数字信号处理课后习题答案(吴镇扬)

习题一 (离散信号与系统)
1.1周期序列，最小周期长度为5。

1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为14。

(2) 周期序列，最小周期长度为56。

1.5
()()()()()()()1
1s a s s s a n s s a s n X j x t p t X j ΩP j Ω2n τn τj sin j Ωjn e X 2n π2n n τj Sa X j jn e 2T 2π
ττ
∞
=-∞∞
=-∞Ω==
*⎡⎤⎣⎦ΩΩ⎛⎫-=-Ω ⎪⎝⎭ΩΩ⎛⎫-=Ω-Ω ⎪⎝⎭
∑∑F 1.6 (1) )(ω
j e kX (2) )(0
ω
ωj n j e X e (3) )(2
1
)(2122ω
ωj j e X e X -+ (4) )(2ωj e X
1.7 (1)
0n z -(2)
5.0||,5.011
1
>--z z
(3)
5.0||,5.011
1
<--z z
(4)
0||,5.01)5.0(11
10
1>----z z
z
1.8 (1) 0,)11(
)(2
1
1>--=---z z z z z X N (2) a z az az z X >-=--,
)1()(2
11
(3)
a z az z a az z X >-+=---,)
1()(3
11
21
1.9 1.10
(1)
)
1(2)(1----+n u n u n (2)
)
1(24)()5.0(6--⋅--n u n u n n (3)
)()sin sin cos 1(cos 00
0n u n n ωωωω++
(4) )()()(1n u a a a n a n ---+-δ
1.11 (1) )(1z c X - (2) )(2z X (3) )()1(21z X z -+ (4) -+<<x x R z R z X /1/1),/1(
1.12 (1)
1,11
<-ab ab
(2) 1 (3) 00n a n
1.13 (1) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

(2) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

(3) 线性系统时不变系统。

(4) 线性系统时不变系统。

(5) 线性系统时变系统。

1.14 (1)
)7()5(2)3()1(4)1(4)(-----+-++=n n n n n n y δδδδδ
(2) ⎩⎨⎧≥-≤≤-=-5
)5.02(5.04
05.02)(4
4n n n y n n (3) )5(8)4(4)3(6)2(3)1(2)()(-----+-+-+=n n n n n n n y δδδδδδ 1.16 (1) 因果、稳定。

