2021-2022学年黑龙江省牡丹江市牡丹江第一高级中学高二上学期期中考试 数学 (Word版)

2021-2022学年黑龙江省牡丹江市牡丹江第一高级中学高二上学
期期中考试 数学
一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.椭圆
14
162
2=+y x 的长轴长为（ ） A.2 B.4 C.8 D. 54
2.已知点C B A O ,,,为空间不共面的四点，且向量OC OB OA a ++=,向量OC OB OA b -+=,则与b a ,不能构成空间基底的向量是 ( )
A. OA
B. OB
C. OC
D. OA 或OB 3.圆02:2
2
=-+x y x C 被直线x y 3=截得的线段长为( )
A. 2
B.
3 C.1 D. 2
4.经过三点)2,1(),0,3(,01C B A ），（-的圆的面积是 ( )
A. π
B. π2
C. 3π
D. π4
5.设OABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若
OC z OB y OA x OG ++=，则),,(z y x 为 ( )
A. )41,41,41(
B. )43,43,43(
C. )31,31,31(
D. )3
2,32,32(
6.直线)(02)1()1(:R a a y a x a l ∈=+-++与圆07222
2
=-+-+y x y x C ：的位置关系是 ( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.相交或相切 7.已知点),(y x P 在圆014662
2
=+--+y x y x C ：上，则y x +的最大值是（ ） A. 4 B. 10 C. 226- D. 226+
8.唐代诗人李白的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点)3,2(-B ，
若将军从点)0,2(A 处出发，河岸线所在直线方程为3=+y x ，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．26
B ．31
C ．29
D ．34
9.如图，在直三棱柱111C B A ABC -，底面为正三角形，641==AA AB ，，若F E ,分别是棱11,CC BB 上的点，且1113
1
,CC F C E B BE =
=，则异面直线AF E A 与1所成角的余弦值为 ( )
A.
63 B. 62 C. 103 D. 10
2
10. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若
0=⋅NF NM ，则椭圆的离心率为 ( )
A.
23
B. 21
2- C. 21
3- D. 2
1
5- 二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）
11．已知方程22
141x y t t +=--表示曲线C ，则（ ）
A ．当14t <<时，曲线C 一定是椭圆
B ．当4t >或1t <时，曲线
C 一定是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则312
t <<
D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >
12.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角60θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（ ）
A ．椭圆的长轴长为8
B ．椭圆的离心率为
3
2
C ．椭圆的离心率为12
D ．椭圆的一个方程可能为22
16416
x y +
=
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 过点）
，（12 且倾斜角比直线1--=x y 的倾斜角小4
π
的直线方程是 ． 14. 若两平行直线06,0123=++=--c ay x y x 之间的距离为
13
13
2，则c 的值是 ． 15. 已知F 是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，)1,1(A 是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为 ．
16. 已知圆锥的顶点为O S ,为底面中心，C B A ,,为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径,
M AB SA ,=为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为,则
的最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（10分）若直线m 经过直线01=--y x 与直线022=-+y x 的交点，且点)2,2(到直线m 的距离为1，求直线m 的方程.
18．(12分) 已知圆0451210:01622
2
22
2
1=+--+=---+y x y x C y x y x C ，： （1）求证：21,C C 相交；
（2）求圆21,C C 的公共弦所在的直线方程.
19.(12分)已知向量)1,0,1(),2,1,2(-=-=c a 若向量b 同时满足下列三个条件：
①
；②3||=b ；③c b ⊥．
（1）求向量b 的坐标； （2）若向量b 与向量)1,2
1
,1(-=d 共线,求向量－与2＋3夹角的余弦值．
20. (12分)已知椭圆45952
2
=+y x ，椭圆的右焦点为F ，
（1）求过点F ，且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
（2）求以）
，（11M 为中点的椭圆的弦所在的直线方程。

21. (12分)如图所示，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面2===AD AB PA ABCD ，,四边形
ABCD 满足4,//,=⊥BC AD BC AD AB ，点M 为PC 的中点，点E 为BC 边上的动点,且
λ=EC
BE
，
（1）求证：PAB DM 平面//；
（2）求证：平面ADM ⊥平面PBC ；
（3）是否存在实数λ,使得二面角B DE P --的余弦值为3
2
？若存在，求出实数λ的值；若不存在,请说明理由．
22．(12分)依次连接椭圆)1(1:2
22>=+a y a
x M 的四个顶点形成的四边形与
共有
6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分， （1）求椭圆M 的方程； （2）若直线l 与
相切，且与椭圆M 相交于Q P 、两点，求||PQ 的最大值.
2020届高二上学期期中数学参考答案
选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
C C
D
A B
D
C D
D
BD BD
填空 13
14
15
16 答案
2
=x -6，2
2
6+3－1
17.两直线的交点为），（01，当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为：)1(-=x k y ，由点到直线距离公式可得
11
|
2|2=+-k k ，解得43=k ，此时直线m 的方程为0343=--y x ；当直线m 的斜率不存在时，1=x ，点
（2，2）到直线m 的距离等于1，满足条件。

