编号28试题

数学建模校级选修课
Mathematic Modeling
Report Of course experiment 《数学建模》课程
论文
试题编号28
班级电气124班
姓名常亚飞
学号 **********
教师胡钢
总成绩
西安理工大学理学院应用数学系
二0一四年春季学期
作业1题目（本题共30分） 1.1 用两种方法求⎰
--=2
35
21
dx x x I 。

1.2绘制连续调制波形y =sin(t )sin(9t ), 02t π≤≤。

1.3解常微分方程组。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======.1)0(,,0)0(,,0)0(,w u dt
dw v w dt
dv
u v dt du
1.4 用控制语句编写一个M 文件，实现某种运算，例如计算有限项级数的和等。

说明：每一道题需将相关程序与结果（图或计算结果）附在每个题目后，且有M 文件的需要将M 文件存入上交的作业文件夹中。

作业1答题正文
试题1.1用两种方法求⎰
--=2
035
21
dx x x I
解： 方法一：用int 命令进行符号积分。

编写代码如下：
数学建模作业1：MATLAB
作业
1
clear;
syms x;
I=int(1./(x.^3-2*x-5),x,0,2);
运行结果为：
I =
log(12/(643*(717788808900^(1/2)/1063390828 - 1/1286)^(1/3)) - 69*(2/(643*(717788808900^(1/2)/1063390828 - 1/1286)^(1/3)) - …由于得出的是符号结果，故还需要在代码后加入一行double(I),将符号结果转化为数值结果，最终结果为
ans =
-0.4605
方法二：以定积分的梯形积分法为原理，利用trapz(x,I)求数值解，代码如下：clear;
x=0:0.1:2;
I=1./(x.^3-2*x-5);
trapz(x,I)
运行结果为：
ans =
-0.4682
如果将步长改为0.01，则结果更为准确，I=-0.4606
方法三：利用quadl(‘fun’,a,b)求出高精度的自适应递推数值积分，先编写M文件%M 函数 fun1.m
function f=fun1(x)
f=1./(x.^3-2*x-5);
MATLAB代码为：
clear;
quad('fun1',0,2)
vpa(quad('fun1',0,2),10) %以十位有效数字显示
最后得到结果为：
ans =
-0.4605017397
比较三种方法，如果要求结果精度不高的话，选择第一种方法结果更为简单准确，第二种方法结果的准确程度取决于所取步长，而第三种方法需要编写M文件及调用，较繁琐。

试题1.2绘制连续调制波形y=sin(t)sin(9t), 02
≤≤。

tπ
解：依题意编写代码如下：
t=(0:pi/100:pi)';%产生一组步长为pi/100的列向量
y1=sin(t)*[1,-1];%生成一组对称的正弦函数构成最终图像的包络
y2=sin(t).*sin(9*t);
t3=pi*(0:9)/9;%生成一个序列 y3=sin(t3).*sin(9*t3);
plot(t,y1,'r:',t,y2,'b',t3,y3,'bo') %同一个平面上画出三个函数的图像 xlabel('X');ylabel('Y');
legend('包络','包络','正弦函数','零点'); axis([0,pi,-1,1])%设定横坐标，纵坐标的范围 运行得到图形：
0.5
1
1.52
2.5
3
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81X
Y
包络包络
正弦函数零点
试题1.3解常微分方程组。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======.1)0(,,0)0(,,0)0(,w u dt
dw v w dt
dv
u v dt du
解：用dsolve 法求解析解代码如下：
clear;
s=dsolve('Du=v','Dv=w','Dw=u','u(0)=0','v(0)=0','w(0)=1');
u=simplify(s.u)
v=simplify(s.u)
w=simplify(s.u)
求得结果为：u =
exp(t)/3-cos((3^(1/2)*t)/2)/(3*exp(t)^(1/2)) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/(3*exp(t)^(1/2))
v=exp(t)/3-cos((3^(1/2)*t)/2)/(3*exp(t)^(1/2)) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/(3*exp(t)^(1/2))
w=exp(t)/3-cos((3^(1/2)*t)/2)/(3*exp(t)^(1/2)) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/(3*exp(t)^(1/2))
试题1.4用控制语句编写一个M文件，实现某种运算，例如计算有限项级数的和等。

