四川省盐亭中学2018-2019学年度高二上期期末数学复习二

四川省盐亭中学2018-2019学年度高二上期期末
数学复习二
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1.直线MN的斜率为2，其中点，点M在直线上，则
A. B. C. D.
2.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽
取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（）
A. 40
B. 60
C. 80
D. 100
3.已知直线l1：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则k的值是
（）
A. 1或3
B. 1或5
C. 1或4
D. 1或2
4.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M的横坐标为3，且满足|MF|=2p，则抛物线
方程为（）
A. B. y2 C. D. y2
5.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有
两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组．得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.为了研究学生在考试时做解答题的情况，老师从甲、乙两
个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分
13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其
茎叶图如图所示，其中x，y∈{0，1，2，3}，已知甲组数据
的中位数比乙组数据的平均数多，则x+y的值为（）
A. 5
B. 4
C. 3
D.
1
7.已知椭圆：，若椭圆的焦距为2，则k为（）
A. 1或3
B. 1
C. 3
D. 6
8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的
问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联
K2=
A. B. C. D.
10.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是
由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角
形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形
组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则
此点取自黑色部分的概率是（）
A. B. C. D.
11.已知圆（x-1）2+（y-1）2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有2个，则
b的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12.已知双曲线＞，＞与抛物线y2=2px（p＞0）
有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双
曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是______．
14.过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=______．
15.已知点P是椭圆＞＞上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．
16.如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过焦
点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的
面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、
B（x2，y2），则|y1-y2|值为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分）
17.
（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？
参考公式：=，=-，=x+．
18.某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整
理后画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求100名使用者中各年龄
组的人数，并利用所给的频率分
布直方图估计所有使用者的平
均年龄；
（2）若已从年龄在[35，45），
[45，55]的使用者中利用分层抽
样选取了6人，再从这6人中选
出2人，求这2人在不同的年龄
组的概率．
19.已知圆C：x2+y2+8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2时，求直线l的方程．
20.如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点
分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求△OMN的面积S的最大值．
四川省盐亭中学2018-2019学年度高二上期期末
数学复习二参答
1.【答案】B
【解析】
【分析】
设M的坐标为（a，b），根据题意可得b=a+1①，=2②，联立①②解可得a=4，b=5，即可得答案．本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．
【解答】
解：根据题意，设M的坐标为（a，b），
若点M在直线y=x+1上，则有b=a+1，①
若直线MN的斜率为2，则有=2，②
联立①②解可得a=4，b=5，
即M的坐标为（4，5）；
故选B．
2.【答案】D
【解析】
解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，
∴若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为
==100，
故选：D
根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】C
【解析】
解：由题意得2（k-3）2-2（5-k）=0，
整理得k2-5k+4=0，
解得k=1或k=4．
故选C．
由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可．
本题考查两直线垂直的条件．
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的性质可得2p=3+，解出p即可得出抛物线方程．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
【解答】解：抛物线的准线方程为x=-，∴|MF|=3+=2p，
解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】
解：投一次骰子，出现点数共有6种情况，
∴每天下雨的概率为=．
在产生的10组随机数中，含有1或2的个数恰有2个的随机数共有2个，即114，251，∴三天中有两天下雨的概率为=．
故选：C．
根据古典概型概率公式计算每天下雨的概率，根据10组模拟数中恰含有2个1或2的
个数得出三天中有两天下雨的概率．
本题考查了古典概型的概率计算，模拟法计算概率，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
求出乙组数据的平均数，得到∴+=10+x，分别令x=0，1，2，3，求出y的值，取舍即可．本题考查了茎叶图的应用，考查平均数和中位数的定义，是一道基础题．【解答】
乙组数据的平均数是：，
∴+=10+x，
x=0时，y=-8，不合题意，
x=1时，y=-3，不合题意，
x=2时，y=2，符合题意，
∴x+y=4，
故选：B．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的简单性质直接求解．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．
【解答】
①若焦点在y轴上，椭圆中，a2=2，b2=k，
则，
∴，
解得k=1．
②若焦点在x轴上，椭圆中，a2=k，b2=2，
则，
∴，
解得k=3．
综上所述，k的值是1或3．
故选A．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的
方法解答．
【解答】
解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
9.【答案】A
【解析】
解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k2=≈3.030．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
故选：A．
通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论．
本题是一个独立性检验，利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
10.【答案】A
【解析】
解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，
∴S△BCI=××=，
=2S△BCI=2×=，
S
平行四边形EFGH
∴所求的概率为
P===．
故选：A．
设边长AB=2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
11.【答案】C
【解析】
解：由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离∈（1，3）时，
满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1，
根据点到直线的距离公式可得，
解得：或，
因此，b的取值范围为．
故选：C．
由题意可知，圆心到直线的距离∈（1，3），由点到直线的距离公式列式求得b的范围．本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离等相关知识，是中档题．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．综合性较强，考查学生的计算能力.
