计量经济学第八章-虚拟变量回归
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（如：民族有56种特征；季节有4种特征）
例： 啤酒销量Y、人均收入X、季节D；
Yi 0 1D1 2D2 3D3 Xi i
其中：
D1
1 0
一季度
1
其 它 D2 0
二季度 其它
D3
1 0
三季度 其它
一季度
E Yi | X1, D1 1, D2 D3 0 （0 1） Xi
◆基本分析方法: 条件期望。
E Yt | Xt , D1t , D2t , , Dkt 0 Xt 1D1t 2D2t k Dkt
运用OLS得到回归结果，再用t-检验讨论因素是否对模型有影响.
二、乘法类型
◆目的：调整设定模型的斜率系数。
◆基本思想: 以乘法方式引入虚拟变量时，是在所设立的模型
中，将虚拟解释变量与其它解释变量（Xi 或为Di）的乘积，作为新
的解释变量出现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目
的（以下仅讨论虚拟解释变量Di与Xi乘积作为新变量的情况）。
◆乘法引入方式可分为两种情形讨论 （1）截距不变； （2）截距和斜率均发生变化； 分析手段：仍然是条件期望。
（1）截距不变的情形
任一家庭都有：D1+D2=1，即 D1+D2-1=0（完全共线），就 陷入了“虚拟变量陷阱”，产生完全共线。
第二节 虚拟解释变量的回归
◆虚拟变量模型：含有虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。
◆在计量经济学中，通常引入虚拟变量的方式分为：加法方式
和乘法方式两种：即
1D
Yt 1Xt ut 2 Xt D
模型形式：
Yt f Xt , Dt Xt ut , 1 2D
例：研究消费支出Y 受到收入X、年份状况D 的影响。
Yt 1Xt 2 (Dt Xt ) t
其中：
Y
: 消费支出；X：收入；
Dt
1 0
反常年份 正常年份
反常年份 E Yt | Xt , Dt 1 (1 2 ) Xt
面临的问题：如何把性别（男、女生）这样的非数 量变量引入方程？
问题的一般性描述
前面讨论的回归模型中，所遇的变量均为定量变量（可直接测 度、数值性）。
例如：GDP，工资，收入、受教育年数，销售额等. 在实际建模时，一些定性变量具有不可忽视的重要影响。 例如：研究某个企业的销售水平，产业属性（制造业、零售 业）、所有制（私营、非私营）、地理位置（东、中、西部）、管 理者的素质、不同的收入水平等是值得考虑的重要影响因素，但这 些因素共同的特征是定性描述的。
城镇
D1i 0： E Yi | Xi , D1i 0 0 1Xi
农村
若在量化只有两个相互排斥属性的“居民属性”定性变量时，
引入 m=2 个虚拟变量。
1 城镇居民 D1i 0 农村居民
1 农村居民 D2i 0 城镇居民
模型为 Yi 0 1Xi 1D1 2D2 ui （3）
三、虚拟解释变量综合应用 所谓综合应用是指将引入虚拟解释变量的加法方式、 乘法方式进行综合使用。 可以讨论： 结构变化分析（ 关于两个回归模型的比较）； 因素间的交互效应分析； 分段回归分析
以下仅对结构变化分析、分段回归分析进行讨论：
1、结构变化分析（回归模型的比较）
通过对模型的参数检验，可以检验模型是否有不同的结构。即 定性变量D的引入，是否影响不同类型（属性）模型的
Yt 0 1Xt 1Dt 2 (Dt Xt ) t
其中：
Y
: 消费支出；X：收入；
Dt
1 0
反常年份 正常年份
反常年份 E Yt | Xt , Dt 1 0 1 (1 2 )Xt
正常年份 E Yt | Xt , Dt 0 1Xt
女
（ 比较的基础：女性）；Y代表收入
2、一个定性解释变量（两种属性）和一个定量解 释变量的情形
模型形式 Yi f (Di，Xi ) i
例如：Yi 0 1Di Xi i
其中：Di
1 0
城镇 农村
(比较的基础：农村）; Yi 代表消费支出; X代表收入
E Yi | Xi , Di 1 （0 1） Xi
问题：直接在回归模型中加入定性因素存在诸多的困难，能 否采用“虚拟变量”对定性变量进行量化，以达到定性因素能与定 量因素有着相同作用之目的？
二、虚拟变量的设置规则（原则） 虚拟变量的设置规则是在回答“如何”问题。其规则 涉及到以下的三个方面: 1、“0”和“1”的选取原则; 2、属性（状态、水平）因素与设置虚拟变量数量的关系; 3、虚拟变量在回归分析中的角色及作用等方面的问题.
