2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题22

开卷速查规范特训
课时作业实效精炼
开卷速查(41)空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l ＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．直线AR
解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，
∴R∈γ.
又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.
答案：C
2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.
答案：B
3．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是() A．A、M、O三点共线
B．A、M、O、A1不共面
C．A、M、C、O不共面
D．B、B1、O、M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面．
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A、M、O三点共线.
答案：A
4．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()
A．相交B．异面C．平行D．垂直
解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
答案：A
5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．
答案：A
6．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有第四个图中的四点不共面．
答案：A
7．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()
①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P
时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案：D
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：有2条：A1B和A1C1.
答案：B
9．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
答案：D
10．如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()
A.
3
3B.
1
2C. 3 D.
2
2
解析：该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′-ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．
其中B′D＝2，DO＝DA2＋AO2＝1＋(2)2＝3，
B′O＝B′B2＋BO2＝3，可得cos∠B′DO＝
3 3.
答案：A
二、填空题
11．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．
①
②
③
④
解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、
R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．
答案：①②③
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．
解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，
∴DN⊥A1M，即夹角为90°.
答案：90°
13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，
AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE 于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设
AB＝1，则A1A＝2，∴B1A＝3，AH＝BD＝
3 2，
∴cos∠B1AH＝AH
AB1
＝1
2
，
∴∠B1AH＝60°.
答案：60°
14．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)
解析：如题干图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
∴GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面.
答案：②④
三、解答题
15．已知，如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，
AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且AE
AB＝AH
AD＝λ，
CF
CB＝
CG
CD＝μ(0＜λ，μ＜1)，试判断FE，GH与AC的位置关系．
解析：∵AE
AB ＝AH
AD
＝λ，CF
CB
＝CG
CD
＝μ，
∴EH∥BD，FG∥BD.
∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD.①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.
AH AD ＝CG
CD
，∴HG∥AC.
由公理4知，EF∥GH∥AC.
②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.
∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，
∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，
∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，
∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．
又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈直线AC，
∴三条直线EF，GH，AC交于一点．
综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．
答案：当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．
16．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？
(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一
点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？
(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P
点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？
解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．
答案：(1)2；(2)3；(3)4.
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1．设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()
A ．不存在
B ．只有1个
C ．恰有4个
D ．有无数多个
解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m ，n ，直线m ，n 确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
答案：D
2．[2014·广州模拟]在正四棱锥V-ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线V A 与BD 所成角的大小为( )
A .π6
B .π4
C .π3
D .π2
解析：如图所示，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，由于四棱锥V-ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO.又四边形ABCD
是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面V AC.所以BD⊥V A，即异
面直线V A与BD所成角的大小为π
2.
答案：D
3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD 与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．答案：C
4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的
棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．(0，3)
C ．(1，2)
D ．(1，3)
解析：如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得
2×22>a ，解得0<a< 2.
答案：A
5．[2014·西安模拟]在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝BC ，则直线PC 与AB 所成角的大小是__________．
解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE
中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a2
2×2a×2a
＝－1
2
，
所以∠FDE＝120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案：60°
6．[2014·许昌调研]如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF
与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊
12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
解析：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，
所以GH 綊12AD.
又BC 綊12AD ，故GH 綊BC.
所以四边形BCHG 是平行四边形．
(2)C ，D ，F ，E 四点共面．
理由如下：
由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，
所以EF 綊BG .
由(1)知BG ∥CH ，
所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．
又点D 在直线FH 上，
所以C ，D ，F ，E 四点共面．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。