高二数学家上册课后自主练习题7

第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法
1．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图象来表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等
D ．数列可以用一群孤立的点表示 2．关于以下4个数列： (1)－1,1，－1,1，…； (2)1,3,5,7，…； (3)12，13，14，1
5，…； (4)－27,9，－3,1. 正确的叙述是( )
A ．(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列
B ．(2)(3)是无穷数列，(1)(4)是有穷数列
C ．(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列
D ．(2)是无穷数列，(1)(3)(4)是有穷数列 3．已知数列{n 2＋n }，那么( ) A ．0是数列中的一项 B ．21是数列中的一项 C ．702是数列中的一项 D ．以上答案都不对
4．已知数列{a n }的前4项为1，3，5，7，则数列{a n }的通项公式可能为( )
A ．a n ＝2n －1
B ．a n ＝2n －1
C ．a n ＝2n ＋1
D ．a n ＝2n ＋1
5．已知数列1，3，7，15，…，2n －1，…，那么63是该数列的第几项( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x 的值是( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 7．图K2-1-1是关于星星的图案构成的一个数列，请写出这个数
列的一个通项公式．
图K2-1-1
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，另一个数列{b n }可用b n ＝a n ＋1
a n
表示，则{b n }的通项公式为__________．
9．已知数列{a n }的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有( )
①a n ＝1
2[1＋(－1)n ＋1]；
②a n ＝sin 2n π2； ③a n ＝1
2[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；
④a n ＝1－cos n π2
，(n ∈N *
)； ⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 (n 为正偶数)，0 (n 为正奇数)；
⑥a n ＝1－(－1)n ＋1
2
. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n
，试问：110和16
27是不是它
的项？如果是，是第几项？
2．1.2 数列的递推公式
1．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，且a 1＝1，则a 4＝( ) A ．8 B ．6 C ．9 D ．7
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n
＋n (n ∈N *
) B.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2) D.⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1) (n ∈N *
) 3．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n ＋1＝1
2a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列
4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( )
A ．－165
B ．－33
C ．－30
D ．－21
5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝tan n π
3，则a 2＝( ) A.2 33 B ．－2 33 C ．2 3 D ．－2 3 6．(2014年浙江宁波模拟)设a ∈R ，数列{(n －a )2}(n ∈N *)是递增数列，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a ≤1
D ．a <3
2
7．已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)
(n ∈N *
)，求1120是这个数列的第几
项．
8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n 9．在图K2-1-2中，(1)(2)(3)，…是由花盆摆成的图案．
图K2-1-2
根据图中花盆摆放的规律，猜想第4个图形中花盆数为__________，记第n 个图形中的花盆数为a n ，当n >1时，a n 与a n －1的递推关系为__________．
10．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n ＝n 2·a n ，求数列{a n }的通项公式．
2.2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( )
A ．非负整数
B ．N *的子集
C ．N *
D ．N *或{1,2,3，…，n }
2．在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13
C ．－12
D ．－13
3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )
A ．公差为2的等差数列
B ．公差为1的等差数列
C ．公差为－2的等差数列
D ．非等差数列
4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＝3，若a n ＝2014，则n ＝( )
A ．669
B ．665
C ．671
D ．672
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－5 6．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝21，d ＝2，则n ＝________. 7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，求a 6.
8．一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则sin(A ＋C )＝( )
A ．－12 B.12
C ．－32 D.3
2
9．在1和2之间插入2个数，使它们与1,2组成等差数列，则该数列的公差为______．
10．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4
＝0的根，求数列{a n }的通项公式．
2.2.2 等差数列的性质
1．(2013年上海)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝________.
2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )
A ．－2
B ．－1
2 C.1
2 D ．2
3．若{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝( )
A ．3
B ．－5
C ．－2
D ．－3
4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3
＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．7
6．在等差数列{a n }中，若a 7＝m, a 14＝n ，则a 21＝________.
7．四个数a ，x ，b,2x 成等差数列，求a
b 的值．
8．等差数列{a n }的各项均为正数，若a 3a 5＋a 3a 8＋a 5a 10＋a 8a 10＝64，则a 1＋a 12＝________.
