“明线”构建知识结构“暗线”浸润学科素养——“用坐标表示地理

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2020年2月10日
（3）因为OF 丄BC,所以OF = °雹严=« 8曲
4四条直线
圆的外切四边形两组对边的和相等.如图12,
AB,BC,CD,DA 都是OO 的切线，点E,F,G,H 是它们 的切点•所以AB +CD=AD +BC.
例10如图12,四边形ABCD 是OO 的外切四边
形，且AB = 10cm,CD = 12cm,则四边形ABCD 的周长 为______-
解析 因为四边形ABCD 是。

的外切四边形， 所以 AD+BC =AB + CD=22.
所以四边形ABCD 的周长=4D + BC +AB +CD =44.
（收稿 EJ 期：2019-10-31）
“明线”构建知识结构“暗线”浸润学科素养
—
—“用坐标表示地理位置”教学设计与赏析刘维全
（合肥一六八玫瑰园学校安徽合肥230601 ）
摘要：本文围绕优质公开课的教学主线中的“明线”和“暗线”展开讨论，以人教版初中数学教材七年级下册“用
坐标表示地理位置”的公开课教学设计为例进行赏析，总结出“明线”构建联系与结构、“暗线”指向数学素养、在“双线” 并轨中实现学科素养的自然浸润，从而使公开课课堂的教学结构更加完善.
关键词：教学主线；赏析；学科素养
近年来，名师工作室常规活动如火如荼地开展
着，笔者围绕公开课的议课、评课进行一系列的总结, 发现教学主线是优质公开课离不开的轨迹，它既是教
师布局整节课的思路，也是课堂中各个教学点连续互
动、有效交融后构建起来的教学形态，决定着课堂教 学活动的方向和有效性⑷•而这些优质课的教学主线 中始终贯穿一条指引着学生进行知识建构的“明线”，
在专家的点评里也能窥见到一条在“无形”中完善和
发展着学生的数学素养的“暗线”.那么这“一明一 暗”的结合又将擦出怎样的“火花”呢？本文将结合人
教版初中数学教材七年级下册“7.2. 1用坐标表示地 理位置”内容的教学设计进行赏析，体会“明暗结合”
的教学主线、领悟数学素养的自然浸润.1教材分析
本节内容是人教版初中数学教材七年级下册“ 7.
2坐标方法的简单应用”的第一课时，在教材中位于
平面直角坐标系内容之后和“用坐标表示平移”之前, 在课时顺序中起到了承前启后的作用.教材中首先设
置一个“思考”栏目，让学生在地图上观察某处的地理 位置该如何表示•面对复杂的地图,学生无从下手，由
此生成悬念紧接着教材呈现了一个较为简单的问 题情境——让学生根据情境中的条件画出示意图，此 时学生更容易联想到运用之前学习的建立平面直角 坐标系的方法来确定图中的具体位置,而且多数学生
很自然地选择了将学校作为原点,但如何建立适当的
坐标系依然是本节的难点，而突破它的关键点就需要 让学生从“思考”出发，自己动手建立平面直角坐标
系、描述不同的地理位置，学生在探究中遵循自己的 选择，呈现出的答案自然也是不一样的，因此在进行 比较之后，应让学生交流适当的依据，说出自己为何
基金项目：安徽省教育信息技术研究2019年度殳项课题“智慧学校环境下初中数学核心概念教学实践研究”（项目编号:
AH2019022）.
作者简介：刘维全（1980 -）,男，安徽阜阳人，本科，中学高级教师，研究方向：课标、
教材的研究以及课堂教学改革探索.