（0，0，0） 东部沿海地区
2
(D1,
D2
,
D3
)
（ 1,0,0） （ 0,1,0）
东部非沿海地区 中部地区
（0，0，1） 西部地区
◆定性因素D如何选取？其设置规则为：
1）定性因素有m (m=2,3,4,…)个相互排斥类型（或特征、水 平） ，当回归模型有截距项时，模型中只能引入（ m-1）个虚拟 变量，否则会陷入“虚拟变量陷阱”（产生完全共线）。（为什么？）
面临的问题：在同时考虑定量和定性因素的条件下，依据现有 的回归分析知识，如何对非定量因素进行回归分析？
第一节 虚拟变量
一、基本概念 1、定量因素、定性因素 ◆ 定量因素：可直接测度、数值性的因素。 ◆ 定性（属性）因素：表示某种属性存在与否的非数值性因素. 2、虚拟变量的定义 ◆ 虚拟变量：取值为0、1的人工（特殊）变量 。 注：虚拟变量的同位语有：哑元变量、定性变量等等。通常用 字母 D 或DUM加以表示（英文中虚拟或者哑元Dummy的缩写）。
E Yi | Xi , Di 0 （0） Xi
Yi （0 1） Xi i 城镇
Yi 0 Xi i
农村
Y
X
共同的特征：截距发生改变
3、一个定性解释变量（两种以上属性）和一个定量 解释变量的情形
模型形式 Yi f ( Xi，D1，D2，...) i
1、一个两种属性定性解释变量而无定量变量的情形
Yi f (Di ) i
例1：Yi 0 1Di i
其中：Di
1 0
男 女
E(Yi / Di 1) （0 1） 男
E(Yi / Di 0) 0
女
Yi （0 1） i 男
Yi 0 i
第八章
虚拟变量回归
引子:
1、男女大学生的消费真有差异吗?
对在校生的消费行为进行调查,发现在校生的消费行 为呈现多元化的结构。人际交往消费、手机类消费、衣着 类消费、化妆品类消费、电脑类消费、旅游类消费占有较 大的比例；而食品类消费、学习用品类消费不突显。为了 了解男、女生在消费支出结构上的差异，应当如何建立模 型？
2）回归模型无截距项时，则引入m个虚拟变量。
注：“虚拟变量陷阱”的实质：完全多重共线性。
例（一个陷入“虚拟变量陷阱”实例）研究居民住房消费支出 Yi 、居民可支配收入Xi之间的数量关系，回归模型设定为：
Yi 0 1Xi ui （1）
现在要考虑城镇居民和农村居民之间的差异，如何办？
为了对 “城镇居民”、“农村居民”进行区分，分析各自在
4、两个定性解释变量（均为两种属性）和一个定量 解释变量的情形
模型形式： Yi f ( Xi，D1，D2 ) i
例： 分析啤酒销量Y受到人均收入X、季节D的影响。
Yi 0 1D1 2D2 Xi i
其中：D1
1 0
夏季 冬季
1 D2 0
城市 农村
正常年份 E Yt | Xt , Dt 0 1Xt
在正常年份的基础上进行比较，（只有斜率系数发生改变）。
（2）截距和斜率均发生变化 模型形式：
Yi f Xt , Dt , Dt Xt 0 1D, 1 2D
例：研究消费支出Y 、收入X、年份状况D 间的影响关系。
在正常年份基础上比较，（截距和斜率系数都改变，为什么？）
比较：发生了那些变化？
例：改革开放前、后（平均）“储蓄—收入”模型：
Yt 1 2 Dt 1 X t 2 (Dt X t ) ut
其中：Yt为储蓄总额；X
为收入总额
t
（1）
1 改革开放前 D 0 改革开放后
1）平均水平（截距项）？ 2）相对变化（斜率系数）？
3）平均水平（截距项）和相对变化（斜率系数）？
例如：城镇居民家庭与农村居民家庭的消费函数不仅在截距上 有差异，边际消费倾向可能也会有所不同。模型可以记为
