2025届海南省洋浦中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届海南省洋浦中学高三第二次模拟考试数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =
-.若
111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
a f
b f
c f ，则,,a b c 大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '
，当0x ≥时，恒有
())03
(x
f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．
A ．{|31}x x -<<-
B ．1
{|1}3
x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-
D ．{|1x x <-或1}3
x >-
3．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．
12
i D ．12
i -
4．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
5．已知全集，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4 B ．6
C ．8
D ．10
7． “1
sin 2x =
”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC
内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1
B ．1
C ．3
D ．4
9．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
10．已知点1F 是抛物线C ：2
2x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A B 1
C D 1
11．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则
抛物线的方程是( ) A ．2
2y x =
B ．24y x =
C ．2
8y x =
D ．210y x =
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
15．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____.
16．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数，将曲线C 经过伸缩变换112x x y y =⎧⎨
=⎩后得到曲线1C .在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 50ρθρθ+-=. （1）说明曲线1C 是哪一种曲线，并将曲线1C 的方程化为极坐标方程；
（2）已知点M 是曲线1C 上的任意一点，又直线l 上有两点E 和F ，且||5EF =，又点E 的极角为2
π
，点F 的极角为锐角.求： ①点F 的极角；
②EMF ∆面积的取值范围.
18．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
（1）由以上统计数据，填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
附：（1）2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++；
（2）临界值表；
20()P K k ≥
1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.111
0k
2.716
3.841 5.124 6.635 7.879 11.828
（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X ，求X 的分布列及数学期望. 19．（12分）已知ABC 中，2BC =，45B =︒，D 是AB 上一点． （1）若1BCD S =△，求CD 的长； （2）若30A =︒，3BD AD =，求
sin sin ACD
DCB
∠∠的值．
20．（12分）若不等式1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，则a 的取值范围是__________. 21．（12分）已知0a >，函数()|||26|f x x a x =++-有最小值7. （1）求a 的值；
（2）设,0m n >，4m n a +=，求证：
119
18
m n +≥+. 22．（10分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥平
面1A BD .
（1）证明：1B C 平面1A BD ；
（2）求二面角1B AA D --的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】
对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，
当1x ≥时，()f x =
所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-
<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f ， b c a <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 2、D 【解析】
先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33
x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】
构造函数()()33
x f x g x =，
则()()()()()32
2'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33
x f x g x =在0x ≥时为增函数；
由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()3
3
x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33
()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数
所以|||12|x x <+，解得1x <-或13
x >- 故选：D 【点睛】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 3、A 【解析】
由()1i z i +=得1z i
i
=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,
所以22(1)1111(1)(1)1122
1i i i i i i z i i i i i --+=
====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12
. 故选A. 【点睛】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 4、B 【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】
4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；
22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 5、C
【解析】
先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，
∵，
∴．
故选C ． 【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 6、C 【解析】
画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和1
2(1)
y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.
【详解】
2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1
sin 2(1)
x x π=-
-，
画出函数sin y x =π和1
2(1)
y x =-
-的图像，
易知：sin y x =π和1
2(1)
y x =-
-均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，
故所有解之和等于428⨯=. 故选：C .
【点睛】
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键. 7、B 【解析】
1sin 2x =
⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6
x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，
由1
sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+
∈， 即2()6
x k k Z ππ=+∈能推出1
sin 2x =，
但1
sin 2x =推不出2()6
x k k Z ππ=+∈
∴“1
sin 2x =”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件
故选B 【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 8、C 【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：
若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===
，
PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥
可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得
PC AC ====，矛盾，②错误;
若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ
可得2OC OA OB PC ===
=，
设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得
1111
223232
d AC BC ⋅⋅⋅=⋅
即有22
42
AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.
可得d ，2sin 2
2
d θ=
即θ的范围为0,4
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
，③正确；
取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而1
22
KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 9、B 【解析】
转化2
2ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞为2ln a x x +，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求
函数最值，即得解. 【详解】
由2
2ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞，可知2ln a x x +．
设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2
()10h x x
'
=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，
所以min ()(1)1h x h ==． 所以min ()1a h x =． 故a 的取值范围是(,1]-∞． 故选：B 【点睛】
本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 10、D 【解析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1
1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2p ），F 2（0，2
p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：22
22y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨=
=，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，
2c ＝p ，
∴离心率e
c
a ===1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． 11、C 【解析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
点P 不在直线l 、m 上，
∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下： 若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 12、B 【解析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p
AB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】
设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ,设点()()1122,,,A x y B x y ，
由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p
AB AF BF x x x x p =+=+
++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5- 【解析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得15793
log ()a a a ++的值即
可. 【详解】 13n n a a +=，
∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-．
故答案为：5-． 【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题． 14、
1140
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】
首先，第一行队伍的排法有3
3A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有1
1
1
333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有1
1
1
222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以
来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229
921
140
A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1
140
. 【点睛】
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题. 15、{1,3} 【解析】
分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】
因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B ={1,3}.
故答案为：{1,3} 【点睛】
此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.
16、
14π
【解析】
求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】
解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221
224ππ
==⨯⨯．
故答案为：14π
． 【点睛】
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.1C 的极坐标方程为2ρ=（2）①8π
②5,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）求得曲线C 伸缩变换后所得1C 的参数方程，消参后求得1C 的普通方程，判断出1C 对应的曲线，并将1C 的普通方程转化为极坐标方程. （2）
①将E 的极角代入直线l 的极坐标方程，由此求得点E 的极径，判断出EOF ∆为等腰三角形，求得直线l 的普通方程，由此求得4
FEO π
∠=
，进而求得38
FOE π
∠=
，从而求得点F 的极角. ②解法一：利用曲线1C 的参数方程，求得曲线1C 上的点M 到直线l 的距离d 的表达式，结合三角函数的知识求得d 的最小值和最大值，由此求得EMF ∆面积的取值范围.
