四川省自贡市富顺县板桥中学九年级数学上册《解一元二次方程—配方法(二)》导学案(无答案) 新人教版
九年级数学教案--2.2用配方法解一元二次方程(2)导学案
导学案九年级：数学上册第二章一元二次方程第2节用配方法求解一元二次方程（2）学习目标：1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能；2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.一、预习案（一）课前导学：1、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成________；（2）两边同除以________________，使___________________化为1；（3）移项，方程的一边为_____________________，另一边为________（4）配方：方程两边同时加上_________________，化为_________ 的形式；（5）当_________ 时，两边开平方便可求出它的根；当__________时，原方程无解2、用配方法解下列方程：（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2-4x+12=0（二）尝试练习：请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1）x2+6x+8=02）3x2+18x+24=0二、学习案（一）知识点拨：1）2 x2+8x+6=0------ x2+4x+3=02）3 x2+6x-9=0------ x2+2x-3=03）5 x2+20x+25=0--- x2-4x-5=0规律：如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样就可以利用上节课学过的知识解方程了。
（二）课内训练：1、解方程3x2+8x-3=02、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10m的高度？三、反馈案（一）基础训练：1)4x2-8x-3=0 2）2x2+6=7x3）3x2-9x+2=0 3）5x2=4-2x（二）拓展提高：1、已知：方程（m+1）x2m+1+（m-3）x-1=0，试问：（1）m取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程?2、印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。
数学人教版九年级上册用配方法解一元二次方程.2 用配方法解一元二次方程
5 x 4
2
9 16
5 3 x 4 4
∴
x1 2
1 x2 2
开方 求解 定解
补充例2、用配方法解方程-3x2+4x+1=0
4 1 x x 0 解：两边都除以-3，得 3 3 4 1 2 x x 移项，得 3 3
2
系数化为1 移项
4 1 2 2 x2 x 配方，得 3 3 3 3 2 2 7 即 x 3 9 2 7 x 开方，得 3 3
一元二次方程
用配方法解一元二次方程
武威第七中学 张多浩
学习目标
1、了解什么是配方法； 2、会用配方法准确而熟练解一元二次方程； 3、理解配方法的关键、基本思想和步骤； 4、体会转化、类比、降次的思想。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a, x2 a 1 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
巩固练习 1 . （1）方程x2＝0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5 （2）方程2x2 － 18＝0的根是 X1＝3， x2＝—3 （3）方程(2x － 1)2 ＝ 9的根是 X1＝2， x ＝－1
2
2. 解下列方程：
（1）3x2－ 81＝0 （2）4 x2 ＝50
（3）2(x＋1)2=7
x 4 x 9 2 x 11
2
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x a, x2 a 1 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
第2课时用配方法解一元二次方程 人教版数学九上同步课堂教案
21.2.1 配方法第2课时 用配方法解一元二次方程一、教学目标1.了解配方的概念..2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.二、教学重难点重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x 2=1 ；(2)(x -2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) x 2+6x+9 =5；(2)x 2+6x+4=0.[提示]把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方法.[探究交流]问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a 2+2ab +b 2=(a+b )2；(2)a 2-2ab +b 2=(a-b )2.问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x 2+4x +22= ( x +2)2；（2）x 2-6x +32= ( x -3 )2；（3）x 2+8x +42= ( x +4 )2；（4）x 2- 43x +(3)2= ( x -3)2. [思考]你发现了什么规律？[归纳总结]配方的方法：二次项系数为1的完全平方式；常数项等于一次项系数一半的平方.[思考]x 2+px +( p 2)2=(x +p2)2【新知探究】(一)用配方法解方程[思考]怎样解方程:x 2+6x +4=0(1)?问题1 方程(1)怎样变成（x +n )2=p 的形式呢？问题2 为什么在方程x 2+6x =-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x 2+2bx +b 2的形式.[归纳总结]方程配方的方法归纳：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.[归纳总结]1.配方法的定义像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.2.配方法解方程的基本思路：把方程化为（x +n )2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．(二)配方法的应用例1 解下列方程：(1) x 2−8x +1=0；解：（1）移项，得x 2－8x =－1,配方，得x 2－8x +42=－1+42 ,即( x －4)2=15由此可得x −4=±√１5,方程的两根为x 1=4+√15,x 2=4−√15.(2) 2x 2+1=3x ；解：（2）移项，得2x 2－3x=－1,二次项系数化为1，得x 2−32x =−12 配方，得x 2−32x +(34)2=−12+(34)2,,即(x −34)2=116由此可得x −34=±14方程的两根为x 1=1,x 2=12[思考]移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?(3)3x 2−6x +4=0.解：（3）移项，得3x 2−6x =−4,二次项系数化为1，得x 2−2x =−43 配方，得(x −1)2=−13 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．[思考]用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.[思考]用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.[归纳总结]一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±√p,方程的两个根为x1=−n−√p,x2=−n+√p②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且a2−6a+b2−8b+√c−5+25=0，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得(a−3)2+(b−4)2+√c−5=0由代数式的性质可知(a−3)2=0,(b−4)2=0,√c−5=0,∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=52=c2,所以，△ABC为直角三角形.例4.读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》教案、教学设计