改革开放后：Yt 1 1X t ut
（2）
改革开放前：Yt （1 2）（1 2）X t ut （3）
加法方式引入D：为了区别改革开放前、后储蓄起点的情况 （即两 模型的截距变化）
乘法方式引入D：为了区别改革开放前、后“储蓄“关于”收 入”的相对变化情况（即两模型的斜率系数变化）
具体说明如下：
1、虚拟变量的“0”和“1”选取原则
取“0”或“1”应从分析问题的目的出发予以界定。 “0”代表基期（比较的基础，参照物） “1”代表报告期（被比较的效应）。
例如，比较收入时欲考察性别（定性变量）的作用（差异）. 当研究男性收入是否高于女性时，是将女性作为比较的基础 （参照物），故设男性为“1”，女性为“0”。
2、属性因素（状态、水平）与虚拟变量数量的关系
定性因素的属性既可能为两种状态，也可能为多种状态。 例如，性别（男、女两种）、季节（4种状态），地理位置
（东、中、西部），行业(D1, D2 ) （ 0, 1）
（ 0, 0）
天气阴 天气雨 天气晴
◆实质: 加法方式引入虚拟变量改变的是截距； 乘法方式引入虚拟变量改变的是斜率。
一、加法类型
以加法方式引入虚拟变量时，主要考虑的问题是定性因素的属 性和引入虚拟变量的个数。
◆分为四种情形讨论： （1）解释变量只有一个定性变量而无定量变量，而且定性变量 为两种相互排斥的属性； （2）解释变量分别为一个定性变量（两种属性）和一个定量解 释变量； （3）解释变量分别为一个定性变量（两种以上属性）和一个定 量解释变量； （4）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是两种属性）和 一个定量解释变量。
冬季、农村居民
E Yi | Xi , D1 0, D2 0 0 Xi
Y
D1=1,D2=1
D1=1,D2=0
D1=1,D2=0
D1=0,D2=0
X
◆加法方式引入虚拟变量的一般表达式:
Yt 0 1D1t 2D2t k Dkt Xt ut
住房消费支出 Yi 上的差异，设
D1i
1 0
城镇 农村
只设定一个虚拟变量原因：模型有截距，“居民属性”定性变 量只有两个相互排斥的属性状态（m=2），故只设定一个虚拟变量。
则模型为
Yi 0 1Xi 1D1 ui （2）
D1i 1： E Yi | Xi , D1i 1 0 1 1Xi
比较的基础—冬季、农村
夏季、城市居民
E Yi | Xi , D1 1, D2 1 （0 1 2） Xi
夏季、农村居民
E Yi | Xi , D1 1, D2 0 （0 1） Xi
冬季、城市居民
E Yi | Xi , D1 0, D2 1 （0 2） Xi
二季度
E Yi | X1, D2 1, D1 D3 0 （0 2） Xi
三季度
E Yi | X1, D3 1, D1 D2 0 （0 3） Xi
四季度
E Yi | X1, D1 D2 D3 0 0 Xi 比较的基础—四季度
例： 啤酒销量Y、人均收入X、季节D；
Yi 0 1D1 2D2 3D3 Xi i
其中：
D1
1 0
一季度
1
其 它 D2 0
二季度 其它
D3
1 0
三季度 其它
一季度
E Yi | X1, D1 1, D2 D3 0 （0 1） Xi
◆基本分析方法: 条件期望。
E Yt | Xt , D1t , D2t , , Dkt 0 Xt 1D1t 2D2t k Dkt
运用OLS得到回归结果，再用t-检验讨论因素是否对模型有影响.
