一道函数的奇偶性与单调性问题探究

一道函数的奇偶性与单调性问题探究 若函数2121
x x a a y ⋅--=-为奇函数。

（1）求a 的值； （2）求函数的定义域； （3）讨论函数的单调性。

解：（1）令()y f x =，依题设，()()f x f x -=-， 1112212112x x x x
a a a a ⋅
--+-⋅∴=--，整理得(1)221x x a a a a -+⋅=⋅--， 1(1),.2
a a a ∴-+=∴=- （2）由（1）知，11212122()21221
x x x x y f x -⋅-+===-⋅--， 由210x -≠得0x ≠，∴函数的定义域为(,0)(0,).-∞+∞U
（3）1211(21)212(1)221221221
x x x x x y +-+=-⋅=-⋅=-+---11212x =---， 当0x >时，210x ->，且21x -随x 的增大而增大，121
x ∴
-随x 的增大而减小， 121x ∴--随x 的增大而增大， 又()y f x =为奇函数，()y f x ∴=在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增。