解：求调和级数前100项的和并画图观察它部分和的变化趋势。

以下是matlab代码：
clear;
s(1)=1;N=100;
for i=2:N
s(i)=s(i-1)+1/i;
end
s(N)
plot(1:100,s,'*')
运行结果为：ans =5.1874
010203040
5060708090100
1
1.52
2.53
3.54
4.55
5.5
由图像可知：其部分和序列是单调递增形式趋于无穷大。

作业1教师评分
作业2题目（本题共40分）
2.1 回答以下问题： (1) 什么是数学模型？ (2) 数学模型是如何分类的？
(3) 建立数学模型一般应遵循什么原则？ (4) 建立数学模型一般都有什么方法？ (5) 建立数学模型的一般步骤是什么？
2.2 多项式插值: 由函数y =sin x 在三点0，π/4，π/2处的函数值，构造二次插值多项式P 2(x )，计算sin(π/8)的近似值，并估计截断误差。

2.3 数值积分: 轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积，首先测得横向最大相间8.534米，然后等距离的测得纵向高度，自左向右分别为
0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073(单位: 米) 计算甲板的面积。

2.4 多项式拟合: 对于以下实验数据
x = (1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 8 9 10 11)
y =（4 4.6 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.30 10.24 10.18 10.00 9.40） 给出拟合多项式，计算x=6.5, 12处的值，并绘制相应曲线图。

2.5 常微分方程数值解: 用预估校正Euler 法，求解定解问题
2
2,[0,10](0)1,x y y x y y ⎧'=-∈⎪
⎨
⎪=⎩
求出步长为1的所有点的值，并绘制图形。

说明：2.2~2.4小题需要有基本的解题步骤，并将其相关程序与结果（图或计算结果）附在每个题目后，且有M 文件的需要将M 文件存入上交的作业文件夹中。

数学建模作业2：建模知识与算法
作业
2
作业2答题正文
试题2.1回答以下问题（题目略）。

【答】：(1) 数学模型是指对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的；根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

特定的对象是指我们所要解决的某个具体问题；特定目的如分析、预测、控制、决策等；数学工具是指数学各分支的理论和方法及数学的某些软件系统；数学结构包括各种数学方程、表格、图形等等。

(2) 按建模所用的数学方法不同可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。

按照数学模型应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城市规划模型等等。

按照人们对建模机理的了解程度的不同可分为：白箱模型（指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题）、灰箱模型（主要指生态、经济等领域中遇到的模型）、黑箱模型（主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型，人们对其机理知之甚少）等等。

(3) 建立数学模型一般要遵照以下四点原则：一、要有足够的精度。

就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的本质的真实程度。

二、模型既要精确，又要尽可能的简单。

因为太复杂的模型难以求解，而且如果一个简单的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那我们就没必要再建立一个复杂的模型。

因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价。

三、要尽量借鉴已有的标准形式的模型。

四、构造模型的依据要充分。

就是说要依据科学规律、经济规律来建立有关的公式和图表，并要注意使用这些规律的条件。

(4) 大体上可分为三类：一、机理分析法，即根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等分析研究对象中各变量（因素）之间的因果关系，找出其内部机理的规律的一类方法。

使用这种方法的前提是对研究对象有一定的了解。

二、测试分析法：当我们对研究对象的机理不清楚的时候，还可以把研究对象视为一个“黑箱”系统，对系统的输入输出进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型。