-鼓励学生在解题过程中，尝试不同的解题方法，培养创新思维和灵活运用知识的能力。
3.拓展作业：针对学有余力的学生，布置一些具有挑战性的题目，如涉及一元二次方程的根与系数关系的研究，或是一些开放性问题，激发学生的探究欲望和深入学习兴趣。
-鼓励学生提出不同的解题思路和方法，培养学生的创新思维和数学思维能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课时，我将利用学生已有的数学知识，通过以下方式激发学生的学习兴趣：
1.提问方式：复习一元二次方程的常见求解方法，如因式分解、公式法等，让学生回顾这些方法的原理和应用。
2.创设情境：以生活中的实际问题பைடு நூலகம்例，如“小明在计算一块矩形菜地的面积时，发现菜地的长度比宽度多2米，且面积是20平方米，请问他应该如何计算菜地的长度和宽度？”引导学生思考如何用已学的数学知识解决该问题。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习一元二次方程的积极性。
2.培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强学生解决问题的自信心。
3.引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，提高学生的数学素养。
4.培养学生的团队合作意识，让学生在合作中学会互相尊重、互相帮助。
本章节将通过生动的实例、丰富的教学活动，引导学生掌握配方法求解一元二次方程的知识与技能，培养学生在解决问题过程中的思维方法和情感态度，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高数学素养。
3.例题讲解：选取具有代表性的例题，逐步讲解如何运用配方法求解一元二次方程，让学生跟随解题过程，加深理解。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第2课时导学案新版新人教版
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第2课时导学案新版新人教版21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题:情景:请把方程(x+3)2=5化成一般形式,并由一名学生口答.问题:(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标:(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤,会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点:重点:用配方法解一元二次方程.难点:配方的方法.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间:6分钟.(3)自学方法:完成下面的探究提纲,如果觉得有困难就先完成②,③,再完成①.(4)探究提纲:①解方程x2+6x+4=0.移项:把常数项移到方程的右边,得x2+6x= -4；配方:两边都加9,使得左边配成x2+2b x+b2的形式,得x2+6x+9=；变形:把左边写成完全平方形式,得(x+3)2=5；降次:运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程,得x+3=±；求解:解两个一元一次方程,得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空:a2+2ab+b2=(a+b )2,x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9,式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导:根据具体情况指导学生配方.(2)生助生:小组内相互交流研讨,订正错误.4.强化:(1)配方的依据和步骤.(2)试一试:对下列各式进行配方:1.自学指导:(1)自学内容:教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:认真阅读分析和解答过程,注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲:①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1),然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项,二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:主要了解学生解方程配方时是否存在困难,计算是否错误,书写格式是否规范.②差异指导:针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生:生生互动,交流研讨.4.强化:(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程:三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课,重在让学生自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上,仍突出数学研究中转化的思想,激发学生产生合理的认知冲突,激发兴趣,建立自信心.(2)在练习内容上,有所改进,加强了核心知识的理解与巩固,提高了自己解决问题的能力,感受数学创造的乐趣,提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配方法的基础上推出的,配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切,用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固,又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法,因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时,配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2 (2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0； (2)4x2-12x－7=0;解:移项,x2+10x=-9, 解:移项,4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1,x2-3x=,(x+5)2=16, 配方,x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1,x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72,x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解:移项,x2+2x= -2, 解:化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时,多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解:对原式进行配方,则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时,原式有最小值为17.。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法导学案2(新版)新人教版
