0)，根据定义得{x =2x 0+π
3， y =2sinx 0
消x 0得y =f(x)的解析式；(2)先
化简f(−x)，再根据正弦函数性质求单调区间,最后根据定义区间求交集.
【详解】
（1）设Q(x ， y)，P(x 0， sinx 0)，
由新的运算可得OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃑⊗OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+n ⃑⃑=(2， 2)⊗(x 0， sinx 0)+(π
3
， 0)=(2x 0+
π
3
， 2sinx 0)，
∵OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x ， y)，∴{x =2x 0+π
3， y =2sinx 0 ⇒x 0=12x −π6，代入y =2sinx 0， ∴y =f(x)=2sin (1
2x −π
6
)．
（2）∵y =f(−x)=2sin (−1
2x −π
6)=−2sin (1
2x +π
6)，
由题意，只需求函数y =2sin (1
2x +π
6)的单调递增区间， 由2k π−π
2
≤1
2
x +π
6
≤2k π+π2
，k ∈Z ，
得4k π−
4π3
≤x ≤4k π+2π
3 k ∈Z ，
∴函数y =f(−x)的单调递减区间为[4k π−4π3
， 4k π+2π
3]，k ∈Z ，
又∵x ∈[0， π]，
∴函数y =f(−x)的单调递减区间为[0， 2π
3]． 【点睛】
函数y =Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0)的性质 (1)y max =A +B ，y min =A −B . (2)周期T =
2π
ω
.
(3)由 ωx +φ=π
2+k π(k ∈Z)求对称轴
(4)由−π
2+2k π≤ωx +φ≤π
2+2k π(k ∈Z)求增区间; 由π
2+2k π≤ωx +φ≤
3π2
+2k π(k ∈Z)求减区间
21．（1）答案见解析；（2）a +b 的最大值为e 2 【解析】 【分析】
(1)先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调性，(2)先根据函数单调性求f(x)min ，再分离列式得：a +b ≤3a −alna ，最后利用导数求函数g(a)=3a −alna 最大值，即得结果.
【详解】
（1）∵f ′(x)=e x −a ，
①当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在R 上单调递增； ②当a >0时，由f ′(x)=0，得x =lna ，
当x ∈(−∞， lna)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(lna ， +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
（2）因为a >0，b ∈R ，由函数f(x)≥0对任意的x ∈R 都成立，得f(x)min ≥0， 由（1）得f(x)min =f(lna)=2a −alna −b ≥0， ∴b ≤2a −alna ， ∴a +b ≤3a −alna ， 设g(a)=3a −alna ，a >0， ∴g ′(a)=2−lna ，
由a >0，令g ′(a)=2−lna =0，得lna =2⇒a =e 2， 当a ∈(0， e 2)时，g ′(a)>0，g(a)单调递增；
当a ∈(e 2， +∞)时，g ′(a)<0，g(a)单调递减． ∴g(a)max =g(e 2)=e 2，
∴a +b 的最大值为e 2，此时a =e 2，b =0．
22．（1）ρ2−4ρcosθ−12=0；（2）5√15。

【解析】 【分析】
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2）设A ，B 两点的极坐标分别为(ρ1, π
6)，(ρ2,π
6)，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得|AB| = |ρ1−
ρ2| ，又由题意得△PAB 中边AB 上最大的高为圆心C 到直线l 的距离加上半径，进而可得面积的最大值．
【详解】
（1）将方程{
x =4cosα+2，y =4sinα，
（α为参数），消去参数α后可得x 2+y 2−4x −12=0，
∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2−4x −12=0，
将x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ代入上式可得ρ2−4ρcosθ=12， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−12=0． （2）设A ，B 两点的极坐标分别为(ρ1,π
6)，(ρ2,π
6
)，
由{ρ2
−4ρcosθ=12，
θ=π
6， 消去θ整理得ρ2−2√3ρ−12=0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2−2√3ρ−12=0的两根， ∴ ρ1+ρ2=2√3，ρ1ρ2=−12，
∴ |AB| = |ρ1−ρ2| =√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=2√15． ∵直线l 的普通方程为√3x −3y =0， ∴圆C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为d =√3√32+(√3)2
=1，
又圆C 的半径为r =4，
∴ (S △PAB )max =1
2|AB|(d +r)=1
2×2√15×(1+4)=5√15． 【点睛】
（1）进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用．
（2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解，另一种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解．
23．（1）{x ≥7或x ≤−1}；（2）a =2。

【解析】 【分析】
（1）当a =3时，不等式化为|x −3|≥4，根据绝对值的意义求解即可．（2）将绝对值不等式化为不等式组，解不等式组得到原不等式的解集，然后结合题意可得a =2．
【详解】
（1）当a =3时，f(x)≥2x +4可化为|x −3|≥4， 所以x −3≤−4或x −3≥4， 解得x ≤−1或x ≥7，
故不等式f(x)≥2x +4的解集为{x|x ≤−1,或x ≥7}． （2）由f(x)≤0，得|x −a| +2x ≤0，
此不等式等价于{x ≥a ， x −a +2x ≤0 或{
x <a ， a −x +2x ≤0， 即{x ≥a ，x ≤a
3
或{x <a ， x ≤−a ，
因为a >0，
所以不等式组的解集为{x|x ≤−a}， 故不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤−a}， 由题意得−a =−2， 解得a =2． 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，求解时根据绝对值的意义或零点分区间法进行求解，注意分类讨论在解题中的应用．。