2矩阵的运算

矩阵的 减法：A – B = A + (－B )
2、运算律
矩阵的加法满足下列运算规律设 A、 B、C 都是 m×n 矩阵:
1） A + B = B + A
2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）
3） A +（－A）= A－ A = 0
二、数与矩阵相乘
1、定义
定义3 数 λ 与矩阵的乘积,记作 λA 或Aλ,规定为
λA = A λ=
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
2、运算律 数乘矩阵满足下列运算规律
设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ为数：
1） （λμ）A = λ ( μA ) 2） （ λ ＋ μ ) A = λ A + μA； 3） λ ( A + B ) = λA + λB
§2.矩阵的运算
一、矩阵的加法
1、定义
定义2 设有两个m×n矩阵 A (aij ), B (bij )
那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为
a11 b11
A+
B
=
a21
b21
a12 b12
a22 b22
a1n b1n a2n b2n
am1 bm1 am2 bm2 amn bmn
s
aikbkj (i 1, 2, m; j 1, 2 n), k 1
即 A× B = C.
注意：
ai1 ai2
b1 j
ais
b2
j
bsj
ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
aikbkj cij
k 1
例1.求矩阵
A=
1 2
0 1
3 0
21
与
4 1 0
0 0
2. 运算律
1) 矩阵的乘法一般不 满足交换律
2) （AB）C = A（BC）
3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), ( 其中λ为数 );
4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA
3. 设E为单位矩阵
Em Amn Amn ,
a13 a23 a33
a14 a24 a34
b11 b21 b31 b41
b12
b22
b32 b42
C (cij )32
c c 其中 i1是向第 i 店所发产品的总值 , i2 是向第 i
店所发产品的总重量。C 表示为向三个商店所发产品的
。 总值及总重量所构成的矩阵
又如
0 1 1 1
这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为 矩阵的线性运算.
三、矩阵与矩阵相乘
1、定义
定义4 设 A =（aij)m×s , B = ( bij )s×n 矩阵， 那末规定矩阵 A与矩 B 的乘积是一个m×n矩阵 C = ( c ij )m×n 。其中
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
A
1 0 1
0 1 0
0 0 1
000 ,
2 1 1 0
1
4
A2
0
1
1
1
1 0 0 0 0 2 1 1
2
3
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的 条数构成的矩阵。
1 1 3
B=
2 1
0 3
1 4
的乘积AB
解：
C ＝ AB
4 1 0
＝ 12
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3
1 4
9 9
2 9
111
例2. 设矩阵
A=
2 1
42
B=
2 3
46
求AB与B×A。
解：
AB =
2 1
42
2 3
46
16 8
32 16
BA=
2 3
4 6
2 1
42
0 0
Amn En Amn
或简写成
EA = AE = A
4、方阵的幂运算
设 A为 n 阶方阵. k , l 为正整数
1) AAA Ak
k
2) Ak Al Ak l
3) ( Ak )l Akl 注 : 一般说来 ABk Ak Bk .
如Байду номын сангаас
A×B
a11 a21
a31
a12 a22 a32