21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2； (2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；(3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2. 2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得 __x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；(3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5.(2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54， 由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－32， x 2＝－52－32. (3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6， 即x 2－14x ＋24＝0，(x －7)2＝25，x －7＝±5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174； (4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第2课时配方法的基本形式教案新版新人教版
第2课时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难,如x 2＋6x －16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x 2－1＝5 (2)4(x －1)2－9＝0 (3)4x 2＋16x ＋16＝9 (4)4x 2＋16x ＝－7老师点评：上面的方程都能化成x 2＝p 或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式,那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p (p≥0)．如：4x 2＋16x ＋16＝(2x ＋4)2,你能把4x 2＋16x ＝－7化成(2x ＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5解一次方程→x 1＝2,x 2＝－8可以验证：x 1＝2,x 2＝－8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2 m ,长为8 m .像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法． 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0 分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略．三、巩固练习教材第9页练习1,2.(1)(2)．四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页复习巩固2,3.(1)(2)．。
人教版九年级上解一元二次方程配方法导学案
人教版九年级上解一元二次方程配方法导学案21.2.2 配方法1．经过配成__完全平方方式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的普通步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的左边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx ＋n )2＝p ___的方式；(3)假定p __≥___0，那么可直接开平方求出方程的解；假定p __＜___0，那么方程无解． 知识构建知识点1：配方1．以下二次三项式是完全平方式的是( B )A ．x 2－8x －16B ．x 2＋8x ＋16C ．x 2－4x －16D ．x 2＋4x ＋162．假定x 2－6x ＋m 2是一个完全平方式，那么m 的值是( C )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对3．用适当的数填空：x 2－4x ＋__4___＝(x －__2___)2；m 2__±3___m ＋94＝(m __±32___)2. 知识点2：用配方法解x 2＋px ＋q ＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( D )A ．(x ＋2)2＝1B ．(x －2)2＝1C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝95．以下配方有错误的选项是( D )A ．x 2－2x －3＝0化为(x －1)2＝4B ．x 2＋6x ＋8＝0化为(x ＋3)2＝1C ．x 2－4x －1＝0化为(x －2)2＝5D ．x 2－2x －124＝0化为(x －1)2＝1246．(2021·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－27．解以下方程：(1)x 2－4x ＋2＝0；解：x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2(2)x 2＋6x －5＝0.解：x 1＝－3＋14，x 2＝－3－14知识点3：用配方法解ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___． 9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的选项是( D )A ．(3x －2)2＝6B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解以下方程：(1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1 (2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－12知识运用11．关于恣意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B )A ．非正数B ．正数C ．正数D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方失掉的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518 D ．(x ＋26)2＝6118 13．方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的方式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成以下的( B )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长区分为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2 (2)3y 2＋1＝23y .解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方失掉(x ＋m )2＝12，求常数m 与p 的值． 解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∵无论a 取何值，该方程都是一元二次方程才干拓展19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的进程叫做配方．例如：∵选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；∵选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；∵选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.依据上述资料，处置以下效果：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同方式的配方；(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y )2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y )2≥0，34(y －2)2≥0，∵x ＋12y ＝0，y －2＝0，∵x ＝－1，y ＝2，那么x y ＝(－1)2＝1。