9．(2014年上海模拟)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为π
2的等差数列，要得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只要将f (x )的图象向右平移________个单位．
10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)如图K2-2-1,2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运
会吗？
图K2-2-1
2.3 等差数列的前n 项和 2．
3.1 等差数列的前n 项和
1．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝()
A．2 B．3
C．6 D．7
2．(2013年安徽)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝()
A．13 B．35
C．49 D．63
4．等差数列{a n}各项都是负数，且a23＋a28＋2a3a8＝9，则它的前10项和S10＝()
A．－15B．－13C．－11D．－9
5．设数列{a n}是公差为d的等差数列，前n项和为S n.当首项a1与公差d变化时，若a4＋a8＋a9是一个定值，则下列各数中也是定值的是()
A．S9B．S11
C．S13D．S15
6．在等差数列{a n}中，公差d＝2, S20＝60，则S21＝()
A．100 B．84
C．66 D．62
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值．
8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m ＝38，则m＝()
－1
A．38 B．20
C．10 D．9
9．在等差数列{a n}，{b n}中，若a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，
则数列{a n＋b n}的前100项之和为____________．
10．已知一个等差数列的前4项之和为21，末4项之和为67，前n项和为286，求该数列的项数n.
2.3.2等差数列前n项和的性质
1．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10＝()
A．12 B．24 C．36 D．48
2．已知等差数列{a n}，a n＝2n－19，那么这个数列的前n项和S n()
A．有最小值且是整数
B．有最小值且是分数
C．有最大值且是整数
D．有最大值且是分数
3．在等差数列{a n}中，a1＋a7＝42，a10－a3＝21，则前10项的和S10＝()
A．720 B．257
C．255 D．不确定
4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：
①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5，其中结果为确定常数的是()
A．②③⑤B．①②⑤
C．②③④D．③④⑤
5．等差数列{a n}前n项和为S n，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是()
A．S30是S n中的最大值
B．S30是S n中的最小值
C．S30＝0
D．S60＝0
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，…，S12中值最大的是()
A．S5B．S6
C．S7D．S8
7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝－13，a2＝3，求S n 的最大值．
8．等差数列{a n}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是() A．a6B．a8
C．a10D．a11
9．若在等差数列{a n}中，S10＝100，S20＝110，则S40＝()
A．130 B．30
C．－140 D．－170
10．已知数列{a n}的前n项和是S n＝32n－n2，求数列{|a n|}的前n 项和S n′.
2.4等比数列
2．4.1等比数列的定义及通项公式
1．已知等比数列的通项公式为a n ＝2n ，则a 1，q 分别为( ) A ．2,2 B ．2,1 C ．1,2 D ．1,1
2．在等比数列{a n }中，若a 2＝3，a 5＝24，则数列{a n }的通项公式为( )
A.32·2n
B.32·2n －2
C ．3·2n －2
D ．3·2n －1
3．2与4的等比中项是( ) A ．2 2 B ．－2 2 C ．±2 2 D ．不存在
4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2
5，a 2＝1，则a 1＝( )
A.12
B.22
C. 2 D ．2 5．(2013年江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24
6．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
7．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．
8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．8
9．(2014年广东肇庆一模)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2
＋a 3＝6，则a 5＝________.
10．在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)．证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．
2.4.2 等比数列的性质
1．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1, a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32
2．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )
A ．5 2
B ．7
C ．6
D ．4 2
3．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为( )
A ．x 2－6x ＋25＝0
B ．x 2＋12x ＋25＝0
C ．x 2＋6x －25＝0
D ．x 2－12x ＋25＝0 4．(2012年广东茂名一模)在等比数列{a n }中，若a 3，a 9是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 6的值是( )
A ．3
B ．±3
C ．±3
D ．以上答案都不对 5．已知{a n }是等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝( ) A ．1 B ．64 C ．64或1 D ．±1
6．等比数列{a n }满足a 1a 5＝1
2，则a 2a 23a 4＝________.
7．在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，求a 20
a 10
的值．
8．设数列{a n }是等比数列，且a 5a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝__________.
