苏州市中考一轮复习第31讲《视图与投影》讲学案

中考数学一轮复习第31讲《视图与投影》
【考点解析】
知识点一、辨别立体图形的三种视图
【例1】（•烟台）如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图的观察角度得出答案．
【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：
和．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
【例2】（浙江宁波）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）
【答案】A．
【解析】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．故选A．
【点评】俯视图是从物体的上面看得到的视图，从上面看：共两行，上边一行有3个正方形，下边一行靠中间有1个正方形，从而可判断出答案.
【变式】
1．（•巴中）如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．（•江西）有两个完全相同的正方体，按下面如图方式摆放，其主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的定义即可得到结果．
【解答】解：其主视图是C，
故选C．
【点评】此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
知识点二、利用三视图求几何体的面积
【例2】（·湖北随州）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（）
A．15πcm2B．51πcm2C．66πcm2D．24πcm2
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案．
【解答】解：由三视图，得
，
OB=3cm，0A=4cm，
由勾股定理，得AB==5cm，
圆锥的侧面积×6π×5=15πcm2，
圆锥的底面积π×（）2=9πcm，
圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），
故选：D．
【变式】
已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
【答案】B.
【解析】∵底面半径为3，高为4，
∴圆锥母线长为5，
∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．
故选：B．
知识点三、由三视图确定物体的形状
【例3】（•绥化）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图．
【变式】
（·山东省德州市）图中三视图对应的正三棱柱是（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】利用俯视图可淘汰C、D选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰B，从而判断A选项正确．
【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A选项正确．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．
知识点四、由视图确定立方体的个数
【例5】（·黑龙江齐齐哈尔）如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个．
故选A．
【变式】
（甘肃庆阳）某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B ．
【解析】从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得上面一层至少有1个小正方体，所以至少需要4个这样的小正方体．故选B ．
【点评】本题主要考查了同学们的空间想象能力，我们在做这种问题时，可结合主视图或左视图在俯视图上采用数字标法.
在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n ，则n 的最小值为 ．
【答案】5.
【解析】观察主视图和左视图可知，此几何体有三行，三列，底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成.
知识点五、利用三视图求几何体的体积
【例5】（四川德阳）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（ ）
A ．200πcm 3
B ．500πcm 3
C ．1000πcm 3
D ．2000πcm 3
【答案】B ．
【解析】根据图示，可得商品的外包装盒是底面直径是10cm ，高是20cm 的圆柱，∴这个包装盒的体积是：2
(102)20500ππ⨯÷⨯=（cm 3）．故选B ．
【点评】首先要根据三视图断定物体的形状，根据三种视图的特点我们不难发现该图形是空心圆柱。

从而可求出它的体积.
【变式】
（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为33π．（结果保留π）
知识点六：投影
【例题】10．（广西南宁）把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
【变式】
（江西南昌）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（）．
【答案】C
【解析】可用排除法，B、D两选项有迷惑性，B是主视图，D不是什么视图，A少了上面的一部分，正确答案为C.
【点评】先要搞准观看的方向，三视图是正投影与平行投影的产物，反映物体的轮廓线，看得到的画成实线，遮挡部分画成虚线.
【典例解析】
【例题1】
（•遵义）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，故选：C．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图是从正面看到的平面图形．
【例题2】
（河南）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A 、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A 错误；
B 、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B 错误；
C 、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C 正确；
D 、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D 错误；
故选：C ．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
【例题3】
（·山东省东营市）从棱长为2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是( )
D
C B A 第4题图正面
【知识点】视图——判断三视图
【答案】B.
【解析】俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小
正方形，故选择B.
【点拨】自几何体的正前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图.看得见的棱用实现表示，被遮挡住的看不见的棱要用虚线表示.
【中考热点】
【热点1】
1.（·山东潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．
【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．
故选：C．
2.（·陕西）如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据已知几何体，确定出左视图即可．
【解答】解：根据题意得到几何体的左视图为，
故选C．
【热点2】
1.（·山东省德州市）图中三视图对应的正三棱柱是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】利用俯视图可淘汰C 、D 选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰B ，从而判断A 选项正确．
【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A 选项正确．
故选A ．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．
2．（·山东省东营市·3分）从棱长为2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是( )
D
C B A 第4题图正面
【知识点】视图——判断三视图
【答案】B.
【解析】俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故选择B.
【点拨】自几何体的正前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图；自几何体的上方向下投射，在水平
投影面上得到的视图称为俯视图.看得见的棱用实现表示，被遮挡住的看不见的棱要用虚线表示.
【热点3】
（·济宁）三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为 cm．
【解析】由三视图判断几何体．根据三视图的对应情况可得出，△EFGFG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意可得出：FQ=AB，
∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=×12=6（cm）．故答案为：6．
【点评】：此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出FQ=AB是解题关键．。