92线性系统的可控性和可观测性

由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
Q1
O QO 1 h1 h2
QOห้องสมุดไป่ตู้2 Q2
dh1 A dt QO Q1 h1 / R Q1 dh 2 A QO Q2 h 2 / R Q2 dt
其中代表平衡工作点附近的变化量。选上述方程中变 化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消 去中间变量Q1和Q2消去,则有
则称t0时刻的状态x(t0)可控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统 在t0时刻状态完全可控;简称为系统可控。
对上述状态可控性的定义有如下讨论: 1. 控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的 有限时间。 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻 t0有关。
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 1 x x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R + R R -
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传 递函数所确定。
因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。
反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号 (即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从进行反馈控制和考核系统所达到的性 能指标。 因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
9-2 线性系统的可控性和 可观测性
动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质 特征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态可控性和可观测性。 其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行 控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的 研究,有着极其重要的意义。
2. 状态可控性的定义
由状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
及状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之 后的输入,与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态可控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。 对线性连续系统,我们有如下状态可控性定义。
x2
u
C2 R
1 2 x x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压 的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由 输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不 可控的。
例 某并联双水槽系统如图2所示,其截面积均为A,它们通过
W (0, t1 ) e
0
t1
At
BB e
T
AT t
dt
（2）秩判据
线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为: 定义如下的可控性矩阵 Qc=[B AB … An-1B] 满秩, rankQc=rank[B AB … An-1B]=n
证明 在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状 态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制 输入u(t)的解。
+ x1 + C1 R + R 图1 电桥系统
x2
R -
u
C2 R
由电路理论知识可知, 若图1所示的电桥系统是平衡的, 电容C2的电压x2(t)是不能通过输 入电压u(t)改变的,即状态变量 x2(t)是不可控的,则系统是不完 全可控的。
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
由凯莱-哈密顿定理,有
e
因此代入
得： x (0) 0 令：
t1 n 1
At
k (t ) Ak
k 0
t1 0
n 1
x (0) e A Bu( )d

k 0
k
( ) A Bu( )d A B k ( )u( )d
例: 给定系统的状态空间模型为 1 2 x1 x2 u x 2 x1 2 x2 u x 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独可控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
定义1 若线性时变连续系统 x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
x(t0) x2
x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(t),
x(t0)
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2
QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独可控的,但整个系 统并不可控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态可控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断可控性是困难的。 下面将通过给出状态可控性的严格定义,来导出判定系统 可控性的充要条件。
系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确 定反映系统内部动态特性的状态的可能性。
u(t) 状 态 x(t) 能观测? y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到可控性和可观测性问题?
k k t1 k 0 0
n 1

n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
AB ... f0 f 1 An 1 B f n 1
一、 线性连续系统的可控性
本节首先从物理直观性来讨论状态可控的基本含义,然后再 引出状态可控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解可控性 严格定义的确切含义是有益的。
1. 可控性的直观讨论
状态可控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内 控制到空间原点,那么称系统是可控的,
或者更确切地说,是状态可控的。
否则,就称系统为不完全可控的。
下面通过实例来说明可控性的意义 。
例 某电桥系统的模型如图1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状 态变量的控制能力。
3. 线性定常连续系统的状态可控性判据
线性定常连续系统(A,B)
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
状态可控性判据有许多不同形式,包括
格拉姆矩阵判据
秩判据 模态判据
（1）格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为:存在 t1(t1>0),使得如下可控格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的
例: 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
1 x1 x 2 x1 2 x2 u x

1/s -1
x1

1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不可控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不可控,则整个系统是状态不完全可控的。
对于定常系统,该控制时间与t0无关。
所以,对于线性定常系统状态可控性,可不必在定义中强调 “在所有时刻状态完全可控”,而为“某一时刻状态完全 可控,则系统状态完全可控”。
2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状 态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。
0
t1
由可控性的定义有,若可控,则应存在t1(t1>0)和分段 连续的u(t),使得x(t1)=0,即
0 e x(0) e A(t1 ) Bu( )d
At1 0
t1
即
x (0) e
0
t1
A
Bu( )d
因此,线性定常系统状态可控的充要条件为: 上述方程对任意的x(0)有输入u(t)的解。 下面将利用该方程证明判别状态可控性的充要条件。
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存 在多维状态能否由少维输入控制的问题。 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有 时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量 或观测的输入输出的信息来构造系统状态的问题。
x(0) e A Bu( )d
0
t1
证明如下:
对于线性定常系统,由可控性定义可知,其状态可控性 与初始时刻无关。
因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。
根据状态方程解的表达式,有
x(t1 ) e
At1
x(0) e A(t1 ) Bu( )d
1 1 1 x1 Qo x AR A 1 1 x 2 x2 Qo AR A
1 1 x x Qo 1 1 AR A 1 1 x 2 x2 Qo AR A
解上述状态方程,可得
1 t ( t τ) / AR x1 (t ) e x1 (0) e Qo ( )d 0 A 1 t ( t τ) / AR t / AR x2 (t ) e x2 (0) e Qo ( )d 0 A