七年级上册江西师范大学附属中学数学期末试卷(基础篇)(Word版 含解析)

七年级上册江西师范大学附属中学数学期末试卷（基础篇）（Word
版含解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.
（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.
（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.
（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】（1）解：∵HG⊥HE，FG⊥HG
∴FG∥EH，
∴∠GFE+∠HEF=180°，
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
（2）解：设∠EHM=x，
∵HG⊥HE，
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG，
∴∠EHC=90°-2x，
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x，
∴∠HMB=∠MHG=90°-x，
∵AB∥CD，
∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，
∴∠GHD=2∠EHM；
（3）解：延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，
∵AB∥CD，∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG，
∴∠GHR=40°，
∵HG⊥HE，
∴∠EHG=90°，
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°，
∵EP是∠HEF的平分线，
∴∠SEP= ∠FEH=25°，
∵GH平分∠HGF，
∴∠HGS= ∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°，
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，
∴∠EPS=20°，即∠NPK=20°.
【解析】【分析】（1）根据HG⊥HE，FG⊥HG可证明FG∥EH，从而得∠GFE+∠HEF=180°，再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论；（2）设∠EHM=x，根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根据平行线的性质得∠HMB=90°-x，从而得∠HMB=∠MHG，再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°，从而可得结论；（3）分别延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得结论.
2．如图
（1）如图1，找到长方形纸片的宽DC的中点E，将∠C过E点折起一个角，折痕为EF，再将∠D过点E折起，折痕为GE，且C、D均落在GF上的一点C′（D′），请说明∠CEF与∠DEG的关系，并说明理由；
（2）将（1）中的纸片沿GF剪下，得梯形纸片ABFG，再将GF沿GM折叠，F落在F′处，GF′与BF交于H，且ABHG为长方形（如图2）；再将纸片展开，将AG沿GN折叠，使A 点落于GF上一点A，（如图3）．在两次折叠的过程中，求两条折痕GM、GN所成角的度数？
【答案】（1）解：∵∠C过E点折起一个角，折痕为EF，再将∠D过点E折起，折痕为GE，且C、D均落在GF上的一点C′（D′）
∴GE平分∠DED′,FE平分∠CED′,
∴∠DED′=2∠DEG，∠CED′=2∠CEF
∴∠DED′+∠CED′=180°即2∠CEF+2∠DEG=180°
∴∠CEF+∠DEG=90°
答：∠CEF与∠DEG的关系是互余.
（2）解：如图，
由题意得：GM平分∠FGF， GN平分∠AGF
设∠FGM=∠F'GM=x，∠FGN=∠AGN=y
∴2y-2x=90°，即y-x=45°，
∴∠MGN=∠FGN-∠FGM=45°
答：两条折痕GM、GN所成角的度数为45°.
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，可知GE平分∠DED′,FE平分∠CED′，再利用角平分线的性质，可证得∠DED′=2∠DEG，∠CED′=2∠CEF，然后根据平角的定义，可解答。

（2）根据折叠的性质，可证得GM平分∠FGF，GN平分∠AGF，因此∠FGM=∠F'GM=x，∠FGN=∠AGN=y，求出y-x的值，就可得出结论。

3．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．
（1）求∠DOE、∠COF的度数．
（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．
【答案】（1）解：∵∠BOC：∠AOC=1：3，
∴∠BOC=180°× =45°，
∴∠AOD=45°，
∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∴∠DOE=45°+90°=135°，
∠BOD=180°-45°=135°，
∵FO平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF=67.5°，
∴∠COF=180°-67.5°=112.5°
（2）解：∠EOF=90°+67.5°=157.5°，
依题意有
4t-2t=157.5-90，
解得t=33.75．
故t值为33.75．
【解析】【分析】（1）根据∠BOC：∠AOC=1：3，∠BOC+∠AOC=180°，即可算出∠BOC 的度数，然后根据对顶角相等由∠AOD = ∠BOC得出∠AOD 的度数，根据平角的定义，由∠AOE=∠AOB-∠BOE算出∠AOE的度数，进而根据∠DOE=∠AOE+∠AOD算出∠DOE的度数，∠BOD=∠AOB-∠AOD算出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠BO 的度数，最后根据∠COF=∠COB+∠BOF即可算出答案；
（2）根据角的和差，由∠EOF=∠EOB+∠BOF算出∠EOF的度数，根据题意OE转过的角度为4t°，OF转过的角度为2t°，根据题意列出方程 4t-2t=157.5-90，求解即可。

4．已知线段AB= ,点P从点A出发沿射线AB以每秒3个单位长度的速度运动,同时点Q 从点B出发沿射线AB以每秒2个单位长度的速度运动,M、N分别为AP、BQ的中点,运动的时间为
（1）若求的值,并写出此时P、Q之间的距离；
（2）点M、N能否重合为一点,若能,请直接写出此时线段PQ与线段AB之间的数量关系；若不能,说明理由。