四川省自贡市富顺县板桥中学九年级数学上册《解一元二次方程—配方法(二)》导学案(无答案) 新人教版
《解一元二次方程——配方法（二）》导学案学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。
导学流程自主学习自学P31－32问题2，完成P33思考。
精讲点拨上面，我们把方程x2+6x－16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________合作交流用配方法解下列方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.解（1）移项，得x2－6x＝____.方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，即（______）2＝____.所以x－3＝____.原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.（2）移项，得x2＋3x＝－1.方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，即 _____________________所以 ___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？深入探究自学P 33页例1，完成练习：用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x巩固提高：完成P 34页练习课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？达标测评用配方法解方程：1、x 2＋8x －2＝02、x 2+2x －3＝0.3、x 2－x =64、x 2＋5x ＋4＝05、x²－2x－3=06、 2x²+12x+10=07、x²－4x+3=0 8、9x²－6x－8=09、x²+12x－15=0 10、 2x²+1=3x11、 3x²+6x－4=0 12、 4x²－6x－3=013. x²+4x－9=2x－11 14. x(x+4)=8x+12拓展提高已知代数式x2－5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？。
九年级数学上册第二章一元二次方程2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程学
第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程【学习目标】1、知识与技能：能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程。
2、能力培养：进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、情感与态度：培养观察能力，运用所学旧知识解决新问题。
【学习重点】能够熟练地应用配方法解一元二次方程。
【学习过程】一、前置准备：1、上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么？其关键是什么？ 二、自学探究：熟练掌握解一元二次方程的两种方法。
1、解下列方程：（1）（2-x ）2=3 （2）（x-2）2=64 （3）2（x+1）2=292、用配方法解方程：（1）x 2-6x-40=0 （2）x 2-6x+7=0 （3）x 2+4x+3=0（4）x 2-8x+9=0 （5）x 2-37x=2三、合作交流：1、当x 取何值时，代数式10-6x+x 2有最小值，是几？2、配方法证明y 2-12y+42的值恒大于0。
四、归纳总结：通过本节课的学习你进一步熟练了哪些知识？与同学交流一下。
五、例题解析：例1 解方程3x 2+8x-3=0分析：如何将二次项系数化为1？这样你可得方程 。
试将解方程的解答过程写出。
六、当堂训练：解下列方程：1、2x 2+5x-3=02、3x 2-4x-7=03、5x 2-6x+1=04、x 2+6x=1【学习笔记】通过本节课你认为学的比较好的内容是什么？不足又是什么？【课下训练】1、（1）x 2-4x+ =（x- ）2；（2）x 2-34x+ =（x- ）22、方程x 2-12x=9964经配方后得（x- ）2=3、方程（x+m ）2=n 的根是4、当x=-1满足方程x 2-2（a+1）2x-9=0 时，a=5、已知：方程（m+1）x 2m+1+（m-3）x-1=0，试问：（1）m 取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程?6、方程y 2-4=2y 配方，得（ ）A.(y+2)2=6B. (y-1)2=5C. (y-1)2=3D. (y+1)2=-3.7、已知m 2-13m+12=0,则m 的取值为（ ）A.1B.12C.-1和-12D.1和12【链接中考】1、关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+3x+a 2-3a-4=0的一个根为0，则a 的值为（）A 、-1B 、4C 、-1或 4D 、12、不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A 、总不小于2B 、总不小于7C 、 可为任何实数D 、可能为负数。
九年级数学上册一元二次方程 . 一元二次方程的解法配方法直接开平方法导学
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2.2 一元二次方程的解法(jiě fǎ)
目标二 会解形如 ax2－c＝0 的一元二次方程
例 2 教材例 1 针对训练解方程：
(1)5x2＝20；
(2)3x2－6＝0.
解：(1)x1＝2，x2＝－2. (2)x1＝ 2，x2＝－ 2.
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No 入原方程得到一个含有未知字母的方程，通过解方程或者(huòzhě)变形得到问题的答案．。知识点一 一元二次方程的解
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2.2 一元二次方程的解法(jiě fǎ)
知识点二 用直接(zhíjiē)开平方法解一元二次方程
算理：若 r2＝a(a≥0)，则 r 是 a 的平方根，表示为__r＝__±__a__． 条件：方程左边是含有未知数的一次式的平方，右边是 非负常数．
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∴x1＝－7，x2＝－13.
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内容(nèiróng)总结
2.2 一元二次方程的解法。2.2 一元二次方程的解法。2.2.1 第1课时 直接开。目标一 理解一元二次方程的解的意义。[解析] 把x ＝3代入原方程，得3k＝3，解得k＝1.。【归纳总结】 方程根的定义的两方面应用。(1)判断给定的数是不是方程的根。(2)将已知方程的根代
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2.2 一元二次方程的解法(jiě fǎ)
【归纳总结】 用直接开平方法解一元二次方程的两“转化” 思想
(1)形如 m(px±q)2－n＝0 的方程，通过移项转化成 ax2＝c 的 形式再解即可；(2)形如(px±q)2＝(kx±t)2 的方程，采用平方差公 式进行降次转化成 px±q＝±(kx±t)的形式，再解两个一元一次方 程 px±q＝kx±t，px±q＝－(kx±t)即可．
人教版-数学-九年级上册上册21.2.1配方法(2)解一元二次方程 课件
的形式；右边为非0常数
5.开平方：化成两个一元一次方程；
6.解一元一次方程；
7.写出方程的解.