二、乘法类型
◆目的：调整设定模型的斜率系数。
◆基本思想: 以乘法方式引入虚拟变量时，是在所设立的模型
中，将虚拟解释变量与其它解释变量（Xi 或为Di）的乘积，作为新
的解释变量出现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目
的（以下仅讨论虚拟解释变量Di与Xi乘积作为新变量的情况）。
◆乘法引入方式可分为两种情形讨论 （1）截距不变； （2）截距和斜率均发生变化； 分析手段：仍然是条件期望。
（1）截距不变的情形
任一家庭都有：D1+D2=1，即 D1+D2-1=0（完全共线），就 陷入了“虚拟变量陷阱”，产生完全共线。
第二节 虚拟解释变量的回归
◆虚拟变量模型：含有虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。
◆在计量经济学中，通常引入虚拟变量的方式分为：加法方式
和乘法方式两种：即
1D
Yt 1Xt ut 2 Xt D
模型形式：
Yt f Xt , Dt Xt ut , 1 2D
例：研究消费支出Y 受到收入X、年份状况D 的影响。
Yt 1Xt 2 (Dt Xt ) t
其中：
Y
: 消费支出；X：收入；
Dt
1 0
反常年份 正常年份
反常年份 E Yt | Xt , Dt 1 (1 2 ) Xt
面临的问题：如何把性别（男、女生）这样的非数 量变量引入方程？
问题的一般性描述
前面讨论的回归模型中，所遇的变量均为定量变量（可直接测 度、数值性）。
例如：GDP，工资，收入、受教育年数，销售额等. 在实际建模时，一些定性变量具有不可忽视的重要影响。 例如：研究某个企业的销售水平，产业属性（制造业、零售 业）、所有制（私营、非私营）、地理位置（东、中、西部）、管 理者的素质、不同的收入水平等是值得考虑的重要影响因素，但这 些因素共同的特征是定性描述的。
城镇
D1i 0： E Yi | Xi , D1i 0 0 1Xi
农村
若在量化只有两个相互排斥属性的“居民属性”定性变量时，
引入 m=2 个虚拟变量。
1 城镇居民 D1i 0 农村居民
1 农村居民 D2i 0 城镇居民
模型为 Yi 0 1Xi 1D1 2D2 ui （3）
三、虚拟解释变量综合应用 所谓综合应用是指将引入虚拟解释变量的加法方式、 乘法方式进行综合使用。 可以讨论： 结构变化分析（ 关于两个回归模型的比较）； 因素间的交互效应分析； 分段回归分析
以下仅对结构变化分析、分段回归分析进行讨论：
1、结构变化分析（回归模型的比较）
通过对模型的参数检验，可以检验模型是否有不同的结构。即 定性变量D的引入，是否影响不同类型（属性）模型的
Yt 0 1Xt 1Dt 2 (Dt Xt ) t
其中：
Y
: 消费支出；X：收入；
Dt
1 0
反常年份 正常年份
反常年份 E Yt | Xt , Dt 1 0 1 (1 2 )Xt
正常年份 E Yt | Xt , Dt 0 1Xt
女
（ 比较的基础：女性）；Y代表收入
2、一个定性解释变量（两种属性）和一个定量解 释变量的情形
模型形式 Yi f (Di，Xi ) i
例如：Yi 0 1Di Xi i
其中：Di
1 0
城镇 农村
(比较的基础：农村）; Yi 代表消费支出; X代表收入
E Yi | Xi , Di 1 （0 1） Xi
问题：直接在回归模型中加入定性因素存在诸多的困难，能 否采用“虚拟变量”对定性变量进行量化，以达到定性因素能与定 量因素有着相同作用之目的？
二、虚拟变量的设置规则（原则） 虚拟变量的设置规则是在回答“如何”问题。其规则 涉及到以下的三个方面: 1、“0”和“1”的选取原则; 2、属性（状态、水平）因素与设置虚拟变量数量的关系; 3、虚拟变量在回归分析中的角色及作用等方面的问题.