三、综合分析法：对于某些实际问题，人们常将上述两种方法结合起来使用即综合分析。

(5) 数学建模一般有六个步骤。

一、建模准备：开始阶段我们对问题的理解往往不是很
清楚，所以需要深入实际进行调查研究等做好建模前的准备工作，明确所要研究的问
题和建模要达到的主要目的。

二、分析与简化：对实际问题做一些必要的简化，用精确的语言作出必要的简化假设。

三、建立模型：在前述工作的基础上，根据所做的假设，分析研究对象的因果关系，用数学语言加以刻画，就可以得到所研究问题的数学描述即构成数学模型。

一般还要进行必要的分析和化简，使它达到便于求解的形式，并根据研究的目的，对它进行检查看他能否代表研究的实际问题。

四、模型求解：当现有的方法不能很好地解决所归结的数学问题时，需要针对模型特点对现有方法进行改进或提出新的方法以适应需要。

五、模型的评价与改进：一个重要标准是模型及其解能否反映现实问题、满足解决实际问题的需要。

六、模型应用：看能否达到预期的
目的，若不够满意则需继续努力！
试题2.2 多项式插值（题目略）。

【解】：设x0=0,x1=π/4,x2=π/2;y0=0,y1=0.7071,y3=1
取x0、x1、、x2做二次插值
①方法一：编写代码如下：
子程序
%lagrange211.m
function y=lagrange211(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
z=x(k);
s=0.0;
for j=1:n
p=1.0;
for i=1:n
if i~=j
p=p*(z-x0(i))/(x0(j)-x0(i));
end
end
s=p*y0(j)+s;
end
y(k)=s;
end
主程序：
x0=[0 pi/4 pi/2];
y0=[0 0.7071 1];
x=[0 pi/4 pi/2];
y=lagrange211(x0,y0,x); x1=pi/8;
y1=lagrange211(x0,y0,x1)
plot(x0,y0,'.k','markersize',20) hold on
plot(x,y,'-r','markersize',30) hold on
plot(x1,y1,'*b','markersize',8)
legend('Ô-ÊýÖµµã','LagrangeÇúÏß',2)
得结果为：y1 =0.4053
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
原数值点Lagrange 曲线
②方法二：
clear;
x=[0 pi/4 pi/2]; y=sin(x);
p=polyfit(x,y,2);%构造二次插值多项式 f=inline('sinx');
f=poly2str(p,'x')%将拟合后的系数转换为字符型 poly2sym(p);
m=polyval(p,pi/8)%计算pi/8的拟合值 n=sin(pi/8)%pi/8的真实值 R=abs(n-m)%截断误差
得结果为：f = -0.33575 x^2 + 1.164 x + 2.4898e-16
m = 0.4053 n =0.3827 R =0.0226
③由于本题只给出三个点，所以可以直接用公式计算 L 2=
)
4/()2/()
4/(7071.0)4/()2/(2πππππ⨯-⨯+⨯--⨯x x x x ，将x=π/8带入得：L=0.4053
误差由R 2(x)=
))()((!
3)
(f 210x x x x x x m ---ζ 计算得出|R 2|= )2
8()48()08(6cos -π
ππππζ-⨯-⨯-⨯）（cos(π/8)=0.0226 试题2.3 数值积分（题目略）。

【解】：①方法一：梯形积分
x=linspace(0,8.534,13);
y=[0 0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073 0];
x0=0:0.001:8.534; y1=interp1(x,y,x0);
x=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];
y=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])]; figure,plot(x,y) title('梯形积分结果图') xlabel('x'); ylabel('y');
S=trapz(y1)*0.001
结果为：S =54.6894
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5-4-3-2-1012345梯形积分结果图
x
y
②方法二：辛普森公式积分法
clear;
y=[0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073];
n=length(y);
x=linspace(0,8.534,n); pp=spline(x,y);
S2=quadl(@ppval,0,8.534,[],[],pp) x2=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];
y2=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])]; plot(x2,y2)
title('辛普森积分结果'); xlabel('x'); ylabel('y');
结果为： S2 =65.2824
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5-4-3-2-101234
5辛普森积分结果
x
y
显然，辛普森法结果更好一点。

