2017-2018学年高中数学必修四 课下能力提升二十三 两

课下能力提升(二十三) 两角和与差的余弦
一、填空题
1．cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)sin(x －18°)＝________. 2．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α的值为________． 3．已知π2＜β＜α＜3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝12
13，则cos 2α的值为________．
4.12sin π12－32cos π
12
＝________. 5．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－1
3，则cos(α－β)＝________.
二、解答题
6．(广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.
7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝3
5，求cos C .
8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．
答 案
1．解析：原式＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)]＝cos 45°＝22
. 答案：
2
2
2．解析：∵sin α＝35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝－210.
答案：－
210
3．解析：∵π2＜β＜α＜3π4，∴－3π4＜－β＜－π
2.
∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π
2.
∴sin(α－β)＝1－cos
2
α－β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝5
13
，
cos(α＋β)＝－1－sin
2
α＋β
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
＝－45.
于是cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·⎝ ⎛⎭⎪⎫513＝－3365.
答案：－33
65
4．解析：原式＝sin π6sin π12－cos π6cos π
12
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－cos π4＝－22.
答案：－
2
2
5．解析：将两条件等式平方后相加得 (cos α－cos β)2
＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)＝14＋19＝1336，∴cos(α－β)＝59
72.
答案：59
72
6．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝1. (2)∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，
∴sin θ＝－1－cos 2
θ＝－45，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15.
7．解：∵△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π， 由cos A ＝513知sin A ＝1213.又0＜513＜12，∴A ＞π
3.
又sin B ＝35，且12＜35＜3
2
，
若B 为锐角，则π6＜B ＜π3，此时cos B ＝4
5
.
若B 为钝角，则2π3＜B ＜5π6.由于A ＞π
3，故B 不可能为钝角．
∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－513×45＋1213×35＝16
65
.
8．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15
x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，
∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝15
17
，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－13
85
.。