根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率.
【解答】
解：∵抛物线和双曲线有共同的焦点，
∴，
∵直线AB过两曲线的公共焦点F，
∴，即为双曲线上的一个点，
∴，
∴（c2-a2）c2-4a2c2=a2（c2-a2），
∴e4-6e2+1=0，
∴e2=3±2.
∵e＞1，
∴e=1+，
故选B．
13.【答案】2
【解析】
解：根据条件语句可知是计算y=，
当x＜0时，若输出的结果是4，可得x=4，矛盾；
当x≥0时，若输出的结果是4，x2=4，解得：x=2．
故答案为：2．
本题考查条件语句，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x的正负，根据函数值求出自变量即可．
本题主要考查了分段函数，以及条件语句，算法语句是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．
根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求
．
【解答】
解：连接OA，OB，PO
则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，
Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=
∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°
∴===
故答案为：
15.【答案】
【解析】
解：点P是椭圆
上的一点，F1，
F2分别为椭圆的左、右焦点，已知
∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，如
图：
设|PF2|=m，则|PF1|=3m，
则：，
可得4c2=13×，
解得e==．
故答案为：．
画出图形，利用椭圆的定义，以及余弦定理求出a，c关系，然后求解椭圆的离心率即
可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式,根据椭圆方程求得a、c的值，从而得到椭圆的焦点坐标．利用椭圆的定义算出△ABF2的周长为16，由圆面
积公式求得△ABF2的内切圆半径r=1，从而算出△ABF2的面积为8．最后根据△ABF2
的形状，算出其面积S=+=|y2-y1|，由此建立关系式并解之，即可得出|y2-y1|的值．
【解答】
解: ∵椭圆中，a2=16且b2=4，
∴a=4，c==，可得椭圆的焦点分别为F
1（，0）、F2（，0），
设△ABF2的内切圆半径为r，
∵△ABF2的内切圆面积为S=πr2=π，∴r=1，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=16．
∴△ABF2的面积S=（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r==8
又∵△ABF2的面积S=+=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|
=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=2|y2-y1|（A、B在x轴的两侧）
∴|y 2-y1|=8，解之得|y2-y1|=．
故答案为.
17.【答案】解：（1）求回归直线方程==5==50
b==6.5
a=50-6.5×5=17.5
∴因此回归直线方程为y=6.5x+17.5；
（2）当x=12时，预报y的值为y=12×6.5+17.5=95.5万元．
即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．
【解析】
（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程．
（2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一个预报值．
本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是求出线性回归方程的系数，这是后面解题的先决条件．
18.【答案】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．
估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁）
（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d；
年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n．
从这6人中选取2人，结果共有15种：
（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），
（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），
（dm），（dn），（mn）．
设“这2人在不同年龄组“为事件A．
则事件A所包含的基本事件有8种，故，
所以这2人在不同年龄组的概率为．
【解析】
（1）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；
（2）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．
本题考查列举法计算基本事件数，涉及概率公式和直方图，列举是解决问题的关键，属中档题．
19.【答案】解：将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+（y+4）2=4，则此圆的圆心为（0，-4），半径为2．
（1）若直线l与圆C相切，
则有=2，∴a=；（6分）
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
|CD|==，∴a=1或7．
故所求直线方程为7x+y+14=0或x+y+2=0．（12分）
【解析】
（1）若直线l与圆C相切，则有=2，即可求出a；
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，|CD|==，即可求直线l 的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵离心率为，|F1F2|=2，∴ ，∴a=2，c=，则b=1
∴椭圆C的方程的方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1（-2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA1的方程分别为：y=，y=
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2-36=0
∴-2+x M=，可得.，=
由，可得（1+m2）x2-4mx+4m2-4=0
∴2+x N=，可得x N=，=
，
直线MN的方程为：，
y===
可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x=ty+1
由得（t2+4）y2+2ty-3=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
|y1-y2|==
∴△OMN的面积S=（y1-y2）=2
令，，则s=
∵，且函数f（d）=d+在[，+∞）递增，
∴当d=，s取得最小值
【解析】
（Ⅰ）由离心率为，|F1F2|=2，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程的方程
（Ⅱ）直线PA1，PA1的方程分别为：y=，y=，由得（9+m2）
x2+4m2x+4m2-36=0，可得，=，同理可得x N=，
=，直线MN的方程为：，y=
==，可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x=ty+1，
由得（t2+4）y2+2ty-3=0，|y1-y2|==，即△OMN的面
积S=（y1-y2）=2利用函数单调性即可求出面积最大值．
本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题。