2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：3-2对

第三章 3.2 3.2.3
一、选择题
1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x
的反函数为导学号 65164972( C ) A ．y ＝⎝⎛⎭⎫32x B ．y ＝log 32
x
C ．y ＝log 23
x
D ．y ＝log 13
x
[解析] 函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)与函数y ＝a x (a >0，a ≠1)互为反函数， ∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x 的反函数是y ＝log 23
x ，故选C ．
2．若f (10x )＝x ，则f (5)＝导学号 65164973( B ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105
D ．510
[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ， ∴f (5)＝lg5.
解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.
3．若函数y ＝ax 1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为导学号 65164974( B )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．任意实数
[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，a 2)与(a
2
，1)均在原函数图象上，故可得a ＝－1.
4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为导学号 65164975( C )
A ．－e
B ．－1e
C ．1e
D ．e
[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，
又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ，
∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1
e .
5．函数y ＝10x
2－1
(0<x ≤1)的反函数是导学号 65164976( D )
A ．y ＝－1＋lg x (x >1
10)
B ．y ＝1＋lg x (x >
110
) C ．y ＝－1＋lg x (1
10<x ≤1)
D ．y ＝1＋lg x (1
10<x ≤1)
[解析] 由y ＝10x 2－1
(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，
即x ＝lg y ＋1.
又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，
∴110<10x 2－
1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(1
10
<x ≤1)．
6．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －
1(x )的图象过点(1,7)，则
f (x )是导学号 65164977( A )
A ．增函数
B ．减函数
C ．奇函数
D ．偶函数
[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，
又反函数f －
1(x )的图象过点(1,7)，
∴f (x )过点(7,1)．
∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数．
7．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝__－3__，b ＝__7__.导学号 65164978
[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，
∴⎩⎨⎧
2＝a ＋b 1＝2a ＋b
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3
b ＝7.
8．已知函数f (x )的反函数g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝__2__.导学号 65164979 [解析] 令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1.
∵f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg1＝1， ∴f (1)＋g (1)＝2. 三、解答题
9．已知y ＝1
2x ＋a 与y ＝3－bx 互为反函数，求a 、b 的值.导学号 65164980
[解析] 由y ＝1
2x ＋a ，得x ＝2y －2a ，
∴y ＝2x －2a .
即函数y ＝1
2x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a ，
由已知得函数y ＝2x －2a 与函数 y ＝3－bx 为同一函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－b ＝2
－2a ＝3，∴⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝－3
2b ＝－2
.
10．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1).导学号 65164981 (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －
1(x )；
(3)判断f －
1(x )的单调性．
[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －
1(x )＝2－a x (x ∈R )．
(3)f －
1(x )在R 上是减函数．
证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， ∵f －
1(x 2)－f －
1(x 1)＝2－a x 2－2＋a x 1＝a x 1－a x 2，
∵a >1，x 1<x 2，∴a x 1<a x 2即a x 1－a x 2<0， ∴f －
1(x 2)<f －
1(x 1)，
∴y ＝f －
1(x )在R 上是减函数．。