9．2，x ，y ，z,162是成等比数列的5个正整数，则y ＝( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．±18
10．已知数列{a n }与等比数列{b n }满足b n ＝2a n ，n ∈N *. (1)判断{a n }是什么数列，并证明；
(2)若a 8＋a 13＝1
2，求b 1·b 2·…·b 20的值．
2.5 等比数列的前n 项和 2．5.1 等比数列的前n 项和
1．(2014年广东清远一模)在等比数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝1
8，则该数列的前5项和为( )
A ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫123
B ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫124
C ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
D ．2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
126
2．在等比数列{a n }中，a 1＝1, 前3项和S 3＝3，则公比q ＝( )
A ．1
B ．－2
C ．1或－2
D ．－1或2
3．在1和16之间插入3个正数a ，b ，c ，使1，a ，b ，c,16成等比数列，则这个等比数列所有项的和为( )
A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1，则数列{a n }的前5项和S 5＝( )
A.31
2 B ．62 C.341
2 D ．682 6．(2013年北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝__________.
7．在等比数列中{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，求： (1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .
8．等比数列{a n }的公比q ＞0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.
9．已知a ≠0，则S ＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝____________________.
10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ；
(2)若a 1－a 3＝3，求S n .
2.5.2 等比数列前n 项和的性质
1．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )
A ．1
B ．－1
2
C ．1或－12
D ．－1或1
2
2．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18, a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝( )
A ．513
B ．512 C.225
8 D ．510
3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n
＝14，则S 4n ＝( )
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6
＝( )
A ．2 B.7
3 C.8
3 D ．3 5．某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内这个工厂的总产值是( )
A ．1.14a
B ．1.15a
C ．10(1.15－1)a
D ．11(1.15－1)a
6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1
＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35
7．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，求S 4
a 2
.
8．在等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S 6＝48，S 12＝60，则S 18＝________.
9．一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝________.
10．项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍，求该数列的通项公式．
2.6 数列求和
1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，S 20＝10m ，那么下列各式中与m 相等的是( )
A ．a 3＋a 5
B ．a 2＋2a 10
C ．a 20＋d
D ．a 9＋a 12
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝( )
A.12 B ．－12 C.2 D ．－2
3．数列{a n }的通项公式为a n ＝
1
n ＋n ＋1
，若S n ＝9，则n ＝( )
A ．9
B ．10
C ．99
D ．100
4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 17
a
4
＝( )
A.32
B.23
C.1
6 D ．6
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ·a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100
6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7
的等比中项，S 8＝32，则S 10＝( )
A ．18
B ．24
C ．60
D ．90
7．求数列11×3，12×4，13×5，…，1
n (n ＋2)
，…的前n 项和S n .
8．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，1
4，…的前100项的和为( )
A ．13914
B ．131114
C ．14114
D ．14314
9．数列{a n }是等差数列，公差d >0，S n 是{a n }的前n 项和．已知a 2a 3＝40，S 4＝26.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n＝1
a n·a n＋1
，求数列{b n}前n项和T n.
10．(2013年湖南)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n －a1＝S1·S n，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{na n}的前n项和．
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法
1．C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.a n ＝n (n ＋1)
2
8．b n ＝n ＋2
n 9.C
10．解：设110是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n
＝1
10，即n 2＋3n
－40＝0，(n ＋8)(n －5)＝0.∴n ＝－8(舍去)，n ＝5.
∴1
10是数列{a n }中的第5项．
同理设1627是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n
＝1627，
即4n 2＋12n －27＝0，(2n －3)(2n ＋9)＝0.
∴n ＝32(舍去)或n ＝－9
2(舍去)． ∴16
27不是数列{a n }中的项．
2．1.2 数列的递推公式
1．D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7．解：依题意，得120＝n (n ＋2)．
∴n 2＋2n －120＝0，即(n ＋12)(n －10)＝0. ∴n ＝－12(舍去)，或n ＝10. ∴1
120是数列{a n }的第10项．
8．A 解析：a 2＝a 1＋ln2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 4
3，…，a n －1
＝a n －2＋ln n －1n －2，a n ＝1n a -＋ln n n －1
，故a n ＝a 1＋ln2＋ln 32＋ln 4
3＋…＋
ln n －1n －2＋ln n
n －1＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×32×43×…×
n －1n －2×n n －1＝a 1＋ln n ＝2＋ln n .
