2012高考一轮复习数学文科新人教B版课件第6单元第2节等差数列及其前n项和

分析:由已知条件联想an=Sn-Sn-1(n≥2)，然后再利用等
差数列的定义证明
1 Sn
1
S为n1 常数.
证明：∵an=Sn-Sn-1(n≥2),∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,
∴
1 Sn
=S1n21 (n≥2).
由等差数列的定义知, 公差的等差数列.
是1 以 =1 =21为首项，以2为
,S偶
S奇
_a_n___ n1
若{an}共有2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an,S偶-S奇=-an,=.
S偶 S奇
__n___
其中S偶，S奇分别为数列的所有偶数项的和，所有奇数项
的和.
基础达标
1. (教材改编题)已知等差数列{an}中，首项a1=1,公差d=3， 若an=2011，则序号n等于( ) A. 668 B. 670 C. 669 D. 671
如公果式等是差数an列=a{a1n+,}或的(na-首n1=)项da为m+a1,公(差m为,(nnd∈-,m那N)么*d).它等的差通数项列
的通项公式是关于n的
. 一次函数
3. 等差中项
如果三个数a,A,b组成的数列，是那等么差A叫数做列a与b的等差
中项,记作 .
a+b 2
4. 等差数列的常用性质
故(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8,故d的取值范围
为(-∞,-2 2]∪[2 ,2+∞).
Sn
S1
a1
变式2-1
(2011·湖南雅礼中学月考)已知数列{an} 的前n项和 Sn满足Sn-Sn-1= Sn S(nn1≥2),a1=1. 证明：数列{ S}n是等差数列，并求数列{an}的通项公 式.
证明：∵Sn-Sn-1=( Sn )S·(n1
S)n= Sn1 (n≥S2n), Sn1
∵a2+a5+a8=15,∴a5=5.∵2a5=a1+a9=10,∴S9=9a5=45.
选C.
1
10
5. (教材改编题)设数列
n(n的 1前) n项和为Sn,若Sn=
，则11n=(
)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析:∵an=
1 1 1 , n(n 1) n n 1
∴
Sn
(1 1
1) 2
(
1 2
1) 3
∵
n
n
1
,∴11n01 =10.
(1 1 )1 1 n .
n n1
n1 n1
题型一 等差数列的基本运算
【例1】(2011·杭州一中模拟)已知{an}是等差数列， 且a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是( ) A. 4 B. 1 C. -4 D. -14
4
分析:把数列公差d设出，依条件可得出关于a1 与d的方程组，可求出d.
n(n 1)
解得d=2,所以Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36,所以
当n=6时，Sn取最小值. 2. (2010·浙江)设a1,d为实数，首项为a1,公差为d的等差数 列{an}的前n项和为Sn,且满足S5S6+15=0. （1）若S5=5,求S6及a1; (2)求d的取值范围.
∴Sn=
n(a1 2
an )
,n(2
2
2n)
Hale Waihona Puke n2n,又∵Sk=2550,∴k2+k=2550, 得k2+k-2550=0， 解得k=50(k=-51舍去)， ∴an=2n,k=50.
【题例型2二】已知等数差列数{列an的}的判前定n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn1=0
1
1
（n≥2),a1= 2.求证: 是 S等n 差数列.
(2)(2010·全国)如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 (3)等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和,已知S6=2,S9=5，则 S15=( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
设Sn是等差数列{an}的前n项和，则 （1）Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是 等差数列;
（2）
Sn n
也 是一个等差数列;
（3）Sn=n(a1
2
an )
n(a2
2
an1 )
=n…(a3; an2 )
2
（4）Sn=na1
n(n 2
1)
d
nan
;
n(n 2
1)
d
an1
（5）若{an}共有2n项，则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇n=d
分析：(1)等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则
am+an=ap+aq. (2)由a3+a4+a5=12可求出a4,由2a4=a1+a7可求出S7. (3)由等差数列{an}的前n项和Sn的性质：Sm,S2m-Sm,S3mS2m,…也成等差数列，可求出S15.
解：(1)∵f(x)=(x-1)2-1,顶点为(1,-1),∴b+c=a+d=1+(-1)=0,故
知识准备：1. 会用求和公式;2. 会将等式变形、化简.
解：（1）由题意知S6
1=5 -3,
S5
a6=S6-S5=-8,所以5aa1151d0d
5, 8,
解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.
(2)因为S5S6+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a21+9da1+10d2+1=0,
213，4n=37,Sn=629,则an等于（
）
解析：将d=1
3
,n=37,Sn=629分别代入an=a1+(n-1)d,
Sn=n(a1
2
a得n )
an a1 12,
37(a1 解an得) a6n2=9,23.选C.