试题2.4 多项式拟合（题目略）。

【解】：思路：只进行某一次多项式拟合可能结果并不准确，多拟合几次比较最后结果更好一些 代码如下：
x0=[1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 8 9 10 11];
y0=[4 4.6 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.30 10.24 10.18
10.00 9.40];
plot(x0,y0,'*b') %画出离散点 n=5;
a=polyfit(x0,y0,n); %拟合多项式 f=poly2str(a,'x')
poly2sym(a); %求出多项式的表达式 xi=1:0.01:11; yi=polyval(a,xi); hold on
plot(xi,yi,'-r','MarkerSize',20) %绘制拟合曲线 legend('离散点','拟合曲线'); x=[6.5 12];
m=polyval(a,6.5); n=polyval(a,12); y=[m,n]
求得五次拟合结果为
f =0.00038416 x^5 - 0.01707 x^4 + 0.28271 x^3 - 2.2403 x^2 + 8.6685 x- 3.1048
x=6.5 12处的值： y = 10.2120 8.4585
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
34567891011
离散点拟合曲线
改变n 的值分别可得2次拟合，4次拟合，8次拟合，12次拟合的结果如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
34567891011
离散点2次拟合曲线离散点4次拟合曲线离散点8次拟合曲线
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-20-15
-10
-5
5
10
15
离散点
12次拟合曲线
由上面的图可知，次数越高对数据的拟合效果越好，但却会出现震荡现象，影响精度，如8次、12次拟合，所以不一定拟合次数越高测试数据的结果会越好。

故我采用5次拟合来计算x 为6.5 、12的值。

试题2.5 常微分方程数值解（题目略）。

【解】：用预估矫正Euler法编写代码如下：clear;
f=inline('y^2-2*x/y');
x0=0:1:10;
x=x0;
x(1)=0;
y(1)=1;
h=1;
n=10;
for i=1:1:n+1
x(i+1)=x(i)+1;
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));
x0=x(i)
y0=y(i)
end;
m=y(n)
plot(x,y,'-b*')
title('Ô¤¹À½ÏÕýEuler·¨');
xlabel('x');
ylabel('y');
结果得：每个节点的值是
x0 = 0——y0 =1
x0 =1——y0 =2
x0 =2——y0 =5
x0 =3——y0 =29.2000
x0 =4——y0 =881.6345
x0 =5——y0 =7.7816e+05
x0 =6——y0 =6.0554e+11
x0 =7——y0 =3.6667e+23
x0 =8——y0 =1.3445e+47
x0 =9——y0 =1.8077e+94
x0 =10——y0 =3.2676e+188
最后结果为：m =1.8077e+94
24
6810
12
00.511.52
2.5
3
3.5
x 10
188
预估较正Euler 法
x
y
作业2教师评分
作业3题目（本题共30分）
3.1 A 题 人口增长模型：下表列出了中国1982~1998年的人口统计数据，取1982年为起始年(t =0)，1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。

时间(年) 1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口(万人) 101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间(年) 1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口(万人) 111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间(年) 1994 1995 1996 1997 1998 人口(万人)
119850
121121
122389
123626
124810
3.2 B 题 长途列车食品的价格方案：长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。

提供一天三餐是主要的服务。

由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。

以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。

由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。

列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。

如一般售价3元的方便面卖5元。

当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。

但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。

假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。

请你根据实际情况设计一个价格方案， 使列车在用餐销售上效益最大。

3.3 C 题 动物繁殖预测：某动物最高年龄29岁，按间隔10岁将此动物种群划分为三组，现设初始时刻在0~9，10~19，20~29三个年龄组的动物数量均是1000头，相应的莱斯利矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=02/10006/1030
L
数学建模作业3：综合建模题
作业
3
根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：(1)试求10年、20年、30年后各年龄组的动物数量; (2)求这一动物种群的自然增长率 及相应的稳定年龄分布; (3)指出该动物种群的发展趋势。

3.4 D 题 细菌繁殖问题：下表是一组培养物中酵母菌的观察数据
时间t (小时) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数量N(t ) 9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 时间t (小时) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数量N(t )
513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 659.9 659.6 661.8
现在要根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。