9．37 a n －a n －1＝6(n －1) 10．解：∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n ， ∴当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2·a n －1.
∴a n ＝S n －S n －1＝n 2
a n －(n －1)2
a n －1⇒a n a n －1＝n －1
n ＋1
.
∴a n ＝a n a n －1· a n －1a n －2·a n －2a n －3·…· a 3a 2·a 2
a 1·a 1
＝n －1n ＋1· n －2n ·n －3n －1·…· 24·13·1＝2n (n ＋1)
. 显然当n ＝1时，2n (n ＋1)＝1，∴a n ＝2
n (n ＋1)
，n ∈N *.
2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.10 7.13 8.D 9.13
10．解：根据韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝a 3，
a 1·
a 2＝a 4.
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1·(a 1＋d )＝a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
d ＝2.
故a n ＝a 1＋()n －1d ＝2n .
2．2.2 等差数列的性质 1．15 2.B 3.A 4.B 5.B
6．2n －m 7.13 8.8 9.π
12
10．解：(1)由题意知：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列．
数列的通项公式为a n ＝1896＋4(n －1)＝1892＋4n (n ∈N *)． (2)假设a n ＝2008，由2008＝1892＋4n ，得n ＝29. 假设a n ＝2050,2050＝1892＋4n 无正整数解．
∴所求通项公式为a n ＝1892＋4n (n ∈N *)，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会．
2．3 等差数列的前n 项和 2．3.1 等差数列的前n 项和 1．B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7．解：数列{a n }是等差数列， 由S 9＝72，又S 9＝9a 5，∴a 5＝8.
∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24.
8．C 解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a m －1＋a m ＋1＝2a m .由a m
－1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝2或a m ＝0(舍去)．又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2
＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10. 9．10 000 解析：S 100＝100(a 1＋b 1＋a 100＋b 100)2
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
10．解：设这个数列为{a n }，则
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n
＝67.∴a 1＋a n ＝22. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2
＝286，∴n ＝26.
2．3.2 等差数列前n 项和的性质
1．B 2.A 3.C 4.A
5．D 解析：∵{a n }为等差数列，S 20＝S 40，
∴a 21＋a 22＋…＋a 40＝0.S 60＝(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋a 22＋…＋a 40)＋(a 41＋a 42＋…＋a 60)＝3(a 21＋a 22＋…＋a 40)＝0.
6．B
7．解：∵a 2＝3，a 3＝－13，∴d ＝a 3－a 2＝－16.
∴a 1＝a 2－d ＝19.
∵a 2>0，a 3>0，且d <0，
∴S n 的最大值为S 2＝a 1＋a 2＝19＋3＝22.
8．B 9.C
10．解：∵a 1＝S 1＝32×1－12＝31，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝33－2n .
又由a n ＞0，得n ＜16.5，即{a n }前16项为正，以后皆负． ∴当n ≤16时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n －n 2；
当n ＞16时，S n ′＝a 1＋…＋a 16－a 17－a 18－…－a n
＝S 16－(S n －S 16)＝2S 16－S n ＝512－32n ＋n 2.
∴S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧
32n －n 2 (n ≤16)，512－32n ＋n 2 (n >16).
2．4 等比数列
2．4.1 等比数列的定义及通项公式
1．A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B
7．解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ (x －d )2＝ax ， ①a ＋(x －d )＋x ＝19， ②(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝12. ③
解得x ＝4.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧
(4－d )2＝4a ，a －d ＝11. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝25，d ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝9，d ＝－2. 故所求四个数为25，－10,4,18或9,6,4,2.
8．B 9.16
10．证明：∵2a n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2·a n ， ∴a n ＋1＝12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2·a n . ∴a n ＋1()n ＋12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2()
n ＋12·a n ＝12·a n n 2. 因此数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 2是以首项为a 112＝1，公比为12的等比数列． ∴a n n 2＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n －1，即a n ＝n 2
2
n －1.
