《金版新学案》2020高三数学一轮复习 第六章 章末优化训练线下作业 文 新人教A版

章末优化训练
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( )
A ．{x |x ＜－2}
B ．{x |x ＞3}
C ．{x |－1＜x ＜2}
D ．{x |2＜x ＜3}
解析： M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}，
则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}．
答案： C
2．下列符合三段论推理的形式为( )
A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真
B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c
C ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
D ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc
解析： 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论．
答案： B
3．下列命题中的真命题是( )
A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2
C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2
解析： 由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2.
答案： D
4．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图扇环的面积公式S 扇环等于( )
A.12(r 1＋r 2)·l
B.π2
(r 1＋r 2)·l C ．π(r 1＋r 2)·l D ．以上都不对
解析： 由类比推理的定义及步骤可以获得：梯形的上下底可与圆台的上下底面展开图类比；梯形的高可与圆台的母线类比．
答案： C
5．已知c ＞1，x ＝c ＋1－c ，y ＝c －c －1，则x ，y 之间的大小关系是( )
A ．x ＞y
B ．x ＝y
C ．x ＜y
D ．x ，y 的关系随c 而定
解析： x ＝1c ＋1＋c ，y ＝1c ＋c －1
， ∴x ＜y ，故应选C.
答案： C
6．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t
2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f 1010
)的月饼最少为( ) A ．18 B ．27
C ．20
D ．16
解析： 平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t
＋10≥18. 答案： A
7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数
m 等于( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
解析： 画出可行域后便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋13，2m －13时，函数z ＝x －y 取得最小值． ∴m ＋13－2m －13
＝－1，m ＝5.故选B. 答案： B
8．设D 是由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y x ＋y ≥0，y ≥0所确定的平面区域，记D 被夹在直线x ＝－1
和x ＝t (t ∈[－1,1])间的部分的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )
解析： 如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，由函数S ＝f (t )的单调递增情况易选出答案B.
答案： B
9．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－∞－2)
C ．[－2,2]
D ．[0，＋∞)
解析： 据已知可得a ≥－|x |－1|x |＝－⎝
⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，据基本不等式|x |＋1|x |≥2⇒－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，故若使原不等式恒成立，只需a ≥－2即可． 答案： A
10．(2020·全国新课标卷)已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )
A ．(－14,16)
B ．(－14,20)
C ．(－12,18)
D ．(－12,20)
解析： 如图所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB →＝DC →.又AB →＝(4,2)，∴D (0，－4)．
作初始直线l 0：2x －5y ＝0，平移直线l 0知，当直线过点D (0，－4)时z 取得最大值20，过点B (3,4)时z 取得最小值－14.
答案： B
11．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y
的最小值是( ) A ．20 B ．18
C ．16
D ．19
解析： 由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23得
|AB →|·|AC →|＝4，S △ABC ＝12
|AB →|·|AC →|sin 30°＝1， 由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12
. 所以1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ·(x ＋y )＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18.故选B.
答案： B
12．若不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞)
C ．[－4,20]
D ．[－40,20)
解析： 由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3；若不等式组的解集不是空集，则需不等式x 2＋
4x －(1＋a )≤0在[－1,3]上有解，即a ≥x 2＋4x －1在[－1,3]上有解；令h (x )＝x 2＋4x －1，
h (x )在[－1,3]上单调递增，所以h (x )min ＝h (－1)＝－4，h (x )max ＝h (3)＝20，则a ≥－4，故选B.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为
________．
解析： 先由方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3，求得a ，b 后再解不等式bx 2－ax －1
＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13. 答案： ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜－13 14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋1
2(n ∈N *
)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值是________．
解析： f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－19 ＝34·89＝23＝46
， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)
＝f (2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝23·1516＝58， 由此猜想，f (n )＝n ＋22n ＋1(n ∈N *)． 答案： n ＋22n ＋1
(n ∈N *) 15．(2020·山东卷)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析： ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x
＋3对任意x ＞0恒成立， 设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u
恒成立即可． ∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．
由u ≥5知0＜1u ≤15，∴a ≥15
. 答案： ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞ 16．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．
类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________________________．
解析： 由题设结合双曲线的定义知点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 为实轴的双曲线． 答案： 以O 、A 为焦点，OB 为实轴的双曲线
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；
(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a 、b 的值．
解析： A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x －1x ＋3＜0＝{x |－3＜x ＜1}． (1)A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．
(2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}，
所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．
故⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝－3＋1b 2＝－3×1，
所以a ＝4，b ＝－6.
18．(12分)已知函数f (x )＝k ＋1x (k ＜0)，求使得f (x ＋k )＞1成立的x 的集合． 解析： 由f (x ＋k )＞1得
k ＋1x ＋k ＞1， 移项、通分，整理得
x －1x ＋k ＜0， 即x －1
x －－k
＜0，
当k ＜－1时，－k ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜－k }；
当k ＝－1时，－k ＝1，不等式的解集为∅；
当－1＜k ＜0时，0＜－k ＜1，不等式的解集为{x |－k ＜x ＜1}．
19．(12分)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．
解析： (1)由已知a 1＝5，d ＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3.
∴S n ＝12n (a 1＋a n )＝12
n (5＋2n ＋3)＝n (n ＋4)． (2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]，
∴T n ＝4n 2＋n .
∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，
T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.
S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，
S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n ＜T n .
归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n ＜T n .
20．(12分)已知拋物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(m ∈R )．
(1)当m 为何值时，拋物线与x 轴有两个不同的交点？
(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，
求实数m 的取值范围.【解析方法代码108001084】
解析： (1)由题意可知m ≠1，且Δ＞0，
即(m －2)2＋4(m －1)＞0，得m 2＞0，
所以m ≠1且m ≠0.
(2)由(1)知Δ＞0，所以设方程的两实根为x 1，x 2， 由韦达定理可得：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝m －21－m x 1x 2＝11－m ，
所以1x 1＋1x 2
＝m －2， 所以1x 21＋1x 22
＝(m －2)2＋2(m －1)≤2， 所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.
又由(1)知m ≠1且m ≠0，
所以m 的范围为0＜m ＜1或1＜m ≤2.
21．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k 2t ＋1
(k
为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；
(2)该厂家2020年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解析： (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3， 故x ＝4－32t ＋
1
. ∴y ＝1.5×6＋12x x
×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1
－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤9t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12. 由基本不等式9
t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12
·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12
＝t ＋12，即t ＝2.5时，等号成立， 故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.
当t ＝2.5时，y 有最大值21.5.
所以2020年的年费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．
22．(14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式.【解析方法代码108001086】
解析： (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，
∴f (5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，
f (3)－f (2)＝8＝4×2，
f (4)－f (3)＝12＝4×3，
f (5)－f (4)＝16＝4×4，
由上述规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，
…
f(2)－f(1)＝4×1
∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1] ＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.。