2020届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学（理）
试题
一、单选题
1．设复数1i z i i -=-
，则||z =（ ）
A ．
B
C ．2
D ．1 【答案】A
【解析】先利用复数运算法则化简，再求复数的模长.
【详解】 利用复数运算法则，由11121i z i i i i i -⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭
，
故可得|z |=故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属复数基础题.
2．已知集合{}2219,05x M x x N x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，则M N =（ ） A ．132x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．5{|}3x x -<≤ C ．5}|3{x x <≤ D ．{|35}x x <<
【答案】D
【解析】先求解二次不等式以及分式不等式，再求解交集即可.
【详解】
由29x >，可得3x <-或3x >； 由2105x x +≤-，可得152
x -<. 故{|35}M N x x ⋂=<<．
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，涉及二次不等式求解以及分式不等式的求解，属基础题.
3．已知向量()4,3,,13a m b m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
.若a //b ，则m =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．13
【答案】B
【解析】由向量平行的坐标公式，代值计算即可.
【详解】
因为a //b ，
故可得 243(1)44023m m m m m m ⎛⎫⨯-=⨯-⇒-+=⇒= ⎪⎝
⎭. 故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示，属基础题.
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．3
B C ．D ．9 【答案】A
【解析】由渐近线方程可知,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可得离心率.
【详解】
因为渐近线方程为0y +=
故22222883b c b a c a a a a
==⇒-=⇒=. 故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的,,a b c 之间的关系，本题涉及由渐近线斜率求解离心率的转换.
5．已知0.60.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】B 【解析】将每个数据与0或者1进行比较，从而区分大小关系.
【详解】
函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=.
又0.60.500.51,log 60b c <=<=<，
所以c b a <<.
故选：B.
【点睛】
本题考查指数和对数比较大小，其方法是选择1或者0为基准进行比较.
6．已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，等差数列{}n b 通项公式为31n b n =-.若将数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的第10项为（ ）
A ．52
B ．55
C ．59
D ．65
【答案】C
【解析】列举两个数列，找出规律，从而进行计算.
【详解】
对数列{}n a 进行列举：1,3,5,7,9,11,13,15，17
对数列{}n b 进行列举：2,5,8,11,14,17 不难发现这个新数列{}n c 是以5为首项，6为公差的等差数列，
故61n c n =-
故此数列的第10项为10c =59.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列新定义，本质是等差数列的应用，属基础题.
7．已知ln(1)()x f x x
-=，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+=
B ．220x y --=
C ．220x y
D ．220x y --=
【答案】D 【解析】根据导数的几何意义，即可求解切线方程.
【详解】
因为()()
1In x f x x -=
故2ln(1)1(2)0,()x x x f f x x -
--'==， 所以1(2)2
f '=， 所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为
10(2)2202
y x x y -=-⇒--=. 故选：D.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及求过曲线上一点的切线方程的求解，需要牢记结论即可. 8．我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式.例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为（ ）
A ．1114
B ．1721
C ．2021
D ．7984
【答案】D
【解析】先计算至少要用7根木棍的对立事件的概率，用1减去该事件对立事件的概率即可.
【详解】
至少要用7根小木棍的对立事件为用5根小木棍和6根小木棍这两种情况， 用5根小木棍为126这一种情况的全排列，
用6根小木棍为123，127，163，167这四种情况的全排列，
故至少要用7根小木棍的概率为3339579184
A A -=. 故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，涉及正难则反的求解思路；一般地，当需要讨论的情况超过三种，我们考虑用正难则反的思路进行计算.
9．已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线21y x =+与抛物线C 交于点,A B ，则
||AB =（ ）
A
．B ．16 C ．12 D
．【答案】C
【解析】联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.
【详解】
由题意得(0,1)F
，所以1y =
+过焦点F .
设()()1122,,,A x y B x y ，
则12||2AB y y =++.