【答案】（1）解：设A点表示的数为原点，则B点表示的数为12，P点表示的数为3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为12+2t，点N表示的数为12+t，
M在N左侧，MN=12+t- t=12- t，
∵MN= =4，
∴12- t=4，解得t=16；此时PQ的距离为 =4
M在N右侧，MN= t-12-t-= t-12，
∵MN= =4，
∴ t-12=4，解得t=32；此时PQ的距离为 =20
（2）解：AB的距离为a，则B点表示的数为a，P点表示的数为3t，则M点表示的数为t，点Q表示的数为a+2t，点N表示的数为a+t，
∵M，N重合
∴ t=a+t，
得t=2a，
则P点表示的数为3t=6a, Q表示的数为a+2t=5a，
∴PQ的距离为a，
故PQ=AB
【解析】【分析】（1）设A点表示的数为原点，则B点表示的数为12，P点表示的数为3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为12+2t，点N表示的数为12+t，再根据，分情况讨论即可.（2）AB的距离为a，则B点表示的数为a，P点表示的数为
3t，则M点表示的数为 t，点Q表示的数为a+2t，点N表示的数为a+t，根据MN重合可得出a，t之间的关系，即可解出PQ与AB之间的关系.
5．已知：平分，以为端点作射线，平分 .
（1）如图1，射线在内部，，求的度数.
（2）若射线绕点旋转，，（为大于的钝角），
，其他条件不变，在这个过程中，探究与之间的数量关系是否发生变
化，请补全图形并加以说明.
【答案】（1）解：∵射线平分、射线平分，
∴，，
∴
=
=
=
= 82°
=41°
（2）解：与之间的数量关系发生变化，
如图，当在内部，
∵射线平分、射线平分，∴，
∴
=
=
=
如图，当在外部，
∵射线平分、射线平分，∴，
∴
=
=
=
=
=
∴与之间的数量关系发生变化.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，进而可得∠COE= ，即可得答案；（2）分别讨论OA在∠BOD内部和外部的情况，根据求得结果进行判断即可.
6．如图，已知OE平分，OF平分
（1）若是直角，，求的度数.
（2）若，，，请用x 的代数式来表示直接写出结果就行 .
【答案】（1）解：∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝75°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝75°−30°＝45°；
（2）解：∵∠AOC＝x°，OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，
∵OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，
∴∠COF＝∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝x°−30°，即y＝x−30.
【解析】【分析】（1）由∠AOB是直角、∠BOC＝60°知∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，根据OE平分∠AOC、OF平分∠BOC求得∠EOC、∠COF度数，由∠EOF＝∠EOC−∠COF可
得答案；（2）由∠AOC＝x°，、OE平分∠AOC 知∠EOC＝∠AOC＝ x°，由OF平分∠BOC、∠BOC＝60°知∠COF＝∠BOC＝30°，根据∠EOF＝∠EOC−∠COF可得答案.
7．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”
（1）一个角的平分线________这个角的“定分线”；填“是”或“不是”
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则 ________ 用含a的代数式表示出所有可能的结果
（3）如图2，若，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当PQ与PN成时停止旋转，旋转的时间为t秒同时射线PM绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止当PQ是的“定分线”时，求t的值. 【答案】（1）是
（2）或或
（3）解：依题意有三种情况：
①10t= （5t+45），
解得t=1.8(秒)；
②10t= （5t+45），
解得t=3(秒)；
③10t= （5t+45），
解得：t=4.5(秒)，
故t为1.8秒或3秒或4.5秒时，PQ是∠MPN的“定分线”
【解析】【解答】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；
故答案为：是
（ 2 ）∵∠MPN=
∴∠MPQ= 或或；
故答案为：或或.
【分析】（1）根据新定义运算及角平分线的定义即可解决问题；
（2）根据新定义及三个角之间的两两的倍数关系即可解决问题；
（3）根据新定义及旋转中角的倍数关系，分三种情况分别列出方程，求解即可.
8．问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.
小明的思路是：
（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D 之间有何数量关系?请说明理由；
（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.
【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C=70°；
（2）解：∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；
（3）∠B+∠D=160°
【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM∥EH，
∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。

∵∠BEF+∠EFG=160°，
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，
∴∠BEF-∠EFD=-20°，
∴∠B+∠D=180°-20°=160°。

【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。

过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。

（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。

过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。

（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160°，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。

