湘教版高中数学选修3-4对称和群：正四面体的对称群

请同学们试着自行证明正四面体ABCD就只有 这24个对称变换。
提示：用的方法还和研究正三角形时所用的一样。那 就是正四面体ABCD的任一对称变换，都可由4个顶点的像 所决定。令M={A，B，C，D}。于是正四面体ABCD的任一 对称变换就对应于集合M的一个置换。最后证明集合M只有 24个置换。
谢谢
①正四面体的全体对称变换（运动加反射） 对于变换的乘法作为运算组成一个群G。
②指定一个点，譬如图中的 A，则把点A保持不动的对称变 换的全体组成G的一个子群H。
我们先来决定子群H 中的元素。
③由于A不动，H中的变 换相当于A点所对的△BCD的 对称变换。
详言之，设△BCD的中心
是O，以l1表示过A和O的直线。
应用变换的乘法，可以看 出βα为正四面体沿关于过l1和 棱AC的平面的反射，而βα2为 正四面体关于过l1和棱AB的平 面的反射。这样，我们又找到 了三个反射变换。
与之前学过的分析相同，我们可以证明以上 六个变换就是正四面体ABCD保持A不动的全部对 称变换。
下面，我们再说明存在对称变换把点A变到任 意另外的点B，C或D，譬如变到D。
设AD的中点是F。考虑过 F和BC中点E的直线l2。以l2为 轴，把正四面体翻转π的运动 仍把该正四面体变到自身，因 此是对称变换。这个变换就把 A变到D，记这个变换为γ。
请同学们自己证明： 存在对称变换把点A变到 点B和点C。
我们来说明把A不动的对称变换的个数与把A 变到另外一个点，譬如D的对称变换的个数是相 等的。
正四面体的对称群
同学们知道正四面体 是什么样的吗？
正四面体是我们熟悉的立 体几何图形。它的四个顶点中 的任意三个组成的三角形是它 的一个面。它共有四个面，它 们是互相全等的正三角形。而 诸三角形的边叫作正四面体的 棱，它一共有六条棱。
现在我们把几何考虑和群的考虑结合起来研 究正四面体的对称变换，即正四面体通过在三维 空间中的运动或关于空间中某平面的反射而仍能 变到自身的那些变换。
我们看出以l1为轴逆时针方向转
动 2是一个对称变换，记这个
3 变换为α。
应用变换的乘法，可以看出
α2为沿轴l1逆时针方向转动
4
3
的
对称变换，而α3=e为恒等变换。
于是我们得到三个对称变换，它
DE和直线l1唯一确定一个平 面ρ。那么，正四面体ABCD关 于平面ρ的反射也是它的一个 对称变换，记作β。它把A，D 两点不动，而互换B，C两点。
我们也用变换乘法的思想来证明。 已知：γ是一个把A变到D的对称变换。
我们现证明对于任一把A不动的对称 变换τ，乘积γτ仍为一个把A变到D的对称 变换。为此只须看点A在γτ的作用之下是 否变到点D即可。
因为(γτ)(A) ＝γ(τ(A)) ＝γ(A) ＝D， 所以A在γτ的作用之下变到点D。
然后我们再证明，对于两个不同的把A不动的 对称变换τ1，τ2，有γτ1≠γτ2。
用反证法，假如γτ1＝γτ2，则在此式两端的左 边同时乘上γ的逆元素γ－1，我们有
γ－1(γτ1) ＝γ－1(γτ2)，
由结合律，得
(γ－1γ)τ1＝ (γ－1γ)τ2， 由逆元素的定义有
eτ1＝eτ2， 最后由单位元素的定义，得到
矛盾。
τ1＝τ2。
我们看出，把A变到D的对称变换的个数不少 于把A不动的对称变换个数。
请同学们自己来证明把A变到D的对称变换的 个数不少于把A不动的对称变换个数相等。
提示：证明的方法与上面相同，只需证明对于任一 把A变到D的对称变换γ'，都存在一个把A不动的对称变换 τ'使得γ'＝γτ'。事实上，只要取τ'＝γ－1γ'即可。
这样我们已经找到了一共24个正四面体的对 称变换，其中6个把点A不动，6个把点A变到D，6 个把点A变到B，而最后6个把点A变到C。