联立24,1,x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得240x --=，
所以12x x +=
又11221,1y y =+=+，
所以)1212||2412AB y y x x =++=++=.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题. 10．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)f x +也是奇函数，当(0,2)x ∈时，
2()2f x x x =-，则(1),,()2f f f ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的大小关系是（ ） A ．(1)()2f f f ππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭
B ．()(1)2f f f ππ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭
C ．(1)()2f f f ππ⎛⎫-<<
⎪⎝⎭ D ．(1)()2f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】根据题意，找出函数的周期，利用函数的单调性，奇偶性和周期性比较大小即可.
【详解】
由()f x 为奇函数，可知函数()f x 的一个对称中心为(0,0).
由(2)f x +也是奇函数，可知()f x 的一个对称中心为(2,0).
故函数()f x 的周期为4.
当(0,2)x ∈时，2
()2f x x x =-，
故(1)(1)1f f -=-=-. 又122π<<，所以02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
. 又34π<<，所以0(4)()(3)1f f f π=>>=-，
所以(1)()2f f f ππ⎛⎫-<<
⎪⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的性质比较大小，涉及函数周期性、奇偶性、单调性，是函数性质综合应用题.
11．已知函数()sin()0,0,0||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3π
ϕ=-；③12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数；④12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是偶函数中，所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．②④
D ．①②④
【答案】D 【解析】根据图像的最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可.
【详解】
由图可知，1A =，又函数周期2T ππω==
，求得 2ω= 根据五点作图法：206π
ϕ⨯+=，解得3π
ϕ=-
故()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以①②正确； sin 2sin 2sin 212123636f x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时函数不是奇函数，所以③错误；
sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
为偶函数，所以④正确. 综上所述，正确的有①②④.
故选：D.
【点睛】
本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.
12．已知O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(3)9N x y ++=，,A B 分别为M 和N 上的动点，则
0A B 面积的最大值为（ ） A ．334 B ．93 C ．33 D ．93
【答案】B
【解析】根据题意，构造面积的函数，用角度作自变量，利用导数研究单调性即可.
【详解】
如图，设BON θ∠=，过点M 作BO 延长线的垂线，
垂足为D ，与圆M 的一个交点为A ，
则AD 为圆M 上的点到直线BO 的距离的最大值，
这时相对于每一个确定的OB ，0A B 的面积最大.
又90,6CBO OC ︒∠==，所以6cos OB θ=.
又MOD COB ∠=∠，所以MOD θ∠=.
又1OM =，所以sin MD θ=，所以1sin AD θ=+， 所以116cos (1sin )22
AOB S OB AD θθ=⨯=⨯⨯+△ 13(cos cos sin )3cos sin 22θθθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
设1cos sin 22
y θθ=+，则2sin cos21sin 2sin (12sin )(1sin )y θθθθθθ'=-+=--=-+，
令0y '=，解得12sin θ=或1sin θ=-，因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，故()0,1sin θ∈ 故当10,?2sin θ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22y θθ=+单调递增； 当1,12sin θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22y θθ=+单调递减； 故当1sin 2θ=，即30θ︒=时，y
. 所以AOB
故选：B
【点睛】
本题考查圆方程中的动点问题，涉及三角函数，恒等变换，利用导数求单调性，属综合困难题.
二、填空题
13．已知实数,x y 满足1,4,36,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩
则2z x y =-的最小值是________. 【答案】72
- 【解析】画出可行域，找出目标函数取得最小值时的点，代入目标函数，即可求得.
【详解】
由题意可知，满足不等式组的可行域如下图所示：
根据图像，若2z x y =-取得最小值， 则过点35,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入得：3572222
z =
-⨯=- 故答案为：72-. 【点睛】
本难题考查简单线性规划问题，属基础题.
14．若5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x -的系数是80-，则a =________. 【答案】-2
【解析】写出展开式的通项公式，结合题意，即可求得.
【详解】 展开式的通项为553552C C r r r r r r a x a x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当534r -=-时，3r =，
故33580C a =-，解得2a =-.
故答案为：-2
【点睛】
本题考查由二项式中的某一项的系数，求解参数的问题，属基础题；其关键是写出通项公式.