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这样建立坐标系的理由，然后师生共同归纳总结建立平面直角坐标系表示地理位置的诸多注意事项，诸如比例尺、单位长度统一等，使本节的难点在交流和碰撞中得以解决.旧版教材在此处并未介绍方位角，然而新版教材将方位角安排在此,恰恰体现出编写者站在数学学科的高度对整体知识内容进行架构,如果授课教师无法觉察到这一安排,在课堂引入时就会显得突兀和断点•此外，教材中用这样一句话——“还有其他方法吗?”来引起学生的深度思考，这句话看似对方位角的引入起到了自然过渡，但在公开课堂中却显得不顺畅，甚至有教师建议删去这块内容，以使教学过程显得自然顺畅、更能够让学生深刻感受到如何建立适当的坐标系，再给学生提供时间进行消化吸收，领悟感知后方可提升,这样的设计当然也说得过去，但改版后的教材加入方位角更能凸显知识的系统性和连贯性•不难发现，从一维空间转换到二维空间表示位置的是一条“暗线”，而以坐标的多样性表示位置的则是一条“明线”，加上极坐标雏形的渗透，教材再以问题串的形式梯度呈现,指向学科素养的自然浸润便蕴含其中.
2学情分析
平面直角坐标系的概念建立在数轴概念的基础之上，是几何知识从一维空间到二维空间的一次升华,也是接下来学生进一步学习函数及其他坐标系必备的基础知识，更是连接图形与数量之间的桥梁，实现了几何问题与代数问题的互化•通过本节内容的学习可以让学生体会到平面直角坐标系在生活中的作用、发现生活中的数学问题、培养应用数学的意识.
3教学目标
(1)理解平面直角坐标系表示地理位置的意义和用平面直角坐标系表示地理位置的方法；
(2)经历从观察到操作的过程，培养学生解决实际问题的能力；
(3)通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念；
(4)通过用坐标表示实际生活中的地理位置，培养学生的数学创造力以及认真、严谨的学习态度⑶.
4教学重难点
教学重点:用坐标表示地理位置,感受坐标表示地理位置的多样性.
教学难点:如何建立适当的坐标系，用方位角表示地理位置，运用平面直角坐标系解决实际问题.5教学过程
5.1创设情境，引入新课
提问:前面学习了在数轴上找位置需要知道那些数据(原点，正方向，单位距离)？那么在平面内如何找位置呢？如图1所示,假如有客人来到我校参观学习，应该怎样描述才能清楚地向客人介绍我校的具体位置呢？带着这些疑问，一起进入今天的新课(板书: 7.2.1用坐标表示地理位置).
探究1根据以下条件画一幅示意图，你能指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置吗？
小刚家：出校门向东走1500m,再向北走2000m.
小强家：出校门向西走2000m,再向北走3500m,最后向东走500m.
小敏家：出校门向南走1000m,再向东走3000m,最后向南走750m.
问题：(1)如何建立平面直角坐标系呢？
(2)以何参照点为原点？
(3)如何确定％轴和y轴？
(4)如图2所示,在画出的平面直角坐标系中，规定一个单位长度代表1m,点(1500,2000)就是小刚家的位置，你能找到小强家和小敏家的具体位置，并标明它们的坐标吗？
(5)选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为％轴、y轴的正方向有什么优点？
设计意图舍弃教材中提供的图片，换成自己的学校所在地的地图为情境进行引入，更易于调动学生探究的欲望、激发学生学习数学的兴趣•学生带着“如何描述自己学校所在的位置”的这个疑问，开始观察并探究问题,并初步理解用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，
这里所说的
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冬小刚家
齐(1500»2000)
t<
____seJ_r
0500x/m
图2
“适当”通常是比较有名的地点或是所要绘制的区域
内较居中的位置;二是坐标轴的方向通常是以正北为
纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位
置的方向一致;三是要注意标明比例尺和坐标轴上的
单位长度•不难发现此环节中学生在“明线”的指引下构建出知识网络，又在“暗线”的帮助下，开始由一维空间过渡到二维空间表示位置,更使学生的直观想象素养在潜移默化中得到培养.
5.2概括归纳，生成新知
通过探究1的活动，利用坐标系设计地图，展示学生设计的各种典型情况，比较后师生共同归纳总结以下结论：
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程：
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定*轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
其中建立适当的平面直角坐标系最关键,也就回答了一开始的问题:为了方便客人找到学校的位置,需要建立适当的坐标系，然后以坐标的形式清晰描述学校的位置•如图3所示，引入网格更能够精确刻画出位置、方便客人精准定位.
