八年级数学人教版下册正方形的判定

∴△证GDC明≌△(E1DA)(:S∵AS)四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°，AB=AD ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
问题2 如何判断矩形、菱形？
∵AE=DH=BF ∵四边形ABCD为正方形
∴∠C=∠DFC=∠DEC=90°
∴AH=BE ∴∠DAM＝∠B′AM＝30°
∴ AD=AB=BC=CD,
求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
A
B
O
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
C
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
3
10
AC AB2 BC2 3 2 ∵AD=3，DE=1
AH
5
AC2
CH 2
6
10
拓展延伸2：如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点
B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点

A逆时针旋转30°至正方形AB'CD'处，B'C'与CD相交于点M，求
点M的坐标. 解：连接AM
角：两组对角相等
∴拓∠展A延=∠伸B1=：90如°图，，AB已=知AD四边对形角AB线CD：和对四角边线形D互EF相G为平正分方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线，且AD=3，DE=1，连接
AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求线段AH的长．
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
在△AEH和△BFE中 ∴∠DAM＝∠B′AM＝30°
∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG=90°
A H ＝2(x﹣4)2+32 B E
∴△GDC≌△EDA(SAS)
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 A B ∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠B′=90° A E B F ∴△AEH≌△BFE（SAS）
三个角是直角
矩形
＝2(x﹣4)2+32
∴∠HEC+∠EHC＝90°
∴四边形ABCD是正方形. ∴四边形ABCD是正方形.
两组对边平行 边：
AC⊥DB.
两组对边相等
四边形 平行四边形 ∴四边形DFCE是矩形
∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠B′=90°
一组对边平行且相等
∴△AEH≌△BFE（SAS） ∴∠AHC=∠AHG＝90°
第十八章
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习引入
A
B
问题1 正方形有哪些性质？
四条边相等
正 方
边
对边平行
形 的
角 四个角都是直角
性
互相平分
质 对角线 相等
互相垂直
O
D
C
每一条对角线平分一组对角
问题2 如何判断矩形、菱形？
AD2+MD2=AM2
∴∠DAE+∠AED＝90°
四条边相等
菱形 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形
正方形既是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 所以判定一个四边形是正方形,就判定这个四边 形既是矩形，也是菱形
讲授新课
正方形的判定
∵AD平分∠FAN，DF⊥AC,DN⊥AB
∴DF＝DN
∵BD平分∠EBN，DE⊥BC,DN⊥AB
∴DE＝DN
∴DF＝DE
∴四边形CEDF是正方形
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，
H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
正方形
判定正方形的方法判断四边形既是矩形，也是菱形
典型例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分
线交于点D.DE⊥BC，DF⊥AC.求证:四边形CEDF为正方形.
证明：过点D作DN⊥AB，垂足为N
∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC
N
∴∠C=∠DFC=∠DEC=90°
∴四边形DFCE是矩形
∵AD=3，DE=1
∵∠AHC＝90°
1
1
S△ACG 2 CG AH 2 10AH 6
AH＝6 10
5
拓展延伸1：如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，
点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线，且AD=3，DE=1，
连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求线段AH的长． 解：∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴∠AHE=∠BEF
∵∠A=90°
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90° 同理:∠EFG=∠FGH=∠HEF=90° ∴四边形EFGH是矩形 ∵△AEH≌△BFE ∴EH=EF ∴四边形EFGH是正方形
∴∠AHE+∠AEH=90°
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH． (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)求四边形EFGH面积的最小值. 解(2): 设四边形EFGH面积为S，BE＝xcm，
则BF＝（8﹣x）cm 在Rt△BEF中，由勾股定理得：
EF2＝BE2+BF2＝x2+(8﹣x)2 ∴S＝x2+（8﹣x）2＝2x2-16x+64
＝2(x2﹣8x)+64 ＝2(x2﹣8x+16-16)+64 ＝2(x2﹣8x+16)-32+64 ＝2(x﹣4)2+32
∵2(x﹣4)2≥0
∴S有最小值 当x＝4时，S最小值＝32 ∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
(2)求四边形EFGH面积的最小值.
证明(1):∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°，AB=AD ∵AE=DH=BF ∴AH=BE
在△AEH和△BFE中
∵△AEH≌△BFE
AH BE
A
B
A E B F
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴∠AHE=∠BEF
∵∠A=90° ∴∠AHE+∠AEH=90° ∴∠AEH+∠BEF=90°
第二十三章 旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。本章的重点是中心对称的概念 、性质与作图。本章的难点是辨认中心对称图形，按要求作出简单平面图形旋转后的图形。 1.继续强化对基础知识的理解，掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷，全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习。中学 数学的重点知识包括： 高三数学复习中的几个注意点 7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 学法指导必须与教学改革同走进行，协调开展，持之以恒。我们在数学教学的同时应关于理论联系实际，因人而异，因材施教，充分
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
O
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
拓展延伸1：如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，
点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线，且AD=3，DE=1，
连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求线段AH的长．
解：∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形
∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG=90°
在△GDC和△EDA中
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展
开，折叠部分得到一个正方形.
A
F
D
正方形
B
E
C
问题：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，这 时菱形框架变成了正方形.
1
正方形 (5)解析几何。此专题中解析几1何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。
问题：满足怎样条件的菱形是正方形？ 调动学生的学习积极性。
1 全等三角形的对应边、对应角相等
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
总结归纳
判定正方形的几条途径：
一个直角，
+ 对角线相等 先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+ 一组邻边相等，
对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四 边形
一组邻边相等 一内角是直角
DG DE ADE CDG
∴CD=3，DG=1 在Rt△CDG中，
由勾股定理得：
AD CD
∴△GDC≌△EDA(SAS)
GC CD2 DG2 10
∴AG=AD+DG=4
∴∠GCD＝∠EAD ∵∠ADE＝90°
S△ACG
1 2
AG CD
1 2
43
6
∴∠DAE+∠AED＝90° ∵∠DEA＝∠CEH ∴∠HEC+∠EHC＝90° ∴∠EHC＝90°
AC2 CH 2 AG2 GH 2
∴∠DAE+∠AED＝90°
设CH x,则GH 10 x
∵∠DEA＝∠CEH ∴∠HEC+∠EHC＝90°
(3 2)2 x2 42 ( 10 x)2
∴∠EHC＝90°
x 3 10
∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=BC=3,∠B=90°
CH
5
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋
转30°得到正方形AB'C′D′ ∴AD＝AB=AB′＝1，∠BAB′＝30°,
∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠B′=90°
∴∠B′AD＝∠BAD-∠BAB′=60° 在Rt△ADM中，由勾股定理得
在Rt△ADM和Rt△AB′M中
AD AB AM AM
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL） ∴∠DAM＝∠B′AM＝30° 在Rt△ADM中，∠DAM＝30° AM=2DM
∴EH=EF 同理：EH=EF=FG=GH
∴∠HEF=90° ∴四边形EFGH是正方形
∴四边形EFGH是菱形
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH． (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)求四边形EFGH面积的最小值.
设DM=x，则AM=2x
AD2+MD2=AM2
∴x2+12=(2x)2
x 3
DM
3
3
3
M 1,
3 3
课堂小结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
课堂小结
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG=90°
在△GDC和△EDA中
∴CD=3，DG=1
DG DE ADE CDG AD CD
∴△GDC≌△EDA(SAS) ∴∠GCD＝∠EAD ∵∠ADE＝90°
∴AG=AD+DG=4 在Rt△CDG中，由勾股定理得：
GC CD2 DG2 10 ∵∠EHC＝90° ∴∠AHC=∠AHG＝90°