15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,2n n n a a a +=⋅=，则15S =________.
【答案】509
【解析】根据递推公式，求得数列的性质，再用分组求和求解即可.
【详解】
因为12n n n a a +=⋅，所以122a a ⋅=，故22a =.
又1122n n n a a +++=⋅，所以12
212n n n n n n
a a a a a a ++++⋅==⋅， 所以数列{}n a 的所有奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列{}n a 的所有偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
又其前15项中有8个奇数项，7个偶数项，
所以()()
87915112212235091212S ⨯-⨯-=+=-=--.
故答案为：509.
【点睛】
本题考查数列求和，涉及递推公式的转换，以及等比数列求和，属综合中档题；其难点是利用递推公式，通过下标的缩减，获得数列的特征.
16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,ABC AB BC ⊥.若2PA AB BC ===，,E F 分别是,PB PC 的中点，则三棱锥P AEF -的外接球的表面积为__________.
【答案】5π
【解析】根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.
【详解】
因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.
又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥.
又PA AB =，故AE PB ⊥，
所以AE ⊥平面PBC ，
所以,AE EF AE PE ⊥⊥.
又//EF BC ，
所以EF PE ⊥，故,,EF PE AE 两两垂直.
又11,22EF BC PE AE ====，
故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1
. 所以三棱锥P AEF -
的外接球的半径为
22
=
，
故外接球的表面积为2
45ππ
⨯=⎝⎭
. 故答案为：5π. 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，涉及线面垂直，线线垂直的性质和判定；本题的关键是将棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.
三、解答题 17．在
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin sin c B A
a b B C
-=+-. （1）求角A ； （2
）若3,cos a B ==
，求ABC 的面积.
【答案】（1）60A ︒=；（2
）ABC S =
△【解析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，即可求得； （2）利用正弦定理求边，根据两个角求出第三角的正弦，代入面积公式即可. 【详解】
（1）由正弦定理，得
sin sin ()sin sin c B A b a
b c a b B C b c
--==≠+--， 所以2
2
2
b a b
c c -=-，所以2221
22
b c a bc +-=.
由余弦定理，得1
cos 2
A =.又0180A ︒︒<<， 所以角60A ︒=.
（2）由（1）得角60A ︒=
，由cos =
B
，可得sin B =，
由正弦定理，得2
sin sin b a b B A =⇒=⇒=. 又180A B C ︒++=，
故323
sin sin 180()sin()sin cos cos sin 6
C A B A B A B A B ︒+⎡⎤=-+=+=+=⎣⎦
，
11323323
sin 3222ABC S ab C ++=
=⨯⨯⨯=
△. 故三角形ABC ∆的面积为323
+. 【点睛】
本题考查利用正弦定理将角化边，以及求三角形面积，涉及余弦定理的使用，是解三角形综合问题.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45,DAB PD ︒∠=⊥平面ABCD ，AP BD ⊥. （1）证明：BC ⊥平面PDB ； （2）若2,AB PB =
与平面APD 所成角为45°
，求二面角A PC B --的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）
6
π
【解析】（1）根据题意及几何关系，由线线垂直推证线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法求解即可. 【详解】
（1）由PD ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD
得,PD BD PD BC ⊥⊥. 又AP BD ⊥，
PD ⊂平面APD ，AP ⊂平面APD ，
所以BD ⊥平面APD ， 又AD ⊂平面APD ， 所以BD AD ⊥.
又//AD BC ，∴BC BD ⊥,
BD ⊂平面PBD ,
PD ⊂平面PBD 故BC ⊥平面PDB .
（2）由（1）可知BD AD ⊥，又2,
45AB DAB ︒=∠=，
所以1AD BD ==.
又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影， 故45BPD ︒∠=，所以1PD BD ==， 由（1）可知，,,PD AD BD 两两垂直，
如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，
DP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.