9．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，
（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°，∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，
∴∠CHA＝∠PCH＝60°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠CBA＝60°+90°＝150°，
（2）解：如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，
∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，
∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，
∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．
即α+β﹣γ＝90°．
【解析】【分析】（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，可证得ED∥PC∥FG，利用平行线的性质求出∠DCP，从而可求出∠PCH的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可证得∠PCH=∠CHG，就可求出∠CHG的度数，然后利用垂直的定义及三角形的外角的性质，就可求出∠CBA的度数。

（2）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，可证得ED∥PC∥FG，利用平行线的性质可证
得∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，再利用垂直的定义及三角形三角形外角的性质，∠AHB＝∠ABC﹣90°，即可推出∠FHC＝270°﹣∠ABC，然后代入整理可得到α，β，γ之间的数量关系。

10．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？
（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是________；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3，若存
在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设运动t秒时，BC=8单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+8+2t=24
解得：t=2（秒）；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣8+2t=24
解得：t=4（秒）
（2）解：4或16
（3）解：存在关系式 =3．
设运动时间为t秒，
1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
当PC=1时，BD=AP+3PC，即 =3；
2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即 =3；
点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，
当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；
3°当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，
当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；
4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3．
∵P在C点左侧或右侧，
∴PD的长有3种可能，即5或3.5
【解析】【解答】解：（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．
【分析】（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
11．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN 分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N．
（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
【答案】（1）解：∵A B∥CD，
∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，
又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，
∴∠MCN=∠MCP+∠NCP= （∠ACP+∠PCD）= ∠ACD=70°，
故答案为：70°．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AMC=∠MCD，
又∵∠AMC=∠ACN，
∴∠MCD=∠ACN，
∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，
∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，
∴∠ACM= ∠ACD=35°，
故答案为：35°．
（3）解：不变．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，
又∵CN平分∠PCD，
∴∠ANC=∠NCD= ∠PCD= ∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．
12．
（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.
（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)
（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)
【答案】（1）
（2）解：延长、，交于点 .
，
由(1)知：
∴ .
（3）
【解析】【解答】解：(1)
∵平分，平分，
∴，
∵是的外角
∴
∵是的外角
∴
( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：
，
【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.
13．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ABC=80°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF= ∠ABE=50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°
（2）解：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°），
∵∠A=105º，∠D=125º，
∴∠F= （105º +125º -180°）=25°
（3）解：结论：∠F= （∠A+∠D-180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°）
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解；
（2）由平行线的性质可得：∠ABC+∠A=180°；∠BCD+∠D=180°；由已知条件可得：∠ABC=180°-∠A；∠BCD=180°-∠D；由角平分线的性质和邻补角的定义可得：
∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；∠BCF=∠BCD，由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF，于是∠F=∠FBE-∠BCF，把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解；
（3）结合（1）和（2）的结论可求解：∠F=（∠A+∠D-180°）。

14．如图
（1）图中，∠ABC的两边和∠DEF的两边分别互相平行，既AB∥DE，BC∥EF，试说明∠ABC=∠DEF.
（2）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，除了图1中相等情形外，是否存在其他不相等情形，探究此情形下两个角的关系（画出图形，写出结论并说明理由）.
（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）
（4）如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）
【答案】（1）∵ AB∥DE，∴∠E=∠EOB,∵BC∥EF ,∴∠EOB=∠B,∴∠ABC=∠DEF;
（2）如图，
∵ AB∥DC，∴∠1=∠DMB,∵BE∥FD ,∴∠BMD+∠2=180°,∴∠2+∠1=180°；
（3）此题分两种情况，
如图①∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°,∴∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;
如图② ∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠P=∠O；综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；
（4）如图所示，
①∵AB∥EH,∴∠ABC=∠BDE,∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∴∠BDE＋∠E=90°,∴∠E＋∠ABC=90°;②∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∵AB∥EH∴∠MBC=∠HDB,∵∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E ＋90°,∴∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

【解析】【分析】（1）根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠EOB,∠EOB=∠B，故∠ABC=∠DEF;
（2）根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠DMB，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BMD+∠2=180°,故∠2+∠1=180°；
（3）①根据垂直的定义得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形的内角和得出∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;②根据垂直的定义得出，∠PEO=∠PFO=90°，根据等角的余角相等得出∠P=∠O，综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；
（4）①根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠BDE,根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据直角三角形的两锐角互余得出∠BDE＋∠E=90°，故∠E＋∠ABC=90°;②根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据二直线平行，内错角相等得出∠MBC=∠HDB,根据三角形外角定理得出∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E＋90°,故∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

15．学习千万条，思考第一条。

请你用本学期所学知识探究以下问题：
（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在
内部作射线．
①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；
②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且
，求的度数.
（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.
【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°
②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON
＝180°﹣90°﹣45°
＝45°
（2）解：①如图1：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；
②如图2，
∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；
③如图3，
∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…
∴∠MON为或或．
【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．。