高中数学第三章导数及其应用3.3中的应用3.3.3函数的最大小值与导数课时作业新人教A版选修1_120181024125

3.3.3 函数的最大(小)值与导数
【基础巩固】
1.下列说法正确的是( D )
(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值
解析:由极值与最值的区别知选D.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( D )
(A)有最大值,但无最小值
(B)有最大值,也有最小值
(C)无最大值,但有最小值
(D)既无最大值,也无最小值
解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),
所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.
3.函数f(x)=3x-x3(-≤x≤3)的最大值为( B )
(A)18 (B)2 (C)0 (D)-18
解析:f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,
-1<x<1时,f′(x)>0,1<x≤3时,f′(x)<0,故函数在x=-1处取极小值,在x=1处取极大值. 因为f(1)=2,f(-1)=-2,
又f(-)=0,f(3)=-18,所以[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18.故选B.
4.(2018·大同高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( B )
(A)[0,1) (B)(0,1)
(C)(-1,1) (D)(0,)
解析:因为f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2有解,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.故选B.
5.(2017·东莞市高二期末)已知a∈R,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为( C )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,1]
(C)(-∞,-1] (D)(-∞,0]
解析:由已知得,a<xln x+x2-2x,x∈(1,+∞),
令f(x)=xln x+x2-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1,
f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.
6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是,最小值是.
解析:因为y′==,
令y′=0可得x=1或-1.
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,
所以最大值为2,最小值为-2.
答案:2 -2
7.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.
解析:f′(x)=2x+2a,
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,
f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1.
答案:(-∞,-1]
8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
解:(1)f(x)定义域为R,
因为f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,
因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
于是有22+a=20,所以a=-2.
所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.
所以f(-1)=1+3-9-2=-7,
即f(x)最小值为-7.
【能力提升】
9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( A )
(A)f(a)-g(a) (B)f(b)-g(b)
(C)f(a)-g(b) (D)f(b)-g(a)
解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,
所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.
10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D )
(A)1 (B)(C)(D)
解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函
数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.
11.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.
解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,即方程e x-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,而g′(x)=2-e x,易知函数g(x)=2x-e x在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-e x的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
答案:(-∞,2ln 2-2]
12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x>0,
f′(x)=x+=;
对于x∈[1,e],有f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,
所以f(x)max=f(e)=1+,
f(x)min=f(1)=.
(2)令g(x)=f(x)-2ax
=(a-)x2-2ax+ln x,
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒
成立,
因为g′(x)=(2a-1)x-2a+==.
①若a>,
令g′(x)=0,得x1=1,x2=,
当x2>x1=1,即<a<1时,
在(x2,+∞)上有g′(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,
g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;
当x2≤x1=1,即a≥1时,
同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,
g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.
②若a≤,则2a-1≤0,
此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
要使g(x)<0在此区间上恒成立,
只须满足g(1)=-a-≤0,即a≥-,
所以-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是[-,].
【探究创新】
13.(2018·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解:因为f(x)=x2e-ax(a>0),
所以f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,
得0<x<.
所以f(x)在(-∞,0),(,+∞)上是减函数,
在(0,)上是增函数.
当0<≤1,即a≥2时,f(x)在[1,2]上是减函数,
所以f(x)max=f(1)=e-a.
当1<<2,即1<a<2时,
f(x)在(1,)上是增函数,
在(,2)上是减函数,
所以f(x)max=f()=e-2.
当≥2,即0<a≤1时,f(x)在[1,2]上是增函数,
所以f(x)max=f(2)=4e-2a.
综上所述,当0<a≤1时,f(x)的最大值为4e-2a;
当1<a<2时,f(x)的最大值为e-2;
当a≥2时,f(x)的最大值为e-a.
精美句子
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3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

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朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。