则(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)P A B C -
所以()()()1,0,1,1,1,1,0,1,1PA PC PB =-=--=- 设()111,,n x y z =为平面APC 的法向量，
则00n PC n PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即111110
0x y z x z -+-=⎧⎨-=⎩，
可取()1,2,1n =，
设()222,,m x y z =为平面PCB 的法向量，
则00m PC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即222220
0x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，
可取()0,1,1m =，
故3,?
2
m n cos m n m n ⋅==
因为二面角A PC B --为锐二面角， 所以二面角A PC B --的大小为6
π. 【点睛】
本题考查线线垂直推证线面垂直，以及用向量法求解二面角，属综合中档题.
19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，点(2,0)N 椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为1
3
-，求直线l 的方程.
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）22y x =+ 【解析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得,,a b c 方程，求解即可； （2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可. 【详解】
（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，
所以2a =.
又
2
c a =
，所以c =又222b c a +=，所以22b =
所以椭圆的方程为22
142
x y +=.
（2）若直线l 与x
轴垂直，则(0,A B
，则
413
NA NB N NB k k k k ==+≠-， 所以直线l 的斜率存在.
设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+，
联立22214
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22
21840k x kx +++=
则有1212
2284
,2121
k x x x x k k -+=
=++
()2221(8)421402
k k k =-⨯+⨯>⇒>
△ 直线NA 的斜率为
1
12y x -，直线NB 的斜率为）222
y x -， 所以
()()()()
122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+
()()()()()()
122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81
243
kx x k x x x x x x +-+-=
=--++，
化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=.
又1212
2284
,2121
k x x x x k k -+=
=++， 所以2
248(61)(46)2002121
k
k k k k -+⨯+-⨯-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-， 又21k =-时，过点N ，故舍去， 所以直线l 的方程为22y x =+. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交，利用韦达定理及其他条件求直线方程；本题中需要注意分类讨论直线的斜率是否存在. 20．设函数()ln a
f x x x
=
+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a ，证明1
()x f x e
>
恒成立. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间
(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；（2）证明见详解.
【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，进而求得函数的单调区间； （2）将恒成立问题，转化两个函数最值之间的问题，进而求解. 【详解】
（1）由题意得0x >，221()a x a f x x x x
'
-=-
+=. ①当0a ≤时，()0f x '，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；
②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >， 故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增. （2）证明：
要证1()x f x e >
，只需证1
ln x
a x x e
+>. 又0x >，故只需证ln x x
a x x e
+>即可.
设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '
=+， 在区间10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上，()0g x '<，在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,
e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以11
()g x g a e e
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 设()x x h x e =
，则1()x
x h x e '
-=，
在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<， 故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，
所以1
()(1)h x h e =
. 又1a ≥，所以111a e e
--. 又因为2e >，所以2
1e
>，
所以11
1e e
->，
故在(0,)+∞上，()()g x h x >， 综上，1
()x f x e
>恒成立. 【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及证明不等式恒成立的问题，属导数经典题型.
21．某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，钢管有内外两个口径，甲种钢管
内外两口径的标准长度分别为30mm 和34mm ，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为60mm 和65mm .根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度()x m 都服从正态分布(
)2
,N μσ
，长度在(3,3)μσμσ-+之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准
流入市场，其他长度的钢管为正品.
（1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率； （2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为(),()a mm b mm ，标准长分别为(),()a mm b mm ，则“口径误差”为
||||a a b b -+-，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的
范围分别是[0,0.1],(0.1,0.2],(0.2,0.4]（正品钢管中没有“口径误差”大于0.4mm 的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：
甲种钢管 乙种钢管
（ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了10万元的货，1X 和2X 分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求1X 和2X 的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；
（ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？ 附：若随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=，
1010100.68270.0220,0.95450.6277,0.99740.9743≈≈≈.
