4f系统的推导及作用

信息光学原理论文
4f 系统的推导及作用
4f 系统是最典型的一种相干光学信息处理系统，其光路结构如图1所示。

由相干点光源S 发出的单色球面波经透镜Lc 准直为平面波垂直入射到输入平（即物面）1P 上。

2P 为频谱平面（即滤波面）,3P 为输出平面（即像面），并且3P 平面采用反演坐标系。

1L 、2L 为一对傅里叶透镜，用来在由1P 面至3P 面之间进行两次傅里叶变换。

11223P L P L P 、、、、之间距离依次均取为透镜的焦聚f ，故此光路系统常简称为4f 系统。

设光栅常数为d ，缝宽为a ，光路1x 沿方向的宽度为L
设输入的复振幅透过率为()11,g x y ，则在它频谱面上的频谱函数为： ()(){}11,,x y G f f F g x y =
如果在频谱面上插入一个滤波器，其复振幅透过率（或称滤波函数）为：
()(){}
221,1,,x y x y H f f H F h x y f f λλ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
式中，()11,h x y 称为滤波器的脉冲响应函数。

则透过滤波器的光场复振幅分布为
()(),,x y x y G f f H f f ，再经过透镜2L 作第二次傅里叶变换，在输出面3P 上产生光场复振幅分布()33,g x y 。

在反演坐标中可表示为： ()()(){}
33,,,x y x y g x y F G f f H f f = ()()3333,,g x y h x y =*
于是在此情况下，4f 系统执行的函数g 与函数h 的卷积运算。

其输出光强度分布可表示为：
()()2
333333,(,),I x y g x y h x y =*
如果在频谱面上插入滤波器，其复振幅透过率为：
()(){}2211,,,x y x y H f f H F h x y f f λλ***⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
则在输出平面上得到的复振幅分布为：
()()(){}
33,,,x y x y g x y F G f f H f f *=
则它的透过率为
()11111rect comb rect x x x t x a d d L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=* ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 11rect rect m x md x a b ∞=-∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ （1-1）
在频谱面2P 平面上将得到其频谱函数如下： ()(){}1T F t x ξ=
()()()sin c comb sin c a a d L L ξξξ=*⎡⎤⎣⎦
()()1sin c sin c m m aL a L d d ξδξξ∞=-∞⎡⎤
⎛⎫=-* ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑
()sin c sin c m aL am m L d d d δξξ∞=-∞⎛⎫⎛
⎫=-* ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∑ sinc sinc m aL am m L d d d ξ∞=-∞⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦∑ ()11sinc +sinc sin c sin c sin c aL a a L L L d d d d d ξξξ⎧
⎫
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭
⎝
⎭⎣⎦
⎣⎦
⎩
⎭
（1-2）
式中，()2x f ξλ=，2x 是频谱面上的位置坐标，ξ是同一平面上用空间频率表示的坐标。

为了避免各级频谱重叠，以便实现准确滤波，假定L
d 。

下面我们
将讨论在频谱面上放置不同的滤波器是，输出面上像场的变化情况。

（1）滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过，也就是说只让（1-2）
中的第一项()()sinc aL d L ξ通过，则狭缝后的透射光场为 ()()()sin c aL
T H L d
ξξ=ξ （1-3）
式中，()H ξ是狭缝的透过函数。

于是在输出平面的场分布为 ()()(){}3g x T H ξξ==
3rect x a d L ⎛⎫
⎪⎝⎭
(1-4) 空间滤波的全部过程如图1-4所示。

（2）狭缝加宽能允许零级和正、负一级频谱通过，这是透射的频谱包括式（1-2）中的前三项，即
()()()11sin c sin c sin c sin c sin c aL a a T H L L L d d d d d ξξξξξ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-++⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭于是输出平面上的场分布为 ()()(){}3g x T H ξξ=
33333rect sin c rect exp j2sin c rect exp j2x x x x x a a a d L d L d d L d ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 332rect 12sin c cos x x a a d L d d π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（1-6）
空间滤波的全过程如图3所示。

在这种情况下，像与物的周期相同，但由于高频信息的丢失，像的结构变成余弦振幅光栅。

（3）滤波面放置双缝，只允许正负二级谱通过，这时系统透射的频谱为 ()()222sin c sin c sin c aL a T H L L d d d d ξξξξ⎧
⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ （1-7） 输出平面上的场分布为
()()(){}333422sin c rect cos x x a a g x T H d d L d πξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1-8） 在这种情况下，像的周期是物的周期的一半，像的结构是余弦振幅光栅，如图4所示。

（4）在频谱面上放置不透光的小圆屏，挡住零级谱，而让其余频率成分通过，这样透射频谱可表示为 ()()()()sin c aL
T H T L d
ξξξξ=- （1-9） 像面上的光场分布正比于
()(){}()()333sin c rect x aL a g x F T F L t x d d L ξξ⎛⎫⎧⎫
=-=-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭
33331rect comb rect rect x x x x a a d d L d L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ （1-10）
当2a d =，即缝宽等于缝的间隙时，直流分量为12，像场的复振幅分布仍为光栅结构，并且周期与物相同，但强度分布是均匀的，即实际上看不见条纹，如图5所示。

当2a d >，即缝宽大于缝隙时，直流分量大于12。

去掉零级谱以后像场分布如图6所示，对应物体上亮的部分变暗，暗的部分变亮，实现了对比度反转。

系统实现了输入信息与滤波器脉冲响应的相关运算，此时系统可看作是一种光学相关系统，可用于特征识别，或比较两幅图像之间的差异。