(1) 建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数。

(2) 利用(1)中的模型，预测20小时时的酵母菌的数量。

(3) 若二次多项式2012()N t k k t k t =++作为新模型，试从误差的角度说明新模型与(1)中的模型哪个具有更好的的预测能力，并画出对比曲线。

3.5 E 题 课后自选题：可从第3章课后练习题(注：14版新教材103-108页)3-15、3-18、3-19、3-20、3-23、3-24、3-25、3-26、3-27中任选一道题做。

说明：只需在3.1~3.5题中任选一道题做即可。

这道题的解答过程需包含建模的一般基本步骤，其相关程序与结果（图或计算结果）也应附在文中，且有M 文件的需要将M 文件存入上交的作业文件夹中。

作业3答题正文
一、 问题的重述
下表列出了中国1982~1998年的人口统计数据，取1982年为起始年(t =0)，1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。

时间(年) 1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口(万人) 101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间(年) 1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口(万人) 111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间(年) 1994 1995 1996 1997 1998 人口(万人)
119850
121121
122389
123626
124810
二、问题的分析
关于人口的预测分为短期、中期、长期三种。

由题目要求可知，应该先对中国人口增长做一个短期的预测，而人口的变化受到众多方面的影响，对未来若干年的人口最重要的影响因素是今年的人口和今年后这些年的增长率（增长率等于人口出生率-人口死亡率）。

经过查资料，指数增长模型和Logistic模型对人口的预测比较常用，分别用那俩种模型来预测未来的人口数，并与1982年到1998年实际值比较。

三、问题的假设
1、假设⑴人口增长率是一个常数，不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响不考虑国际间的大面积迁入迁出；城乡之间的转移对总人口数造成的影响可以忽略不计；市、镇、乡的各个人口数据比例能够代表全国总人口市镇乡的人口比率假设⑵人口增长率是一次线性函数。

3、在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。

在本世纪中叶前，我国计划生育政策相对稳定。

4、题目所给的数据真实的反映了整体实际情况。

四、符号的说明
t 时间
x(t) t时刻人口数量
c 净增长率
c(x(t)) 关于人口的线性函数
五、模型的建立
1、指数增长模型
令每年对应的t时刻人口数量为x(t),单位时间内人口的增长量与当时人口成正比，r是一个常数，x（t）可看做近似可微。

则t到t+⊿t时间内人口的增量为：x(t+⊿t)-x(t)=rx(t)⊿t
于是x(t)满足如下的微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0
)0(x x rx
dt
dx
求解微分方程，得到指数人口增长模型：x(t)=x 0e rt
由题目中给的数据利用Matlab 软件作出人口数量与时间t 的散点图（相
关程序见附录）：
图1
0246810121416
10
10.5
11
11.5
12
12.5
2、Logistic 增长模型
1中的模型中假设是单位时间内人口的增长量与当时人口成正比，随着人口的增长，由于环境、疾病等因素，出生率会降低，死亡率提高，人口增长率变小。

假设净增长率c 看做关于人口的线性函数，记为c(x(t))。

1
中方程可改为()())(t x t x c dt
dx
⎩⎨
⎧=设c(x(t))=a+dx(t),(d 为常数)由前面分析设c(x(0))=c,c(c m )=0,可得到Logistic 增长模型为：t
m m
e
x x x t c 0
)1(1)(x ---=
六、模型的求解
对人口指数增长模型，根据图1做指数增长模型的拟合（相关程序见附录）:
图2
0246810121416
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
得到：beta =10.2247 即：⎩
⎨⎧==0130.0c 2247
.100x
0.0130
故人口指数增长模型表达式为：x(t)=10.2247e 0.0130t 时间无限增大，人口也无限增长。

