2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3培优新方案同步课件：1.2 第1课时 排列与排列数公
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(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其 中一名同学参加活动 A，另一名同学参加活动 B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四 个空位中的三个．
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
(2)法一：由题意作树形图，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb， adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad， cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca， dcb.共有24种排法．
[类题通法] (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具 体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式，在运 用该公式时要注意它的特点； (2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有 关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提 取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*， m∈N*”的运用．
第四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点一 排列概念的理解 [思考探究] 如何判断一个问题是否为排列问题？
名师指津：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出 元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就 是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和 条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无 变化就不是排列问题．
1．排列
二、归纳总结·核心必记
(1)一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按
照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列； (2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 排列顺序，
且元素的 完全相同 也相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
2．排列数
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(三)” (单击进入电子文档)
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第十四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练]
2．若 M＝A11＋A22＋A33＋…＋A22 001100，则 M 的个位数
字是( )
A．3
B．8
C．0
D．5
解析：选A ∵当n≥5时， Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n， ∴当n≥5时Ann的个位数字为0， 又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33， ∴M的个位数字为3.
第九页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即 相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有 顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺 序不同而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数 不同而商的结果相同的可能，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三 个学生．
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[课堂归纳领悟]
1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应 用．难点是排列数公式的计算与证明问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)对排列概念的理解，见讲 1； (2)利用排列数公式进行计算或证明，见讲 2； (3)简单排列问题的解决方法，见讲 3. 3．本节课的易错点是利用排列数公式 Amn 解决问题时，易 忽视条件 m≤n，且 m∈N*，n∈N*，如讲 2(3)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
5．有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有________种不同的送法．
解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 于从7个不同的元素中，没有重复地取出3个元素， 按甲、乙、丙(3名同学)的顺序排成一列，所以共有 A37＝7×6×5＝210种不同的送法． 答案：210
第七页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[类题通法] 判断一个事件是否与顺序有关的方法：通过“变换元素的 位置”进行判断，若变换后结果有变化，则表明该事件与顺序 有关；若结果无变化，则表明该事件与顺序无关．
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练] 1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练]
4．某博物馆计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水 彩画，4 幅油画，5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品 种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同 的陈列方法有________种．
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
解析：4 幅油画有 A44＝24 种不同的排法，5 幅国画有 A55＝ 120 种不同的排法，水彩画放在油画和国画之间，则有 24 ×120×2＝5 760 种不同的陈列方法． 答案：5 760
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
3．求证：Amn ＋mAmn －1＝Amn＋1.
证明：Amn ＋mAmn －1＝n－n！m！＋n－m×m＋n！1！ ＝n－m＋n1－×mn＋！1＋！m×n！＝n－nm－＋m1＋＋1m！n！ ＝n－n＋m＋1！1！＝Amn＋1.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[解] (1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 对于(1)，取出的两个数组成直角坐标平面内的点的坐标与 以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这 是排列问题． 对于(2)，取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素 与顺序无关，所以这不是排列问题． 对于(3)，取出的两个数组成一个数列与以哪一个数为这个 数列的第一项，哪一个数为第二项的顺序有关，所以这是排列 问题．
1.2 排列与组合 第1课时 排列与排列数公式
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P14～P20 的内容，回答下列问题． (1)在教材 P14－问题 1 中选出参加活动的 2 名同学与顺序有 关吗？如果将问题改为“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名一 起参加某项活动”，这与原问题还相同吗？
第一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
提示：问题1中选出参加活动的2名同学，一名参 加上午的活动，一名参加下午的活动，与顺序有关； 而改编后的问题中的2名同学与顺序无关．
(2)教材 P15－问题 2 中选出的 3 个不同数字，排成一个 三位数，与数字的顺序有关吗？
提示：有关．
第二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点三 简单的排列问题 [典例精析] (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数， 一共可以组成多少个？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． [思路点拨] 可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排 列数公式．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
（1）从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的 个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，Amn 用
表示；
（2）排列数公式 Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！. 特别地，Ann＝ n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1 ＝n！，(m，n∈N*，且 m≤n)，0！＝ .1
第五页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[典例精析] 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成直角 坐标平面内的点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？ (2)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个 集合，可以得到多少个不同的集合？ (3)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个 数列，可以得到多少个不同的数列？
[解] (1)法一：把 1,2,3,4 中任意一个数字排在第一个 位置上，有 4 种排法；第一个位置排好后，第二个位置上 的数字就有 3 种排法．
由题意作树形图，如下．
故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个． 法二：从 4 个数字中任取 2 个，其排列个数为 A24＝4×3 ＝12.
第十页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点二 利用排列数公式进行计算或证明 [典例精析] 根据要求完成下列各题． (1)计算：AA61590＋ －AA94510； (2)解方程：3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式：Ax8<6Ax8－2.
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[解] (1)原式＝55AA51490＋－AA94510＝46AA51490＝460AA4949＝460＝230. (2)由排列数公式，原方程可化为 3×8－8！x！＝4×109－！x！， 化简得 3＝10－4x×99－x， 即 x2－19x＋78＝0， 所以原方程的解是 x＝6.
法二：从4个元素a，b，c，d中任取3个元素，共 有A34＝4×3×2＝24种排法．
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[类题通法]
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可 以用字典排序法或树形图或框图法，树形图是把同一元 素为首的若干排列按一定的顺序一一写出来，为了省略 前面与上一行相同的元素而画出的像树枝一样的图形， 利用树形图具体地列出各种情形，可避免排列的重复或 遗漏．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
(3)由排列数公式，得8－8！x！<6·108－！x！， 化简得 1<10－x69－x， 即 x2－19x＋84<0， 所以 7<x<12. 又因为 x∈N *,0<x≤8,0<x－2≤8，
所以 2<x≤8 且 x∈N *， 所以 x＝8.