（0，0，0） 东部沿海地区
2
(D1,
D2
,
D3
)
（ 1,0,0） （ 0,1,0）
东部非沿海地区 中部地区
（0，0，1） 西部地区
◆定性因素D如何选取？其设置规则为：
1）定性因素有m (m=2,3,4,…)个相互排斥类型（或特征、水 平） ，当回归模型有截距项时，模型中只能引入（ m-1）个虚拟 变量，否则会陷入“虚拟变量陷阱”（产生完全共线）。（为什么？）
面临的问题：在同时考虑定量和定性因素的条件下，依据现有 的回归分析知识，如何对非定量因素进行回归分析？
第一节 虚拟变量
一、基本概念 1、定量因素、定性因素 ◆ 定量因素：可直接测度、数值性的因素。 ◆ 定性（属性）因素：表示某种属性存在与否的非数值性因素. 2、虚拟变量的定义 ◆ 虚拟变量：取值为0、1的人工（特殊）变量 。 注：虚拟变量的同位语有：哑元变量、定性变量等等。通常用 字母 D 或DUM加以表示（英文中虚拟或者哑元Dummy的缩写）。
E Yi | Xi , Di 0 （0） Xi
Yi （0 1） Xi i 城镇
Yi 0 Xi i
农村
Y
X
共同的特征：截距发生改变
3、一个定性解释变量（两种以上属性）和一个定量 解释变量的情形
模型形式 Yi f ( Xi，D1，D2，...) i
1、一个两种属性定性解释变量而无定量变量的情形
Yi f (Di ) i
例1：Yi 0 1Di i
其中：Di
1 0
男 女
E(Yi / Di 1) （0 1） 男
E(Yi / Di 0) 0
女
Yi （0 1） i 男
Yi 0 i
第八章
虚拟变量回归
引子:
1、男女大学生的消费真有差异吗?
对在校生的消费行为进行调查,发现在校生的消费行 为呈现多元化的结构。人际交往消费、手机类消费、衣着 类消费、化妆品类消费、电脑类消费、旅游类消费占有较 大的比例；而食品类消费、学习用品类消费不突显。为了 了解男、女生在消费支出结构上的差异，应当如何建立模 型？
2）回归模型无截距项时，则引入m个虚拟变量。
注：“虚拟变量陷阱”的实质：完全多重共线性。
例（一个陷入“虚拟变量陷阱”实例）研究居民住房消费支出 Yi 、居民可支配收入Xi之间的数量关系，回归模型设定为：
Yi 0 1Xi ui （1）
现在要考虑城镇居民和农村居民之间的差异，如何办？
为了对 “城镇居民”、“农村居民”进行区分，分析各自在
4、两个定性解释变量（均为两种属性）和一个定量 解释变量的情形
模型形式： Yi f ( Xi，D1，D2 ) i
例： 分析啤酒销量Y受到人均收入X、季节D的影响。
Yi 0 1D1 2D2 Xi i
其中：D1
1 0
夏季 冬季
1 D2 0
城市 农村
正常年份 E Yt | Xt , Dt 0 1Xt
在正常年份的基础上进行比较，（只有斜率系数发生改变）。
（2）截距和斜率均发生变化 模型形式：
Yi f Xt , Dt , Dt Xt 0 1D, 1 2D
例：研究消费支出Y 、收入X、年份状况D 间的影响关系。
在正常年份基础上比较，（截距和斜率系数都改变，为什么？）
比较：发生了那些变化？
例：改革开放前、后（平均）“储蓄—收入”模型：
Yt 1 2 Dt 1 X t 2 (Dt X t ) ut
其中：Yt为储蓄总额；X