2
4. (2011·济南一中模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a2+a8=15-a5,则S9等于（） 解A.析1：8 B. 36 C. 45 D. 60
易知 S＞n 0,∴ Sn = 1S,n1
又 S1 =a11 ,所以数列{ }是一Sn个首项为1公差为1的等差数
列. =1+(Snn-1)×1=n,Sn=n2.
当n≥2,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
a1=1适合上式，∴an=2n-1(n∈N*).
题型三 等差数列的性质
【例3】(1)(2011·泉州一中模拟)若a、b、c、d成等差数 列，且(a,d)是f(x)=x2-2x的顶点,则b+c=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
由 aann1得00,,
≤n≤
11 2
,∴S61最3 大，即S6=6a1+
2
=36
6 5d 2
易错警示
【例】等差数列{an}中，a1=-5,从第10项开始为正 数，则公差d的取值范围为 .
错解 由a10=-5+9d＞0,得d＞59 . 错解分析 此解法忽略了条件a9≤0.学生由于未 能理解“从第10项开始为正数”的含义，主观认 为a10＞0,导致答案不够完整，因此学生在审题过 程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义，避免 出现类似的错误.
则
a6 b6
=(
)
Sn 3n 3 , Tn 2n 3
解A析. ：32利B.用1等差C数. 列的D性. 质65 ，若m+n2273=p+q,则 am+an=ap+aq.
所以 a6 11a6 S11 6 ,
b6 11b6 T11 5
题型四 等差数列中的最值问题
【例4】在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为 Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并 求出它的最大值.
5. 等差数列的前n项和公式
n(a1 an )
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn= 2
或Sn=na1
n(n
.2
1)
d
6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=d2
n2
(a1
.
d 2
)n
7. 在等差数列{an}中，a1＞0,d＜0，则Sn存在最 大值; 若 a1＜0,d＞0，则Sn存在最 小值. 8. 等差数列前n项和的性质
选A.
(2)∵a3+a4+a5=12,∴a4=4,∴a1+a2+a3+…+a77(=a1 故选C.
2
a7
)
=7a4=28,
(3)∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,∴a8=1,根据等差数列性质，知 S15=15a8=15,故选A.
变式3-1
等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且
解析:由2011=1+(n-1)×3=3n-2，解得n=671. 选D . 2. (2010·重庆)在等差数列{an}中，a1+a9=10,则a5的值 为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
解析：由等差数列性质得a1+a9=2a5,所以a5=5.选A .
3. A.
在等差数列{an}中，d= 21 B. 22 C. 23 D.
解：∵a1=20,S10=S15,∴公差d＜0,根据Sn图象知
S12=S13最大，a13=0,S12=S1133=(a12 a13 ) =130. 变式4-1
(2010·青岛二中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S5=35,点A(3,a3)与B(5,a5)都在斜率为-2的直线l 上，则Sn的最大值为( ) A. 16 B. 35 C. 36 D. 32 解∵a析n=:∵a1+a(55n-a313 )dS=52=131d5,-2,∴(n5a-11+)=-2n+=1533,542,解(2得) a1=11.
解：设{an}的公差为d,则
a1
2d
a1 a1
8d d
4(a1 8,
4d
),
即
a1 a1
3d 0,
d 解8得,
故a1d选A41,2.,
变式1-1
已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a,前k项的和 Sk=2550.求{an}的通项公式及实数k的值.
解：方法一：由题意知，a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550. ∴a+3a=2×4,∴a1=a=2,公差d=a2-a1=2, ∴又整a∵理n=S得k2=+kk22a+(1nk+-k-2(1k52)=51·)02d=n，.0即,解k得·2k+1k=(k520·1,2)k=2=2-55510(,舍去), ∴an=2n,k=50. 方法二：同方法一得a1=a=2,d=2, ∴an=2+2(n-1)=2n,
正解：由题意知a10=-5+9d＞0且a9=-5+8d≤0,
∴
＜5 d≤
9
.
5 8
链接高考
1. (2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时，n等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
知识准备：1. 会用等差数列通项公式和前n项和公式； 2. 会用配方法求最值. 解析：设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(11)+8d=-6,
第二节 等差数列及其前n项和
基础梳理
1. 等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都
等于同一个，常那数么这个数列就叫做等差数列，这个
叫做等常差数数列的 ，通常用公字差母 表示.当d>0d时，
此数列为
;当d<0时递，增此数数列列为
;当d=0
时，此数递列减为数列 .
常数列
2. 等差数列的通项公式
(则1)若ak+{aanl}=是.a等m+差a数n 列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),
(2)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数 列，公差为 .2d (3)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是 等差数列. (4)若{an}是等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 组成公差为 m的d 等差数列.