高中数学 3.3(1+2)两条直线的交点坐标 两点间的距离课

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3（1+2）两
条直线的交点坐标 两点间的距离课时训练 新人教版必修2
一、选择题
1．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直
D ．重合
【解析】 ∵12≠－21且1
2×(－2)＝－1，
∴两直线相交且垂直． 【答案】 B
2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5
【解析】 由|AB |＝a ＋2
2
＋3＋1
2
＝5，可知(a ＋2)2
＝9.
∴a ＝1或－5. 【答案】 C
3．(2013·周口高一检测)直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)
D ．(2,1)
【解析】 直线kx －y ＋1＝3k
可变形为k (x －3)－y ＋1＝0.由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3＝0，
1－y ＝0，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝1.当k 变动时，直线恒过点(3,1)．
【答案】 C
4．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B
5．(2013·聊城高一检测)直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )
A.1
2 B ．－1
2
C ．2
D ．－2
【解析】 由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y ＋8＝0
x －y －1＝0
得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标
为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－1
2
.
【答案】 B 二、填空题
6．直线y ＝x ＋2被坐标轴截得的线段长为________． 【解析】 令x ＝0，得y ＝2；令y ＝0，得x ＝－2， ∴点(0,2)和点(－2,0)间的距离为22
＋－22
＝2 2.
【答案】 2 2
7．已知△ABC 的顶点坐标为A (7,8)，B (10,4)，C (2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为________．
【解析】 线段BC 的中点坐标为M (6,0)，又A (7,8)， ∴|AM |＝6－72
＋0－8
2
＝65.
【答案】
65
8．直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围为________．
【解析】 由⎩⎪⎨
⎪⎧
5x ＋4y ＝2a ＋1，
2x ＋3y ＝a ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2a ＋3
7，y ＝a －2
7，
交点在第四象限，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x >0，
y <0，
解得－3
2
<a <2.
【答案】 (－3
2，2)
三、解答题
9．(2013·浏阳高一检测)求过两条直线2x －y －3＝0和4x －3y －5＝0的交点，并且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．
【解】 由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，
则两直线交点为(2,1)．
直线2x ＋3y ＋5＝0的斜率为－23，则所求直线的斜率为3
2
故所求直线的方程为y －1＝3
2(x －2)，
即3x －2y －4＝0.
10．过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．
【解】 法一 过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，
则解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x －3y ＋10＝0
和⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋1，
2x ＋y －8＝0，
可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.
由题意
73k －1＋7k ＋2
＝0， ∴k ＝－1
4
.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.
法二 设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．
又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，
所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．
由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 11．(思维拓展题)在x 轴上求一点P ，使得
(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值． 【解】 如图，
(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点， 且|PB |－|PA |＝|AB |＝
0－4
2
＋4－1
2
＝5.
∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－3
4
，
∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P (16
3，0)．故距离之差最大值为
5，此时P 点的坐标为(16
3
，0)．
(2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．
又|CA ′|＝
4－3
2
＋－1－4
2
＝26，
直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－4
4－3＝－5，
则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)． 令y ＝0得x ＝195，即P (19
5
，0)．
故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为(19
5
，0).。