三、自主应用 巩固新知
（一）例题： 1.【教材P7例题1】解下列方程
（1）x2 8x 1 0 ; (2) 2x2 1 3x ; (3) 3x2 6x 4 0
2．【补充例题】
已知x2
4x
y2
1．如果 mx2 2(3 2m)x 3m 2 0(m 0)
的左边是一个关于x的完全平方式，
则m等于（ C ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
2．代数式 x2 x 2 x2 1
的值为0，
则x的值为_2__．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，
若设x+y=z，则原方程可变为__z_2 2z 8 0 ，
根据题意，得：1（8-x）（6-x）= 1× 1 ×8×6
2
22
整理，得：x2 14x 24 0
即：（x - 7)2 25
x1 12;x2 2 但是不合题意，舍去
x 2
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
点评：
1.二次项系数不是1的，先将系数化为1； 2.把经常数项移动到右边 3.配方：同加一次项系数的一半的平方
（二）归纳： 配方法解一元二次方程的基本步骤：
1.将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；
2.移项：将常数项移到等号一边；
3.配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.等号左边写成
(2)
x2
x
7 4
0
;(4) 4x 2 6x 3 0 ;(6) x(x 4) 8x 12
解一元二次方程(配方法)(导学案)九年级数学上册系列(人教版)
21.2.1 解一元二次方程（配方法）导学案1. 掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2. 通过配方法将一元二次方程变形,让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。
★知识点1：配方法解一元二次方程的步骤1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解；若p<0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 . ★知识点2：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①的形式，那么就有：1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x1＝-n-√p，x2＝-n+ √p；2)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x1＝x2＝-n；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程①无实数根。
1.配方法解一元二次方程的步骤1）移项：将含有x的项移到方程的_________，常数项移到方程的________；2）二次项系数化为1：两边同除以_______________；3）配方：方程_________都加上____________________；4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；5）判断右边代数式的符号，若p______0，可以利用_______________求解；若p______0，原方程_____________实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 .2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①的形式，那么就有：1)当p_____0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根_______________________；2)当p_____0时，方程①有两个相等的实数根_______________；3)当p_____0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2_____0，所以方程①______实数根。
九年级数学上册配方法解一元二次方程(第2课时)导学案(新版)新人教版
21.2.1配方法解一元二次方程（第2课时）一、学习目标：1、理解解一元二次方程的“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题；2、会用配方法解一元二次方程；3、理解运用转化的思想解决数学问题.二、学习重难点：重点：用配方法解一元二次方程难点：理解运用转化的思想解决数学问题.探究案三、合作探究问题: 要使一块长方形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m²，场地的长与宽各是多少？分析题中关系，请列出方程：如何解这个方程？议一议（1）二次项系数不是1时，怎么办？（2）配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？（3）配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？（4）配方过程中还需注意哪些问题等等.最后师生共同评析，加深用配方法解一元二次方程的理解.归纳总结：1、配方法解一元二次方程的定义：2、配方法解一元二次方程的一般步骤：活动内容2：例题精讲例题1:接下列方程：（1）x²-8x+1=0 （2）2x²+1=3x（3）3x²-6x+4=0 （４）课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获__________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __随堂检测1.方程x 2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）．（A ）(x+3)2=14 （B ） (x-3)2=14（C ） (x+6)2=14 （D ）以上答案都不对2.用配方法解下列方程，配方有错的是（）（A ）x 2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100（B ） 2x 2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16（C ）x 2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25（D ） 3x 2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/93.若实数x 、y 满足(x +y +2)(x +y -1)=0，则x+y 的值为（）．（A ）1 （B ）－2（C ）2或－1（D ）－2或14.对于任意的实数x ，代数式x 2－5x ＋10的值是一个（）（A ）非负数（B ）正数（C ）整数（D ）不能确定的数5.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？（1）x ²-3x+（ ）=（x- ）²； （2）x ²++（ ）=（x+ ）²。