运用以上增长模型及图1中的散点图进行Logistic 增长模型拟合：
图3
0246810121416
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
得到：beta =10.1702 0.0304
所以Logistic 增长表达式为：t
0303.0-)1702
.1020
1(120
)(x e t --=
七、模型的评价与改进（或模型的检验、模型的应用）
两种模型在1982年-1998年的人口数据与误差都在上面俩种方法的程序结果里面有，列成表格如下： 年份 实际人口 模型1 误差 模型2 误差 1982 10.1654 10.2247 -0.0593 10.1702 -0.0048 1983 10.3008 10.3588 -0.058 10.3222 -0.0214 1984 10.4357 10.4946 -0.0589 10.4741 -0.0384 1985 10.5851 10.6322 -0.0471 10.6258 -0.0407 1986 10.7507 10.7717 -0.021 10.7772 -0.0265 1987
10.93
10.9129
0.0171
10.9282
0.0018
1988 11.1026 11.056 0.0466 11.0788 0.0238 1989 11.2704 11.201 0.0694 11.2289 0.0415 1990 11.4333 11.3478 0.0855 11.3785 0.0548 1991 11.5823 11.4966 0.0857 11.5274
0.0549 1992 11.7171 11.6474 0.0697 11.6756 0.0415 1993 11.8517 11.8001 0.0516 11.8231 0.0286 1994 11.985 11.9548 0.0302 11.9698 0.0152 1995 12.1121 12.1116 0.0005 12.1156 -0.0035 1996 12.2389 12.2704 -0.0315 12.2604 -0.0215 1997 12.3626 12.4313 -0.0687 12.4043 -0.0417 1998
12.481
12.5943
-0.1133
12.5471
-0.0661
很明显，指数增长虽然计算原理相对简单但是Logistic 模型的误差更小。

所以用Logistic 模型对未来200的人口预测。

2000202020402060
2080
21002120214021602180
10
12
14
16
18
20
22
x
20/(1-(1-20/10.1702) exp(-0.0304 (x-1982)))
由图可见，人口越来趋近于20亿人，但不超过。

20<36,满足题意。

八、参考文献
1、百度百科人口增长率
2、《数学建模》——西安理工大学秦新强主编
3、《MATLAB程序设计与应用》——刘卫国主编
4、《logistic模型的研究》——南京林业大学余爱华
5、指数增长模型的PPT教程（在网页找的）
九、附录
程序1：
clear;
x=0:16;
y=[10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704
11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626
12.4810];
plot(x,y,'b*')
程序2：
子程序：
function y=chengxu32a(beta,x)
y=beta(1)*exp(beta(2)*x);
主程序：
x=0:1:16;
y=[10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704
11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626
12.4810];
beta0=[10.1654 0.01332]';
[beta,c,J]=nlinfit(x',y','chengxu32a',beta0);
[aa,delta]=nlpredci('chengxu32a',x',beta,c,J);
f=chengxu32a(beta,x);
plot(x,y,'r*',x,aa,'y')
beta
c
f
程序2结果：
beta =10.2247
0.0130
c =-0.0593
-0.0580
-0.0589
-0.0471
-0.0210
0.0171
0.0466
0.0694
0.0855
0.0857
0.0697
0.0516
0.0302
0.0005
-0.0315
-0.0687
-0.1133
f =Columns 1 through 7
10.2247 10.3588 10.4946 10.6322 10.7717 10.9129
11.0560
Columns 8 through 14
11.2010 11.3478 11.4966 11.6474 11.8001 11.9548
12.1116
Columns 15 through 17
12.2704 12.4313 12.5943
程序3：
子程序：
function y=chengxu33a(beta,x)
y=20./(1-(1-20./beta(1))*exp(-beta(2)*x));
主程序：
clear;
x=0:1:16;
y=[10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4810];
beta0=[10.1654 0.01332]';
[beta,c,J]=nlinfit(x',y','chengxu33a',beta0);
[aa,delta]=nlpredci('chengxu33a',x',beta,c,J);
f=chengxu33a(beta,x);
plot(x,y,'r*',x,aa,'y')
beta
c
f
beta =10.1702
0.0304
c =-0.0048
-0.0214
-0.0384
-0.0407
-0.0265
0.0018
0.0238
0.0415
0.0548
0.0549
0.0415
0.0286
0.0152
-0.0035
-0.0215
-0.0417
-0.0661
f =Columns 1 through 13
10.1702 10.3222 10.4741 10.6258 10.7772 10.9282
11.0788 11.2289 11.3785 11.5274 11.6756 11.8231 11.9698
Columns 14 through 17
12.1156 12.2604 12.4043 12.5471
程序4：
ezplot('20./(1-(1-20./10.1702)*exp(-0.0304*(x-1982)))',[1982,2182,10,22 ])
作业3教师评分
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