高中数学 2.12.1.3 两条直线的平行与垂直同步检测试题 苏教版必修2

2．1 直线与方程
2.1.3 两条直线的平行与垂直
基础巩固
知识点一 两条直线平行
1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为__________．
解析：k AB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2
＝－2，解得：m ＝－8. 答案：－8
2．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行则k ＝__________.
解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.
答案：3或5
3．已知A (3,1)，B (0，－1)，C (1,3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD .
解析：设D (a ，b )，则k AB ＝
1－－13－0＝23，k CD ＝b －3a －1. ∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23
.∴2a －3b ＋7＝0.
∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .
知识点二 两条直线垂直
4．过点A (－1,0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是__________．
解析：k AB ＝－1－01＋1＝－12，k MN ＝0－k －k 2
－0＝2， ∴k AB ·k MN ＝－12
×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直
5．已知点A (2,2)，B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有__________个．
解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．
答案：3
6．已知直线l 1经过点A (－2,0)和点B (1,3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－
2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．
解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a
. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a
＝－1.∴a ＝1.
(2)当a ＝0时，此时k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.
综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.
知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用
7．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面四个结论中正确的是__________(填序号)．
①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .
解析：由题意得k AB ＝－35，k AD ＝53，k CD ＝－35，k AC ＝14
，k BD ＝－4.∴k AB ＝k CD ，k AB ·k AD ＝－1，k AC ·k BD ＝－1.
∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．
又k AB ·k BD ≠－1，∴③错误．
答案：①②④
8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：
(1)l 1∥l 2；
(2)l 1⊥l 2.
解析：∵k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1
.
(1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2，a ＝－1.
当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．
∴a ＝－1.
(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23.综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23
时，l 1⊥l 2.
能力升级
综合点一 平行与垂直的简单应用
9．在直角坐标平面内有两个点A (4,2)，B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是__________．
解析：设C (x 0,0)由AC ⊥BC ，得
0－2x 0－4 · 0＋2x 0－1
＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5. 答案：(0,0)或(5,0)
10．若点A (1,2)在直线l 上的射影为B (－1,4)，则直线l 的方程是__________．
解析：∵AB ⊥l ，k AB ＝4－2－1－1
＝－1，∴k l ＝1，又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为：x －y ＋5＝0.
综合点二 平行与垂直的综合应用
11．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是__________．
解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴k AB · k BC ＝－1，
即4－03－2 · 4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：194
12．过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为__________．
解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7
＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2
＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3
综合点三 平行直线系或垂直直线系问题
13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．
解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0. 设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于B 、C ，易得：A (1,0)，D (0,1)，B (m,0)，C (0，m )．
又l 2在l 1的上方，
∴m ＞0.S 梯形＝S Rt△OBC －S Rt△OAD ，
∴4＝12m ·m －12
×1×1，∴m 2＝9，m ＝3. 故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。