初中数学九年级上册《用配方法解一元二次方程》名师导学案
《21.2.1（2）用配方法解一元二次方程》导学案 NO ：03 班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1.理解掌握什么是配方法；2.能正确运用配方法解一元二次方程。
二、自主学习1、阅读教材6页第二个“探究”中方程的解答过程,自己在练习本上快速列出并整理方程：________________，观察这个方程有什么特点？如何解这个方程？（与同学交流）2、阅读教材7页第二段，归纳总结配方法：把一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠变成左端是一个含未知数的 ，而右端是 ，即2()(0)x k h h -=≥的形式，从而可用 来求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（小声读三遍） 说一说“配方法”的关键在那里？如何“配方”？自学检测：解方程①0242=+-x x ② 0132=--y y三、合作探究1、用配方法解方程2x 2+6=7x,首先将方程化为2x 2_____=-6.再将方程两边除以2，得x 2-27x=____，方程两边同时加上___，方程化为_________，即________，开平方得方程的解是____________ 2、方程0262=--x x 用配方法化成（b a x =+2)（)0≥b 的形式是___________，方程的根是________________3、22)4(____8+=++x x x 22____)(____12-=+-x x x4、用配方法解方程①0462=+-x x ②3522-=-x x ③015822=+-x x④033232=--x x ⑤0272=-+-x x ⑥7424622--=++y y y y5、关于x 的一元二次方程022)178(22=+++-mx x m m 是一元二次方程吗？为什么？四、达标检测1、填空（1）225__(__)x x x -+=- （2）22__(____)x bx x -+=-2、解下列方程（1）22480y y +-= （2）23230x x +-=3、4、五、拓展提高：用配方法解方程20()x px q p q ++=、为常数。
九年级上册数学精品导学案： 4.2 用配方法解一元二次方程(2)
4.2 用配方法解一元二次方程（第2课时）学习目标：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；学习重难点：1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；2、配方法在方程变形中的应用。
导学流程：（一）课前延伸：1、解方程：0822=-+x x 和016422=-+x x ，请比较这两个方程的区别与联系．2、小结：如何用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程?说明：当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：①二次项系数化为1；②移项；③直接开平方法求解．（二）课内探究：1、自主学习：自学课本132—133页，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
2、合作探究：如何用配方法解下列方程？4x 2－12x －1＝0;请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
解：（1）将方程两边同时除以4，得 x 2－3x －41＝0 移项，得 x 2－3x ＝41 配方，得 x 2－3x+（23）2＝41+（23）2 即 (x —23) 2＝25 直接开平方，得 x —23＝±210 所以 x ＝23±210 所以x 1＝2103+，x 2=2103-3、精讲点拨：例1、解方程：①02522=+-x x ②01432=++-x x让学生尝试，通过讨论归纳配方法解一元二次方程步骤。
1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
4、巩固提升：用配方法解下列方程：(1)2x x 10152=+ (2)0311232=+-x x5、课堂小结：学生总结本节学习知识。
6、达标检测：课本134页习题4.2 第3、4题（三）课后提升：A 组：1、用配方法解下列方程：（1）02722=--x x （2）3x 2＋2x －3＝0. （3）05422=+-x x （4）4x 2－122x －1＝0B 组：1、如果542-+=+b a b a ，求b a 2+的值。
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《解一元二次方程——配方法（二）》导学案
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学P31－32问题2，完成P33思考。
精讲点拨
上面，我们把方程x2+6x－16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即（______）2＝____.
所以x－3＝____.
原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究
自学P 33页例1，完成练习：
用配方法解下列方程：
（1）011242=--x x （2）03232=-+x x
巩固提高：完成P 34页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程：
1、x 2＋8x －2＝0
2、x 2+2x －3＝0.
3、x 2－x =6
4、x 2＋5x ＋4＝0
5、x²－2x－3=0
6、 2x²+12x+10=0
7、x²－4x+3=0 8、9x²－6x－8=0
9、x²+12x－15=0 10、 2x²+1=3x
11、 3x²+6x－4=0 12、 4x²－6x－3=0
13. x²+4x－9=2x－11 14. x(x+4)=8x+12
拓展提高
已知代数式x2－5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？。