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
(2)法一：由题意作树形图，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb， adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad， cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca， dcb.共有24种排法．
[类题通法] (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具 体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式，在运 用该公式时要注意它的特点； (2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有 关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提 取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*， m∈N*”的运用．
第四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点一 排列概念的理解 [思考探究] 如何判断一个问题是否为排列问题？
名师指津：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出 元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就 是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和 条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无 变化就不是排列问题．
1．排列
二、归纳总结·核心必记
(1)一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按
照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列； (2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 排列顺序，
且元素的 完全相同 也相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
2．排列数
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(三)” (单击进入电子文档)
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第二十六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第十四页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练]
2．若 M＝A11＋A22＋A33＋…＋A22 001100，则 M 的个位数
字是( )
A．3
B．8
C．0
D．5
解析：选A ∵当n≥5时， Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n， ∴当n≥5时Ann的个位数字为0， 又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33， ∴M的个位数字为3.
第九页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即 相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有 顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺 序不同而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数 不同而商的结果相同的可能，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三 个学生．
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[课堂归纳领悟]
1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应 用．难点是排列数公式的计算与证明问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)对排列概念的理解，见讲 1； (2)利用排列数公式进行计算或证明，见讲 2； (3)简单排列问题的解决方法，见讲 3. 3．本节课的易错点是利用排列数公式 Amn 解决问题时，易 忽视条件 m≤n，且 m∈N*，n∈N*，如讲 2(3)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
5．有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有________种不同的送法．
解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 于从7个不同的元素中，没有重复地取出3个元素， 按甲、乙、丙(3名同学)的顺序排成一列，所以共有 A37＝7×6×5＝210种不同的送法． 答案：210
第七页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[类题通法] 判断一个事件是否与顺序有关的方法：通过“变换元素的 位置”进行判断，若变换后结果有变化，则表明该事件与顺序 有关；若结果无变化，则表明该事件与顺序无关．
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练] 1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[针对训练]
4．某博物馆计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水 彩画，4 幅油画，5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品 种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同 的陈列方法有________种．
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
解析：4 幅油画有 A44＝24 种不同的排法，5 幅国画有 A55＝ 120 种不同的排法，水彩画放在油画和国画之间，则有 24 ×120×2＝5 760 种不同的陈列方法． 答案：5 760
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
3．求证：Amn ＋mAmn －1＝Amn＋1.
证明：Amn ＋mAmn －1＝n－n！m！＋n－m×m＋n！1！ ＝n－m＋n1－×mn＋！1＋！m×n！＝n－nm－＋m1＋＋1m！n！ ＝n－n＋m＋1！1！＝Amn＋1.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
第六页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[解] (1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 对于(1)，取出的两个数组成直角坐标平面内的点的坐标与 以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这 是排列问题． 对于(2)，取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素 与顺序无关，所以这不是排列问题． 对于(3)，取出的两个数组成一个数列与以哪一个数为这个 数列的第一项，哪一个数为第二项的顺序有关，所以这是排列 问题．
1.2 排列与组合 第1课时 排列与排列数公式
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P14～P20 的内容，回答下列问题． (1)在教材 P14－问题 1 中选出参加活动的 2 名同学与顺序有 关吗？如果将问题改为“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名一 起参加某项活动”，这与原问题还相同吗？
第一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
提示：问题1中选出参加活动的2名同学，一名参 加上午的活动，一名参加下午的活动，与顺序有关； 而改编后的问题中的2名同学与顺序无关．
(2)教材 P15－问题 2 中选出的 3 个不同数字，排成一个 三位数，与数字的顺序有关吗？
提示：有关．
第二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点三 简单的排列问题 [典例精析] (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数， 一共可以组成多少个？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． [思路点拨] 可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排 列数公式．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
（1）从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的 个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，Amn 用
表示；
（2）排列数公式 Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！. 特别地，Ann＝ n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1 ＝n！，(m，n∈N*，且 m≤n)，0！＝ .1
第五页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[典例精析] 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成直角 坐标平面内的点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？ (2)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个 集合，可以得到多少个不同的集合？ (3)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个 数列，可以得到多少个不同的数列？
[解] (1)法一：把 1,2,3,4 中任意一个数字排在第一个 位置上，有 4 种排法；第一个位置排好后，第二个位置上 的数字就有 3 种排法．
由题意作树形图，如下．
故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个． 法二：从 4 个数字中任取 2 个，其排列个数为 A24＝4×3 ＝12.
第十页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
探究点二 利用排列数公式进行计算或证明 [典例精析] 根据要求完成下列各题． (1)计算：AA61590＋ －AA94510； (2)解方程：3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式：Ax8<6Ax8－2.
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[解] (1)原式＝55AA51490＋－AA94510＝46AA51490＝460AA4949＝460＝230. (2)由排列数公式，原方程可化为 3×8－8！x！＝4×109－！x！， 化简得 3＝10－4x×99－x， 即 x2－19x＋78＝0， 所以原方程的解是 x＝6.
法二：从4个元素a，b，c，d中任取3个元素，共 有A34＝4×3×2＝24种排法．
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
[类题通法]
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可 以用字典排序法或树形图或框图法，树形图是把同一元 素为首的若干排列按一定的顺序一一写出来，为了省略 前面与上一行相同的元素而画出的像树枝一样的图形， 利用树形图具体地列出各种情形，可避免排列的重复或 遗漏．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四十分。
(3)由排列数公式，得8－8！x！<6·108－！x！， 化简得 1<10－x69－x， 即 x2－19x＋84<0， 所以 7<x<12. 又因为 x∈N *,0<x≤8,0<x－2≤8，
所以 2<x≤8 且 x∈N *， 所以 x＝8.
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四十分。