学生数学能力成分与结构研究的评述

学生数学能力成分与结构研究的评述[摘要]目前，关于学生数学能力成分与结构的研究比较多，论文以国内外已有研究的评述为切入点，在梳理文献的基础上获得了在新课程改革背景下培养学生数学能力的四点启示。

[关键词]数学能力能力成分能力结构
一、引言
能力在心理学上常是指在人们某种身心活动中表现出来的直接影响活动效率的一种稳定的个性心理特征[1]。

数学能力应是一种特殊的，在从事与数学相关的活动（学习数学、研究数学、应用数学）时表现出的影响活动效率的稳定的个性心理特征。

但厘清数学能力成分和结构的已有研究，对于指导数学教师开展数学教学研究和对学生数学能力的培养大有裨益。

二、数学能力成分
据不完全统计，目前提出的数学能力已达上百种之多。

这表明大多数学者认为数学能力是一种综合性的复合物。

但在“其组成成分是什么？”的问题上存在分歧。

（一）国外学者对数学能力成分研究
长期以来，关于数学能力的成分，一直存在不同的认识。

例如国外的，桑代克（e.l.thomdike）认为数学能力是算术与代数能力。

魏德林（l.werdelin）认为数学能力是理解、记忆，以及解决问题的能力，其可以分成五种成分：一般能力、数学运算能力、空间观
念和空间能力、语言推理能力以及归纳推理与演绎推理能力，其中的归纳推理与演绎推理能力在能力结构中起核心作用。

前苏联心理学家克鲁切茨基（b.a.kpyтeчкий）通过对数学思维过程的分析，在实验的基础上，将学龄期数学能力的一般构成按心理活动的顺序分为[2]：获得数学信息、加工数学信息、保持数学信息以及一般的综合性成分等四大类九种成分。

进入21世纪之际国外关于数学能力组成成分的提法又有新的变化。

2000年，美国数学教师协会（nctm）发布《数学课程标准》[3]，其中提到6项能力：数的运算能力，问题解决的能力，逻辑推理能力，数学联结能力，数学交流能力，数学表示能力。

英国的2000
年国家课程对水平较高的学生有相对严格的计算能力、演绎推理能力、数据处理能力等方面的要求，把“使用和应用数学”贯穿于整个中小学课程，同时也强调“问题解决”、“交流”和“推理”能力的重要性。

2003年以来，德国的文化部长会议（kmk）颁布了针对10年级毕业生的德语、数学以及英语教育的全联邦性的教育标准，其中的数学教育标准提出六大宏观的数学能力：数学论证、数学地解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号公式以及技巧的熟练掌握、数学交流。

“这个能力模型，不是静态指标，而是强调能力的发展是一个可持续的过程，没有具体规定各个学段的教学内容，而是系统地提出所有10年级的毕业生应该达到的数学能力水平”[4]。

日本高中《学习指导要领》在数学能力方面的要求是提
高“生存能力”，为了获得这种生存能力，日本课程着力于培养学生全面的学习意识和品质，其中也包括独立思考、观察事物、逻辑思考、发现问题、交流合作等一系列的能力。

日本数学课程十分重视学生学习的多样化；重视提高学生对数学学习的兴趣和关心；重视通过数学活动培养学生的创造性[5]。

（二）国内学者对数学能力成分研究
从数学活动特性的考察角度，林崇德（1992）认为数学能力是以数学概括为基础的运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，与思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性品质相互交叉构成的统一整体。

王梓坤认为数学能力应包括“直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断”。

从比较宏观的角度运用思辩方法划分数学能力成分，部分学者提出了能力四因素和五因素说，如：周学海（1996）[6]曾提出，数学能力结构的基本成分为：数学观察能力、数学记忆能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

王岳庭（1990）[7]等提出了五种数学能力成分构想：数学抽象能力、数学概括能力、数学推理能力、数学语言应用能力、数学直觉能力。

此外，张士充从认识过程角度出发，提出数学能力四组八种能力成分，即：观察-注意能力，记忆-理解能力，想象-探究能力，对策-实施能力。

孙以泽（2003）认为数学能力是由基础能力，核心能力即数学思维能力，综合性能力三个不同层面的多种能力成分
组成的[8]。

从学习的角度，比较多的研究者提出了数学解题能力，如李花花（2008）高中数学教学中运用数形结合提高解题能力的研究；简洪权（2000）高中数学运算能力的组成及培养策略。

从认知与学习过程来研究能力，是对能力宏观研究的微观化、学科化，便于指导教师在教学中采纳研究的成果。

（三）对数学能力成分研究的评析
综上可见，由于所取角度及认识方法不同，数学教育工作者对数学能力成分的认识表现出较大的分歧。

能力成分认识不一致，必然会影响到在数学教育实践中对能力的培养。

基于此，喻平提出确定数学能力成分的标准：“相对完备性、相对独立性、目标明确性及可操作性，并提出按统一的标准去评析各种视角下的数学能力结构，以便尽快统一对数学能力成分的认识”[9]。

三、学生数学能力的结构
能力结构是指能力内部各要素、成分之间合乎规律的组织形式，它是由各要素、成分共同决定，按照其本身的发展规律逐步形成的内在关系，各要素和成分之间具有相互依存、相互制约的关系[10]。