设计意图在导学案上设计如何准确地描述学校具体位置的这幅地图，为了方便学生对数据进行处理，教师现场发放带方格的地址图，并给予学生充足时间,期间教师巡视，利用希沃授课助手将学生不同的作品拍摄下来，时间差不多时统一展示在大屏幕上,并请这些作品的“作者”上台一一做“向导”，介绍他们自己制作的导游图，待介绍完毕后让其他学生评价哪个作品更加的合理,从你的视角来谈谈为什么这
图3
样做，并给出理由，合理即可，无所谓对错•通过这一环节的“明线”使学生理解了建立适当的坐标系的价值所在，通过在一起探究方法、一起感悟思想、一起总结收获中生成新知,让学生在“暗线”中发展了数据分析的核心素养，进而使本节课的难点得到了突破，也为下一节“用坐标表示平移”的内容进行了“无形”的渗透•
5.3明暗结合，应用新知
探究2如图4所示，一艘船在A处遇险后向相距35千米位于B处的救生船报警.
(1)如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？
(2)救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？
图4
设计意图人教版新教材中添加了老版本教材没有的方位角，意图何在？内在的逻辑关系又是什么？在平面表示地理位置还有其他方法吗？学生不预习能想到这个吗？教材这样安排有它的内在主线,就是将“明线”和“暗线”的结合来实现学科素养的浸
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润.而本节课的核心是让学生熟练掌握用坐标表示地理位置的方法，那么如何用坐标去表示地理位置，就需要选择不同的坐标原点，通过探究2使学生在“比较”中得出“适当”的位置，并进一步发现规律，这也是这节课重点，即表示同一个地理位置，坐标却可以不同.让学生在“明暗结合”中形成能够根据已知条件建立适当的坐标系,选取简便的方法解决问题的能力. 5.4跟进练习，及时反馈
(1)如图5所示，长方形零件如图(单位:mm),建立适当的坐标系，用坐标表示孔心的位置.
问：可以通过建立平面直角坐标系，用坐标表示点的位置，还有其他方法吗？
(2)如图6所示，货轮与灯塔相距40千米，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来,如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？
5.5课堂小结，完善结构
回顾本节课所学的主要内容，回答以下问题：
(1)学习了哪些表示平面内物体位置的方法？
(2)用这些方法表示平面内物体的位置时，需要注意什么？
(3)除此之外，你还有什么收获？
5.6分层作业，巩固提高(篇幅有限，不再赘述)
设计意图采集来源于生活的典型例题进行跟进练习，及时反馈学生对本节内容的掌握情况，并通过“明线”构建的知识体系使学生在课堂小结中强化如何利用建立平面直角坐标系的方法解决生活中的实际问题的能力，有助于学生积累基本的活动经验,同时在“暗线”的辅助下培养了学生的数学创造力以及归纳概括能力和语言表达能力，也实现了数学学科素养的浸润⑷.
6教学赏析
教学设计从教材和学情出发，确定四维教学目标和重难点，以现实问题为情境，问题串形式呈现预设的教学过程，下面笔者从以下三个方面作岀赏析：
6.1“明线”构建联系与结构
这节公开课的教学主线是以生活实际为背景，借助坐标系为桥梁，在“明线”中搭建起数与形的联系，使学生通过有序数对在生活中的应用理解“有序”的重要性、领会应用“数对”刻画对象的必要性•接着，有序数对在坐标系中的亮相，决定了由点到面的过渡、由静态的点到点动成线的转化、再上升到平面上的图形，体现了数学的实用价值，也激发了学生的探究欲望.从知识层面上看，这节课将点、线、图形用数进行联系;反过来看，能够用数学语言表述一个图形在坐标系中的位置，体现出数学知识结构的严谨性•而描述同一地点的位置时，选取了不同位置的坐标原点，使学生感受坐标平移规律，同时为后面学习坐标的几何变换埋下了种子，真正实现了学生思维和素养的提升⑸.