综上，直线m 的方程为0343=--y x ，和1=x
18. （1）略（2）02334=-+y x 19、解：(1)设＝(x ，y ，z )，
则由题可知⎩⎨⎧
2x ＋y －2z ＝－1，
x 2
＋y 2
＋z 2
＝9，
－x ＋z ＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，z ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1，z ＝－2，
所以＝(2,－1,2)或＝(－2,－1,－2)．
(2)因为向量与向量＝⎝
⎛⎭⎫1，－1
2，1共线，所以＝(2,－1,2)． 又＝(2,1,－2)，＝(－1,0,1), 所以－＝(0,2,－4),2＋3＝(1,－2,7)， 所以(－)·(2＋3)＝－32, 且|－|＝25,|2＋3|＝36,
所以－与2＋3夹角的余弦值为cos 〈－，2＋3〉＝
－830
45
. 20. 解：（1）椭圆的右焦点为F （2，0），过F 斜率为1的直线为2-=x y ，将其带入
459522=+y x 得，
0936142=--x x ，设直线与为椭圆的两个交点为),(),,(2211y x B y x A ，则
14
9,7182121-==
+x x x x ， 730||2||21=-=x x AB （2）设弦的端点为),(),,(2211y x D y x C ,,2,22121=+=+∴y y x x ⎩⎨⎧=+=+45
9545
952
2222
121x x ，将两式做差得
0))(((9))((521212121=-++-+y y y y x x x x ，化简得,0952121=--⋅
+x x y y 即9
5
-=k ，
所以直线的方程为01495=-+y x
21. 解：(1)证明：以A 为原点,以AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角
坐标系．
由题意得,A (0,0,0),B (2,0,0),D (0,2,0),C (2,4,0),P (0,0,2),M (1,2,1), 则DM →
＝(1,0,1),平面P AB 的一个法向量为＝(0,1,0)．
因为DM →
·＝0,DM ⊄平面P AB ,所以DM ∥平面P A B. (2)证明：设平面ADM 的法向量为＝(x ，y ，z ),
因为AD →＝(0,2,0),AM →
＝(1,2,1), 则
取x ＝1,得＝(1,0,－1)．
设平面PBC 的法向量为＝(x 1,y 1,z 1),
因为PB →＝(2,0,－2)，PC →
＝(2,4,－2), 则
取x 1＝1,得＝(1,0,1)．
因为＝0,所以平面ADM ⊥平面PB C.
(3)存在符合条件的λ.
设E (2,t ,0)(0＜t ＜4)，又P (0,0,2)，D (0,2,0)，
所以PD →＝(0,2,－2)，DE →
＝(2,t －2,0), 设平面PDE 的法向量为＝(a ,b ,c ),
则取b ＝2，得＝(2－t ,2,2)．
平面DEB 即为xAy 平面,它的一个法向量为＝(0,0,1),因为二面角P -DE -B 的余弦值为2
3
,
所以|cos 〈,〉|＝＝2（2－t ）2＋8＝2
3
,
解得t ＝3或t ＝1，所以λ＝3或λ＝1
3
.
22. 解：（1）椭圆的方程是13
22
=+y x
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为,1±=x 带入1322=+y x 得3
6
±
=y ，此时3
6
2||=
PQ 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为m kx y +=，因为与圆相切有
1,11
||222+==+k m k m 即，
由3得，0)1(36)31(2
2
2
=-+++m kmx x k ，
设),(),,(2211y x Q y x P ，则2
22122131)
1(3,316k
m x x k km x x +-=+-=+ 所以，
3
3122132312)1(3231||621||1||2
2
222222212=+++⋅≤+⋅+=+⋅+=-+=k k k k k k k k k x x k PQ 当且仅当1,2122
±==+k k k 即时，||PQ 取得最大值为3，经检验此时0>∆，综上，||PQ 的最大
值为
3。