解法二：根据曲线1C 表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆1C 上的点到直线l 的距离的最大值和最小值，进而求得
EMF ∆面积的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线C 的参数方程为2cos ,
sin x y αα=⎧⎨
=⎩
（α为参数），
因为11
,
2x x y y =⎧⎨=⎩则曲线1C 的参数方程112cos ,2sin x y αα=⎧⎨
=⎩ 所以1C 的普通方程为2
2
114x y +=.所以曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.
所以1C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=. （2）①点E 的极角为
2
π
，代入直线l 的极坐标方程cos sin 50ρθρθ+-=得点E 极径为5ρ=，且||5EF =，所以EOF ∆为等腰三角形， 又直线l 的普通方程为50x y +-=， 又点F 的极角为锐角，所以4
FEO π
∠=
，所以38
FOE π∠=
， 所以点F 的极角为
32
88
π
ππ-
=. ②解法1：直线l 的普通方程为50x y +-=. 曲线1C 上的点M 到直线l 的距离
d ==
. 当sin 14πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，即24k παπ=+（k ∈Z ）时，
d
2=-.
当sin 14πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭，即324
k π
απ=-（k ∈Z ）时， d
22=+.
所以EMF ∆
面积的最大值为1
525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
； 所以EMF ∆
面积的最小值为
1
5252⎫⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭
； 故EMF ∆
面积的取值范围5⎤-+⎥⎣⎦
. 解法2：直线l 的普通方程为50x y +-=.
因为圆1C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离|005|52
22
d +-=
=， 因为
52
22
>，所以圆1C 与直线l 相离. 所以圆1C 上的点M 到直线l 的距离最大值为52
22
d r +=
+， 最小值为52
22
d r -=
-. 所以EMF ∆面积的最大值为1
52252525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭； 所以EMF ∆面积的最小值为1
52252525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭； 故EMF ∆面积的取值范围2522525,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
18、（1）在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出2K ，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出X 的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出X 的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下22⨯列联表： 甲地 乙地 总计 长纤维 9 16 25 短纤维 11 4 15 总计
21
21
41
根据22⨯列联表中的数据，可得()2
240941611 5.227 5.024********
K ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯
所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为
15
8340
⨯=， X 的可能取值为：1,1,2,3，
()31131533091C P X C ===，()2111431544
191C C P X C ===，
()12114315662455C C P X C ===，()343
154
3455
C P X C ===． ∴ X 的分布列为：
∴ ()01239191
4554554555
E
X =⨯
+⨯+⨯+⨯==． 19、（1）CD = （2
）
6
【解析】
（1）运用三角形面积公式求出BD 的长度，然后再运用余弦定理求出CD 的长. （2）运用正弦定理分别表示出sin ACD ∠和sin DCB ∠，结合已知条件计算出结果. 【详解】 （1）由1sin 4512BCD S BC BD BD =
⋅⋅︒==⇒=△在BDC 中，由余弦定理可得
222
2cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由已知得3BD AD =
在ADC
中，由正弦定理可知sin sin sin sin
2CD AD A AD AD
ACD
A ACD CD CD
⋅=⇒∠==∠ 在BDC 中，由正弦定理可知
sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==
∠故
sin sin AD
ACD BCD ∠====∠ 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，
能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法. 20、34
a >- 【解析】
原不等式等价于1142x x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在(]0,1恒成立，令12x t =，()2
f t t t =+，求出()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的最小值后可得a 的取值范围. 【详解】
因为1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，故1142x x a ⎛⎫
>-+
⎪⎝
⎭在(]0,1恒成立. 令12x t =
，由(]0,1x ∈可得1,12t ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
. 令()2
f t t t =+，1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，则()f t 为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的增函数，故()min 34
f t =
. 故34
a >-
. 故答案为：34
a >-. 【点睛】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题. 21、（1）4a =.（2）见解析 【解析】
（1）由绝对值三解不等式可得()3|3|f x a x ≥++-，所以当3x =时，min ()37f x a =+=，即可求出参数的值； （2）由44m n +=，可得4(1)8m n ++=，再利用基本不等式求出11
1
m n ++的最小值，即可得证； 【详解】 解：
（1）∵()|||26|f x x a x =++-|||3||3|x a x x =++-+-|()(3)||3|x a x x ≥+--+-
3|3|a x =++-，
∴当3x =时，min ()37f x a =+=，解得4a =. （2）∵44m n +=，∴4(1)8m n ++=，
∴
[]111114(1)118m n m n m n ⎛⎫+=+++⨯ ⎪++⎝⎭14(1)95818
n m m n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭， 当且仅当4(1)1n m m n +=+，即8
3m =，13
n =时，等号成立.
∴119
18
m n +
≥+. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
22、（1）证明见解析；（2 【解析】
（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；
（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】
方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， ∴1B C
平面1A BD .
（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，
∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1
AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =，
∴1A O ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则)
3,0,0A
，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，
∴()()()
13,0,13,1,,0,3,1,0,AB AA AD =-=-=-- 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，
则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴30
30
x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3n =.
设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =，
则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩，∴30
30
x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3m =-.
∴11
cos ,777
m n m n m n
⋅<>=
=
=
⨯⋅，
设二面角1B AA D --的平面角为α，则2
143sin 17α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
∴二面角1B AA D --43
. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，
因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ∴在1AB C 中，1,OQ B C ∥且11
2
OQ B C =
， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C
平面1A BD
（2）略，同方法一. 【点睛】
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，
属于中档题.。