2．4.2 等比数列的性质
1．A 2.A 3.D 4.C 5.C
6.14 解析：a 1a 5＝12⇔a 23＝12，a 2a 23a 4＝a 43＝14.
7．解：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝3，a 14＝2.
所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4.所以a 20a 10＝32或a 20a 10
＝23. 8．20 解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 381＝5×4＝20.
9．C 解析：由已知，得y ＝2×162＝18.
10．解：(1)数列{a n }是等差数列．证明如下：
∵b n ＝2a n ，∴log 2b n ＝a n .∴a n －1＝log 2b n －1(n ≥2)．
∴a n －a n －1＝log 2b n b n －1
. ∵数列{b n }为等比数列，
∴b n b n －1为常数，log 2b n b n －1
也为常数． ∴数列{a n }为等差数列．
(2)∵b n ＝2a n ，
∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝2a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20.
由(1)知：{a n }为等差数列，且a 8＋a 13＝12，
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝10(a 8＋a 13)＝5.
∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝25＝32.
2．5 等比数列的前n 项和
2．5.1 等比数列的前n 项和
1．B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.2 2n ＋1－2
7．解：(1)由已知a 1＝1，a 4＝8，
∴a 1q 3＝8，易得q ＝2.
∴a 2＝2n －1.
(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n
1－2
＝2n －1. 8.152 9.11或1－a 111－a
10．解：(1)依题意，得a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.
又q ≠0，从而q ＝－12.
(2)由已知，可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .
2．5.2 等比数列前n 项和的性质
1．C 2.D 3.B 4.B 5.D
6．B 解析：由a 5a 6＋a 4a 7＝18，得a 5a 6＝9.所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.
7．解：∵q ＝2，
∴S 4＝a 1(1－24)1－2
＝15a 1. ∴S 4a 2＝15a 12a 1
＝152. 8．63 解析：在等比数列{a n }中，(S 12－S 6)2＝S 6·(S 18－S 12)，
∴S 18＝(S 12－S 6)2S 6
＋S 12＝(60－48)248＋60＝63. 9.56
10．解：设数列{a n }共有2n 项，则
(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n )＝4(a 2＋a 4＋…＋a 2n )．
显然q ≠1，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1
＝3(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )．
∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝13
，即q ＝13. 又a 2·a 4＝9(a 3＋a 4)，∴a 21q 4＝9a 1q 2(1＋q )，∴a 1＝108.
∴a n ＝108·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝43
n －4.
2．6 数列求和
1．D 2.D 3.C 4.B
5．A 解析：由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n
－1)＝n .故1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.又1a 1a 2＋…＋1a 100a 101
＝11－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.故选A.
6．C 解析：由a 24＝a 3a 7，得
(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )．
则2a 1＋3d ＝0.
再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得2a 1＋7d ＝8.
则d ＝2，a 1＝－3.
所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.
7．解：∵1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－12n ＋4. 8．A 解析：由1＋2＋…＋n ＜100，即n (n ＋1)＜200，得n ≤13.
当n ＝13时，n (n ＋1)2＝91，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＋12＋13＋13＋13＋…＋113＋114＋114＋…＋114＝13＋914.
9．解：(1)S 4＝42(a 1＋a 4)＝2(a 2＋a 3)＝26，
又∵a 2a 3＝40，d >0，∴a 2＝5，a 3＝8，d ＝3.
∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n －1.
(2)∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)
＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 2(3n ＋2)
. 10．解：(1)∵S 1＝a 1，
∴当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1.又∵a 1≠0，∴a 1＝1.
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1
＝2a n －2a n －1⇒a n ＝2a n －1⇒{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列，即a n ＝2n －1，n ∈N *.
(2)令T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n ·a n
⇒qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n ·qa n
⇒qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n ·a n ＋1.
上式左右错位相减，得
(1－q )T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1
＝a 11－q n
1－q
－na n ＋1＝2n －1－n ·2n ⇒T n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.。