【答案】（1）0.0257；（2）（ⅰ）
()118E X =，()148D X =，()217E X =，()216D X =，
利弊见解析；（ⅱ）甲种钢管上投资25万元，在乙种钢管上投资75万元 【解析】（1）结合题意，由正态分布的概率进行计算即可；
（2）（ⅰ）根据题意，求解分布列，再根据分布列求解期望和方差即可； （ⅱ）构造方差和的函数，根据方差的运算性质，利用已知求函数的最小值即可. 【详解】
（1）由正态分布可知，抽取的1根钢管的长度在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10根钢管的长度全在(3,3)μσμσ-+内的概率为100.99740.9743≈， 则这10根中至少有1根为废品的概率约为10.97430.0257-=. （2）（ⅰ）由利润率和投额可得1X 可为30万元、18万元、10万元，
2X 可为25万元、15万元、8万元.
又由直方图可得对应的频率为0.2、0.5、0.3和0.2、0.8、0， 所以随机变量1X 的分布列为
()1300.2180.5100.318E X =⨯+⨯+⨯=（万元），
()2221(3018)0.2(1818)0.5(1018)0.348D X =-⨯+-⨯+-⨯=.
随机变量2X 的分布列为
()2250.2150.88017E X =⨯+⨯+⨯=（万元），
()222(2517)0.2(1517)0.816D X =-⨯+-⨯=.
经销商经销甲种钢管的平均利润18万元大于经销乙种钢管的平均利润17万元， 但经销甲种钢管的方差48也远大于经销乙种钢管的方差16. 所以经销甲种钢管的平均利润大，方差也大，相对不稳定； 而经销乙种钢管的平均利润小，方差也小，相对稳定.
（ⅱ）设经销商进了x 万元的甲种钢管，则进了(100)x -万元的乙种钢管， 令()f x 为经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差的和，则
12100()100100x x f x D X D X -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22
12100100100x x D X D X -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222163(100)100x x ⎡⎤=
+-⎣⎦()2216420010000100x x =-+. 当200
2524x -=-
=⨯时，()f x 的值最小. 故在甲种钢管上投资25万元，在乙种钢管上投资75万元时，
可使经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差和最小. 【点睛】
本题考查正态分布，分布列的求解，数学期望与方差的计算，涉及方差的运算性质，属综合题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
212,22x t t
y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线2
C
的参数方程为2,
x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.
（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐极方程为4
π
θ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B
两点，求||AB 的值.
【答案】（1）2
4cos 20ρρθ-+=；（2
）【解析】（1）将参数方程化简为普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可； （2）根据题意，利用,A B 在极坐标中对应的θ相同，将方程转化为极坐标进而求解. 【详解】
（1
）由2,,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
得2,,
x y αα=-= 两式平方相加，得22(2)2x y -+=，
又222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
所以曲线2C 的极坐标方程为2
4cos 20ρρθ-+=.
（2）由2
2
12,22,
x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
得222
22
1142,2,4y t x t x t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭
消去t ，得2
4,4y x x =，
曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=⇒=. 设12,
,,44
A B ππρρ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
， 所以12
4cos
4
sin 4
π
ρ
π
=
=
(2
2
2
2220
ρρ-+==
解得2ρ
=
12|||AB ρ
ρ=-==故AB =. 【点睛】
本题考查将参数方程转换为极坐标方程，以及在极坐标方程中求解两点之间的距离. 23．已知0a b >>，函数2
4
()()
f x x a x b a b =-++-.
（1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值； （2）证明：()8f x .
【答案】（1）8；（2）证明见详解.
【解析】（1）根据绝对值三角不等式，即可求得；
（2）利用绝对值三角不等式，巧妙构造，进行证明.
【详解】
（1）当1,2b a ==时，
()44f x x x =-++()()448x x ≥--+=
当且仅当[]
4,4x ∈-时取得
故()f x 的最小值为8.
（2）证明： ()2224
44()()()()f x x a x x a x a b a b b a b b a b ⎡⎤=-++--+=+⎢⎥---⎣⎦
， 故24()()
f x a b a b +-. 又()2(a b a b b a b =+--2416()
b a b a -，22222416168()a a a b a b a a
++⨯=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .
【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，构造利用的条件，是解决问题的关键.。