数学建模方法及其应用教学片

G e 为把 e 的长度收缩为零得到的图。
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二、树的概念和算法
1、 树的基本概念
定理 2 (树的充要条件)： （1） G 是树当且仅当 G 中任意二顶点之间有且仅有一 条轨道；
（2） G 是树当且仅当 G 中无圈，且 E(G) V (G) 1 ；
（3）G 是树当且仅当 G 为连通的， 且 E(G) V (G) 1 ；
v1
V2
v0
v3
v2
w(u, v) 。
v4
v8 v5
v7
V7
Dijkstra 算法： (1) 令 l (v0 ) 0, l (v) , v v0 ; S 0 v0 , i 0;
v6
(2) 对每个 v Si ，用 minl (v), l (vi ) w(vi , v)代替 l (v) ； 设 vi 1 是使 l (v) 取最小值的 Si 中的顶点（ Si 是 Si 的补集） ，令
若 V (G) X Y , X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对， Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
特别地，若对任意 x X ，则 x 与 Y 中每个顶点 相邻，则称图 G(V , E ) 为完全二分图，记为 K X , Y 。
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பைடு நூலகம்
G 的生成树。图 G 为连通的充要条件是 G 有生成树。 一个连通图的生成树不是唯一的， 用 (G ) 表示 G 的生成树
的个数，并有下面的（Caylay）公式：
(K n ) n n2 和 (G) (G e) (G e)
其中 K n 为 n 个顶点的完全图， G e 为从 G 中删除边 e 的图，
定理 1 G 为二分图的充要条件是 G 中无长为奇数的圈。
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一、图 的 概 念 与 算 法
2、应用实例：最短路问题 设有给定连接若干城市的公路网，寻求从指定城 市到各城市的最短路线。
问题的数学模型:
设任一城市为图的一个顶点 v ，连接任意两个城 市的公路为图的边，记为 e ， w(e) 为图的边 e 之长。 对任意的 v V (G) ，寻求轨道 P(v0 , v) ，使得
一、图 的 概 念 与 算 法
1、图的基本概念
设 v V (G) ，是边 e E(G) 的端点，则称 v 与 e 相关联， 与顶点 v 关联的边数之和称为该顶点的次数，记为 d (v) 。
可以证明:
vV ( G )
d (v) 2 E(G) ，
且由此可知：奇次顶点的总数是偶数，即所有 顶点的次数之和是边数的两倍。
一、图 的 概 念 与 算 法
1、图的基本概念
图中任二顶点分别为某条道路的起点与终点， 称此 图为连通图。
称两顶点 u , v 分别为起点与终点的最短轨道之长为顶点 u , v 的距离.
在连通二分图 K X , Y 中， X 中两顶点之间的距离为偶 数， X 中的顶点与 Y 中的顶点的距离为奇数。
W ( P(v0 , v)) min W ( P).
P
即从 v0 到 v 的所有轨道长中寻求最小的一个。 W ( P) 是轨道 P 上各边长之和。
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一、图 的 概 念 与 算 法
2、应用实例：最短路问题
注意： 若 u, v V (G) ， 当 u, v 不 相 邻 时 ， 则
次数为奇数顶点称为奇点，否则称为偶点。
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一、图 的 概 念 与 算 法
1、图的基本概念
设 W v0e1v1e2 ek vk ，其中 ei E(G),1 i k ,
v j V (G),0 j k ，e i 与 vi 1 和 v i 关联，称 W 是图 G
第十八章 图 论 方 法
图的概念与算法
树的概念与算法 遍历问题
匹配问题与求解算法
图矩阵的概念 综合应用案例分析
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一、图 的 概 念 与 算 法
1、图的基本概念
假设平面上的 n 个点，把其中的一些点对用曲线或直 线连接起来，不考虑点的位置与连线曲直长短，形成一个 关系结构称为一个图。 记 G V (G), E (G) , V V (G) 是 顶点集， E E (G) 是边集。
（ 4 ） G 是树当且仅当 G 为连通的，且对任一边 e E (G), G e 为不连通的；
的一条道路， k 为路长， v0 为起点， vk 为终点；
各边相异的道路称为行迹； 各顶点相异的道路称为轨道。
若 W 是一轨道，可记为 P(v0 , vk ) ；起点与终点重 合的道路称为回路；起点与终点重合轨道称为圈，即对 轨道 P(v0 , vk ) 当 v0 v k 时成为一圈。
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Si 1 Si vi 1 (i 0,1,2,);
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2018年10月28日
一、图 的 概 念 与 算 法
2、应用实例：最短路问题
(3) 若 i V (G) 1 ， 则停止； 若 i V (G) 1， 令 i i 1转 （2） ；
由算法知， Si 中各顶点之标志 l (v) 即为 v0 到 v 的距离， 又 V (G) ，故经有限步后 V (G ) 中每个顶点都标志了与
v0 的距离，则可找到 v0 到各顶点的最短轨道。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O( V (G ) ) 。
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二、树的概念和算法
1、 树的基本概念
无圈的连通图称为树，记为 T ；其一次顶点称为叶； 显然有边的树至少有两个叶。
若图 G 满足 V (G) V (T ), E (T ) E (G) ， 则称 T 是图
如果各条边都加上方向，则称为有向图，否则称为无向图。 如果有的边有方向，有的边无方向，则称为混合图。
如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆 不重合的图，则称为简单图。
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一、图 的 概 念 与 算 法
1、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点 都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。