为收入总额
t
（1）
1 改革开放前 D 0 改革开放后
1）平均水平（截距项）？ 2）相对变化（斜率系数）？
3）平均水平（截距项）和相对变化（斜率系数）？
例如：城镇居民家庭与农村居民家庭的消费函数不仅在截距上 有差异，边际消费倾向可能也会有所不同。模型可以记为
改革开放后：Yt 1 1X t ut
（2）
改革开放前：Yt （1 2）（1 2）X t ut （3）
加法方式引入D：为了区别改革开放前、后储蓄起点的情况 （即两 模型的截距变化）
乘法方式引入D：为了区别改革开放前、后“储蓄“关于”收 入”的相对变化情况（即两模型的斜率系数变化）
具体说明如下：
1、虚拟变量的“0”和“1”选取原则
取“0”或“1”应从分析问题的目的出发予以界定。 “0”代表基期（比较的基础，参照物） “1”代表报告期（被比较的效应）。
例如，比较收入时欲考察性别（定性变量）的作用（差异）. 当研究男性收入是否高于女性时，是将女性作为比较的基础 （参照物），故设男性为“1”，女性为“0”。
2、属性因素（状态、水平）与虚拟变量数量的关系
定性因素的属性既可能为两种状态，也可能为多种状态。 例如，性别（男、女两种）、季节（4种状态），地理位置
（东、中、西部），行业(D1, D2 ) （ 0, 1）
（ 0, 0）
天气阴 天气雨 天气晴
◆实质: 加法方式引入虚拟变量改变的是截距； 乘法方式引入虚拟变量改变的是斜率。
一、加法类型
以加法方式引入虚拟变量时，主要考虑的问题是定性因素的属 性和引入虚拟变量的个数。
◆分为四种情形讨论： （1）解释变量只有一个定性变量而无定量变量，而且定性变量 为两种相互排斥的属性； （2）解释变量分别为一个定性变量（两种属性）和一个定量解 释变量； （3）解释变量分别为一个定性变量（两种以上属性）和一个定 量解释变量； （4）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是两种属性）和 一个定量解释变量。
冬季、农村居民
E Yi | Xi , D1 0, D2 0 0 Xi
Y
D1=1,D2=1
D1=1,D2=0
D1=1,D2=0
D1=0,D2=0
X
◆加法方式引入虚拟变量的一般表达式:
Yt 0 1D1t 2D2t k Dkt Xt ut
住房消费支出 Yi 上的差异，设
D1i
1 0
城镇 农村
只设定一个虚拟变量原因：模型有截距，“居民属性”定性变 量只有两个相互排斥的属性状态（m=2），故只设定一个虚拟变量。
则模型为
Yi 0 1Xi 1D1 ui （2）
D1i 1： E Yi | Xi , D1i 1 0 1 1Xi
比较的基础—冬季、农村
夏季、城市居民
E Yi | Xi , D1 1, D2 1 （0 1 2） Xi
夏季、农村居民
E Yi | Xi , D1 1, D2 0 （0 1） Xi
冬季、城市居民
E Yi | Xi , D1 0, D2 1 （0 2） Xi
二季度
E Yi | X1, D2 1, D1 D3 0 （0 2） Xi
三季度
E Yi | X1, D3 1, D1 D2 0 （0 3） Xi
四季度
E Yi | X1, D1 D2 D3 0 0 Xi 比较的基础—四季度