6.2“暗线”指向数学素养
前面已经学过在一维空间表示位置，即数轴上的点可以描述对应的位置，那么在数学的二维空间，该如何描述地理位置呢？学生在学习地理时就需要采用经度、纬度来描述某个国家或地区在地球上的位置，恰好为本节课奠定了理论依据•本节课的标题是用“坐标表示地理位置”，旧人教版教材中没有方位角的内容，那么教师是否该大胆沿用旧教材，舍去方位角？新人教版在这一节加入方位角有何用意？带着这个疑问，不难发现教材的编写者从更高的角度俯视教材:不管是平面坐标还是方位角坐标，从根本上说都是对有序数对的解读，对有序数对赋予意义，在平面内就像两条直线，有且只有一个交点(确定位置)•从坐标的多样性来看，这些描述位置的坐标是可以统一到有序数对上来的，比如，方位角借助三角函数或者勾股定理的知识解释都是相通的，平面内坐标、方位角、甚至今后学习的极坐标都可以相互转化，由此可见描述位置均可统一到有序数对，所以有序数对是今后学习其他坐标的根本，从这个角度来看，引入方位角，并不突兀，而是为了使内容更加系统，只不过采
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理科考试研究•数学版2020年2月10日
用不同的描述形式，是为了更易于学生理解、更加贴 近生活，成为一条“暗线”，对学生的数学素养的培养
起到促进和催化的作用.
6.3在“双线”并轨中实现学科素养的自然浸润
数学知识的抽象性、严谨性和应用的广泛性决定
了数学课堂教学具有一定的特殊性⑷•一节优秀的教
学设计不仅需要教师对所教内容知识间的联系清晰 明了，还需要教师对数学知识背后所隐藏着的编写者
的意图和数学思想方法做深刻的理解•“明线”和“暗 线”穿插于教材的众多章节和课时中，教师在授课时
需抓紧“明线”，这样课堂不会跑偏、知识呈现自然、学 习轻松有趣、知识建构完整、数学知识本质与结构间
的联系横联纵贯;而“暗线”则指向课堂活动，能够帮 助学生学会数学思考、丰富数学活动经验、提高思维 水平、感悟理性精神，两者和谐并轨、相互依存、相互 转化,在“双线”并轨中实现学生的数学学科素养的自
然浸润.
本节“用坐标表示地理位置”的公开课借助信息
技术直接、形象、便捷地呈现平面直角坐标系,将地图
的地标作为坐标中的点，引导学生规范作图，为了降 低难度而加入方格，指导学生严谨作图、在导学案上 确定“位置”，使学生在合作学习中感受“适当的”必 要性，在同伴的互助下体会图形平移、感悟图形在坐
标中的变换规律、体会研究此类问题的思想和方
法⑺•在教学中将构建知识网的“明线”和指向素养的
“暗线”相结合，由“一维空间找位置——数轴”过渡 到“二维空间找位置——平面直角坐标系找坐标、方
位角、极坐标”，再适当介绍三维空间确定位置，以此
启迪智慧、让课堂的探究更具数学味，不再为创设情 境而创设情境，而是因时因地利用身边情境、信手拈
来⑻.课堂在“明暗结合”中不知不觉中变成学堂，生
态课堂的育人和自育功能自然天成，数学素养呈现自 然浸润，使教学结构更加完善、学科教学更加系统、数
与形的无缝对接和融合更加完美、学科素养的落地更 加掷地有声.
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(收稿日期：2019-10-21)
关键词：同课异构；因式分解;提取公因式；数形结合
“同课异构”的比较、反思与改进
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—从“因式分解”两种教学设计谈起雷焰麟
(哈尔滨师范大学教师教育学院黑龙江哈尔滨150025)
摘 的异同.
要：通过对“因式分解提取公因式法”的两个不同教学设计深刻剖析，体会同课异构下的教学过程与教学效果
同课异构是针对同一教学内容，设计不同的教学 方式、方法•随着同课异构教学活动的开展，从教学设
作者简介：雷焰麟(1993 -)，女，黑龙江哈尔滨人，硕士研究生，研究方向：学科教学(数学).。