江苏省马坝高级中学2021届高三数学上学期期中试题 理.doc

江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试
高三数学试题（理科）（Ⅰ卷）
一、填空题（共14小题，每题5分，共70分）
1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则B A ⋂=______． 2．设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 3．已知一组数据
，，，，，则该组数据的方差是______．
4．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．
5.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.
6．已知实数x ，y 满足约束条件2
323x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，
则2z x y =+的最小值为______.
7．已知函数()x
x ax
f x xe e
=-
（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____． 8．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）． 9．已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为_______. 10．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，
则2
1
S S 的值为___． 11．已知函数ln ,
0()21,0
x
x x f x x >⎧=⎨
+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a
的取值范围为_______. 12．在等腰
中，
，
，则
面积的最大值为__________．
13．已知函数31
()4f x x x
=-
+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____． 14．已知函数
.若
，且
，则
的取值范围是__________．
二、解答题：（共6小题，15、16、17各14分，18、19、20各16分，共90分） 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a b 且sin sin B C =.
（1）求角A 的大小；
（2）若23a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度.
16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，
DE AD ⊥.
（1）求证：AD CE ⊥； （2）求证：//BF 平面CDE ．
17.已知函数()3
2133
f x x mx nx =
+++，其导函数()f x '的
图象关于y 轴对称，()213
f =-． （1）求实数,m n
值；
（2）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．
18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a (0)a >，
1BC =，AB 与地面成θ角（02
π
θ<<
），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离
分别为12,h h ，记CE h =．
（1）若3a =
，求h 的最大值，并求此时的θ值；
（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．
19. 已知奇函数f （x ）＝a （a 为常数）．
（1）求a 的值；
（2）若函数g （x ）＝|（2x
+1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围；
（3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）41
21
x x
m ⋅-≤+恒成立，求实数m 的取值范围．
20. 已知函数
（
）.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上无极值点，求的值；
（3）当时，讨论函数
的零点个数，并说明理由.
江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试
高三数学试题（理科）（Ⅱ卷）
21.已知矩阵2011M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．
22. 在极坐标系中，直线cos()24πρθ+与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆
的极坐标方程．
23. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=
∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,
1cos 2αα=⎧⎨=+⎩
x y （α为参数），求直线l 与曲
线C 的交点P 的直角坐标.
24. 如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD
-中，侧棱PD ⊥底面ABCD，PD DC
=，E是线段PC的中点．
（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；
（2）若点F在线段PB上，且二面角F DE B
--的平面角的
正弦值为
3
3
，求
PF
PB
的值．
（第24题）
高三数学期中考试答案
一卷答案
一、填空题
1．
{}
1- 2．-2 3． 4．
1
4
5．6 6．7/2 7．1 8．充分不必要 9． 3 10．5
11．()2,+∞ 12．4 13．2 14.
二、解答题
15．（1）由sin sin B C =及正弦定理知b c =，又3a b =，
∴由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-= 22223122
b b b b +-==-
. ()0,A π∈，∴23
A π=
. （2）由（1）知6
B C π
==
，
∴在BCD ∆中知：34BDC π∠=
，6
BCD π
∠=，又23BC = 故由正弦定理得33sin sin
46
BD ππ=
.∴6BD =16．证明：（1）因为矩形ABCD ，所以AD ⊥CD 又因为DE ⊥AD ，且CD
DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE
又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥CE
（2）因为AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以AB ∥平面CDE 又因为AF ∥DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE ，所以AF ∥平面CDE 又因为AB
AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面CDE
又因为BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面
CDE 18．（1）3,a =又sin cos 3cos 2sin()6
h a π
θθθθθ=+=+=+
02
π
θ<<
26
6
3π
π
πθ∴
<+
<
,当且仅当62ππ
θ+=,即3
πθ=时max 2h =
（2）
12()h h h +21
(sin cos )(cos sin )sin 22
a a a a θθθθθ+=++=+
当且仅当22=πθ,即4π
θ= 时, 12()h h h +的最大值为21
42a a ++=
0,221a a >=-,
19．【解析】
（1）f （x ）是定义在R 上的奇函数， 可得f （0）＝a ﹣1＝0，即a ＝1， 可得f （x ）＝1
，
由f （﹣x ）+f （x ）
0，
即f （x ）为R 上的奇函数，故a ＝1；
（2）函数g （x ）＝|（2x
+1）f （x ）|﹣k 有2个零点 ⇔方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解， 即k ＝|2x
﹣1|有2个解，
即函数y ＝k 和y ＝|2x
﹣1|的图象有2个交点，由图象得k ∈（0，1）； （3）x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ），即1，
即m ≥2﹣x 在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立， 由g （x ）＝2﹣x
在R 上单调递减，
x ∈[﹣2，﹣1]时，g （x ）的最大值为g （﹣2）＝4，
则m ≥4，即m 的取值范围是[4，+∞）．
20.（I ）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（II），，依题意有，即，
，解得.
(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. （2）时：
当，，函数为增函数；
当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数.
由于，此时只需判定的符号：
当时，函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
综上，时函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
Ⅱ卷答案
21.解：矩阵M的特征多项式为，
令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，………4分将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；
同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为 ………10分
22.解
23.解：因为直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=
∈R ，所以直线l 的普通方程为3y x =
，
又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数），
所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =∈-，
联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或23
6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
．
根据x 的范围应舍去23
6
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0) ………10分
24.解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 所以DA ，DC ，DP 两两垂直，
故以{}
,,DA DC DP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 因为PD DC =，
所以DA DC DP ==．
不妨设2DA DC DP ===， 则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，
0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点， 所以E （0，1，1），
故AP ＝（－2，0，2），BE ＝（－2，－1，1） 所以cos ,AP BE 〈〉＝
AP BE AP BE
⋅
⋅＝
， 从而,AP BE 〈〉＝
π6
． 因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为
π
6
．………………………………………………4分 （2）由（1）可知DE ＝（0，1，1），DB ＝（2，2，0），PB ＝（2，2，－2）． 设PF ＝PB λ，则PF ＝（2λ，2λ，－2λ）， 从而DF ＝DP ＋PF ＝（2λ，2λ，2－2λ）． 设m ＝（1x ，1y ，1z ）为平面DEF 的一个法向量，
则00
DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩．
取1z ＝λ，则1y ＝－λ，1x ＝2λ－1，
所以m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量． (6)
分
设n ＝（2x ，2y ，2z ）为平面DEB 的一个法向量，
则00
DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩．
取2x ＝1，则2y ＝－1，2z ＝1，
所以n ＝（1，－1，1）为平面DEB 的一个法向量．………………………………………8分 因为二面角F DE
B -- 所以二面角F DE B
--
即cos ,⋅〈〉=
=
=
⋅m n m n m n
， 化简得2
41λ=．因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，
优质资料\word 可编辑
- 11 - / 11 故λ＝
12，即PF PB ＝12
．……………………………………………………………………10分。