国内外有很多教育与心理学家从定性和定量两个角度对数学能力
结构进行了深入和卓有成效的研究。

（一）国外对数学能力结构的研究
前苏联心理学家克鲁切茨基采用活动分析法对中小学生数学能
力结构进行了长达12年之久的研究，发现了符合数学活动要求的九种能力。

他认为[11]学生解答数学题时的心理活动包括以下三个阶段：收集解题所需的信息；对信息进行加工，获得一个答案；把有关这个答案的信息保持下来。

与此相适应，数学能力也包括三个组成部分：对数学材料的形式化感知；概括数学材料的能力；对数学材料的记忆力。

它们统一于数学气质（各种数学能力彼此密切相关而形成的一个单一系统，一个综合而复杂的个体心理结构）。

卡洛尔（john b.carroll）[12]采用探索性因素分析和验证性因素分析以及项目反应理论对数学能力进行了研究，得出了认知能力的三层理论：第三层为一般智力；第二层包括流体智力、晶体智力、一般记忆和学习、视觉、听觉、恢复能力、认知速度、加工速度；第一层包含了100多种能力。

（二）国内数学能力结构的相关研究
林崇德的“三能力五品质”能力结构的研究[13]，认为：数学能力结构应当包括传统的三种基本数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力）以及五种数学思维品质（思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性）。

三种基本能力与五种思维品质的关系不是并列的关系，而是交叉的关系。

每个交叉结点上又有数种具体的能力特点。

因此构建了一个以三能力为经，以五品质为纬的数学能力结构系统。

司徒伟成对中学生数学能力的因素分析[14]，得出了几种主要
能力结构：逻辑思维与演算能力以及空间思维与想像能力。

胡中锋对高中生数学能力结构的研究[15]，得出了四因素模型：逻辑运演能力、逻辑思维能力、空间思维能力、思维转换能力，这四种主要能力之间两两均存在高度相关。

这里四个能力的归类正好与传统高中数学的分科教学（解析几何、代数、立体几何、三角）相一致。

（三）三维数学能力结构模型
我国心理学家石德澄从内容、思维操作和能量三个角度创建了三维数学能力结构。

内容方面：概念、数量关系和空间关系的掌握；思维和操作方面：概括、推理和逆运算能力；能量方面：速度、准确性和灵活性。

国际经济合作与发展组织（oced）自2000年以来，开展了以测评学生素养为目标的“国际学生评价项目”（pisa），其中的数学素养主要是测评学生的“数学情感态度价值观、数学知识和数学能力。

”pisa2006年测评的数学关键能力主要包括：思考和推理能力，论证能力，交流能力，建模能力，问题提出和解决能力，表达能力，使用符号、形式语言和技术的能力，利用辅助设备和工具的能力。

桂德怀、徐斌艳[16]，针对中学阶段应加强的数学素养以及pisa能力结构的不完善性，提出一种三维的数学素养结构。

数学能力作为其一级指标，又可以细分成一些二级、三级能力指标。

数学能力二级指标主要包括计算能力，论证能力，推理判断能力，问题解决能力，建模能力，交流能力、鉴赏能力，使用工具和技术能力。

总之，数学能力结构是由各种数学能力成分所组成的动态的、多维度、多层次的立体网络结构[17]。

上述这些研究有些是基于研究者的经验总结出来的结构模型，有些研究是通过假设模型、因素分析、获取数据而进行的。

随着社会对公民数学素养要求的变化，需要及时地对学生数学能力结构的塑造也应做出一些相应的调整。

四、启示
通过以上对数学能力成分与结构研究的分析，对于我们实施新课程的中学数学教学有一些启示：
1.可以看出学生的数学能力成分之间是既有密切联系又有区别的。

“这些联系和区别，对于我们选择教学内容、制定课程大纲、编写教材以及数学教学都有重要的参考价值[15]。

”在对新课程实施情况的调查中，我们发现当前的数学教学中出现了淡化运算能力培养，忽视学生问题解决能力培养的现象，学生在使用工具技术和交流能力方面比较弱，有待加强。

2.学生的数学能力结构是一个系统的结构，从不同角度有不同的划分类型，总体看来应该包括基础能力、数学思维能力、数学学习能力、数学发展能力。

基础能力是学习数学的前提或者保障，包含认识能力、语言表达能力、人际交往能力、信息素养。

数学思维能力是体现数学与其它学科不同之处的、有数学思维孕育其中的能力，如抽象概括能力、推理论证能力、空间想象能力、数学地提出、分析和解决问题的能力。

数学学习能力主要是学生自我学习的能
力，包括数学学习规划能力、监控能力。

数学发展能力包括数学研究能力、创造能力。

3.新课程改革背景下数学教材中设计了大量的学习材料，蕴含了丰富的信息，体现出数学源于生活的理念。

这就需要学生具备基本的信息获取、加工与转化的能力，也是现代数学教育中的一个重要目标。

信息获取、加工与转化是实现“生活—数学—生活”，即“将学生的数学知识转化为社会价值”[18]的一项能力。

教师在教学中，需要有意识引导学生阅读材料、分析材料，指导信息获取的策略，如精读策略、读写结合策略、语言转换策略。

4.《普通高中数学课程标准》对数学能力提出明确的要求，将我国数学教育中传统的“三大能力”发展为提高“空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”这“五大能力”。

这其中的运算求解和数据处理是体现课程标准的时代性，也是课标的新增加内容，需要我们教师自身加强这两个方面的能力，完善自身的能力结构，才能适应新课程改革的教学需求。

*基金项目：四川文理学院2011年院级科研立项课题《高校数学教育专业建设适应性实证研究》（2011r028y）， 2012年度四川省哲学社会科学研究基地项目（四川省教师教育中心）《教师教学技能的培养研究》
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（作者单位：1.四川文理学院数学与财经系四川达州，2.云南师范大学数学学院云南昆明）。