(2) n 0<0时系统非因果,不稳定。

(3) 当n 0＞0时，该系统是因果系统，当n 0＜0时，该系统是非因果系统；系统稳定。

（4）因果、稳定。

（5）因果、稳定。

（6）因果、稳定。

（7）因果、不稳定。

（8）非因果、稳定。

1.17 (1) y(n)=1, n =0 y(n)=4*3-n , n ≥1
(2) )(])31(2123[)(n u n y n
⋅-= (3) )5(])3
1(1[23)(])31(2123[)(5
--+⋅-=-n u n u n y n n
1.18 y(n)=1,
n =0
y(n)=3*2-n , n ≥1
1.19 (1) )(])([1
)(11n u b a b
a n f n n ++--=
(2) )2()(2-=-n u a n f n (3)
1.22 (3) a
e H j 1)(=
ω
习题二 (离散傅里叶变换及其快速算法)
2.1
1
,1,00
)12()()2(212-==+=N k k X k X k X
2.6 (1) 1 (2) k
n N W 0 (3) k
N
N aW a --11 (4) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-≠-=0
2)1(0
1)(k N N k W N k X k N
2.10 (1) )()2cos(2n R n N
N N π (2) )()2cos(2n R n N N N π- (3) )()2sin(2n R n N N N π
2.12 (1)
[]
[])()(2
1
)())(())((21
)2cos()(DFT *m k X m k X k R m k N X m k X m n N n x N N N ++-=+-+-=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡π
(2)
[]
[])()(21
)())(())((21)2sin()(DFT *m k X m k X j
k R m k N X m k X j m n N n x N N N +--=+---=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡π 2.13
1
,,2,1,0)
()(-==N k k X rk Y
2.14
1,,1,0)
())(()(-==rN k k R k X k Y rN N
2.15 (1) )()(n R a n x N n = )()(n R b n y N n =
(2) )()(n n x δ= )()(n N n y δ=
2.16
)(11
N R a a
N n N
- 2.17 (1) )2/(N k X + (2) )(k X W k
N --
2.18 7≤n ≤19 2.19
(1)
}
9,12,14,10,6,3,6{)()(~
7=n R n f (2)
的主值序列是)(~
)(n f n f
(3){1,3,6,10,14,12,9,5,0,0,0,0} 2.20 125.8ms, 0.712ms 2.25
2.27 (1) N=49 (2) M=51 (3) 49－99 2.28 (1)854Hz (2) 815Hz
习题三(IIR 滤波器设计)
3.1 13
12231122
2
2
3()2()1()z e e H z e
e z e z -----
----=
-++
3.2 (1) ()()1
1
112
2()11a bj T a bj T
H z e
z
e z -+----=
+
--=221)()(1
][1)cos(1---+-----++--z
e z e e z bT e aT T bj a T bj a aT
(2)01()[](1)!m m
s T
AT d z
H z z m dz z e -=---
3.4 12
2
12()3z z H Z z
---++=+
3.6 1s f K H Z = 100c f HZ =
5s f K H Z = 500c f HZ = 200s f HZ = 20c f HZ =
3.7 1
112
110.665()10.36810.7860.368z H z z z z -----+=+--+
3.8
123123
123
123123123
5.196(133)
()15.6615.129.12 1.661333.014 2.91 1.7550.31950.331800.99540.99540.331810.96550.58060.106z z z H z z z z z z z z z z
z z z z z z ------------------+++=
++++++=+++-+-=
-+-
3.9
123123
22
1330.16670.50.50.1667()6210.3333z z z z z z H z z z
---------+--+-==++
3.10
6426425.196(331)
()15.6615.129.12 1.66
z z z H z z z z -+-=-+-
246
246
246
246
1333.014 2.91 1.7550.31950.33180.99540.99540.331810.96580.58270.1060z z z z z z z z z z z z -------------+-=
-+--+-=
-+-
3.12
1212
0.0674553(12)
()1 1.142980.412802z z H z z z -----+=++
3.14 55
.747.192.7577.3611.828
.036.036.028.0)(1
234134+-+--+-=-------z z z z z z z z H
习题四(FIR 滤波器)
4.1 （1）)]([sin[)
()1()(αωαπ---=n n n h c n
d
其中，2
1
-=
N α （2）因为h(n)偶对称，所以若N 为奇数，则属于第一种线性相滤波器，若N 为偶数，则属于第二种线性相位滤波器
（3） )()]1
2cos(
1[21)(n R N n
n w N --=π ∴)()()(n h n w n h d =
4.2 (1) )
()]
(sin[)](cos[2)(0απαωαω---=
n n n n h c d 其中21-=N α，
4.3 (1) ])s i n [(])s i n [()(2
)(0ωαωαπ
α---=
n n n n h c d
4.4 (2) ())()(n h n n h BP BR --=αδ N N 2
1-=
α必须为奇数
4.6 用k N k H H -=,又 N 为奇数
∴k N N k πθ2)21(
)(--==)11(N k --π=15
14π
k - )21(
1
]2/)/2sin[()2/sin()(1
)(N
k N j N k j e N k N k H N
e H π
ωω
πωω+---=∑-=
将k
j k e
H k H θ=)( 带入上式，则
∑=+
---=140)15
7(15
14]
2/)15/2sin[()2/15sin(151)(k k j k j k j e
e
k H e H πωπω
πωω
=
ω
πωωπωωωω7])
15/2/sin()2/15sin(5.0)15/2/sin()2/15sin(5.0)2/sin()2/15sin([151j e
-+--- 140)]15
14152cos(1[151)(≤≤-+=n n n h ππ
4.7 （1）)()()(2248
21k H e k H e
k H k j k j
ππ
--==
故 )(~
)(~
21k H k H =
(2) 线性相位, (N-1)/2, h 1(n )好于h 2(n )
4.8 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-==-==----k k e
k e k e k e
k H k j k j k j k j 其它02439.0839.031,...26,257,...1,0)(32
31
32
31
3231
32
31ππππ 4.9 (1) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====--32
,...22;11,..0020,...14,1321,1239.0)(3332
33
32
k k e
k e
k H k j k j π
π
(2) ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧====+-33
,...23;11,..0021
,...,14,1322,1239.0)(34
32
)2
3432(k k e k e
k H k j k j ππ
π
4.10 （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=-====+--+--2
,...3,21,14.000)()
2
1()2
1(N k e
N k k e
k k H N N k j N N k j ππππ
（2）⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧-+=--===其他1
1
,21
4.023,14.000
N N k N k k H k
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
-+=+----===+--+--其他)
2
1()2
1(1,21
)21(4.023,14.000)(π
πππππN N k j N N k j e N N k N N k j e N k e k k H
习题五(数字信号处理系统的实现)
5.1 (1) 2
11
3.025.0125.02)(---+-+=z z z z H
(2) 5
43214
3213
22
1212108.062.098.026.05.112.739.156.3616.076.016.36.065.05.1125.01)(--------------------+-++++=
++++⋅
--++=z z z z z z
z z z z z z z z z z z z H
5.7 +--=--116
11)[1(161)(z z z H ]414.1141.1185.1198.12211211------+--++--z
z z z z z 5.8
2
22
2220
22222
()(2())
111
[2]
2/12
111n
n n
n n f e
e
n n b e e e a
c a
ac c a ac c ∞
∞
==-=+=++=++=---∑∑σ
σ
σσ
5.9 (1)
21
)(cos 21022=+=⎰-θθωπσπ
π
d n x
b
e
x q q 22
222266
12
2
1⋅===
∴
σσ
(2) b=(80-1.249)/6.02=13.08 (取整)=14
5.10 (1) 284.2e σ (3) 293.7e σ。