函数单调性的习题及答案

函数的单调性（一）
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y=2D．y=2x2＋x＋1
22)上是
）
9
A
10）10
二、填空题：
13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．
14．函数y=x－2x-1＋2的值域为__ ___．
15、设()
=是R上的减函数，则()3
y f x
=-的单调递减区间为.
y f x
16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是
__ ．
三、解答题：
17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y
x ) = f (x )－f (y )
（1）求f (1)的值．
1820．，＋∞)
21m
（
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎦
⎤
⎝
⎛-∞-21,
三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36(6
36(==∴-=f f f f f
故原不等式为：),36(1()3(f x
f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋
∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23
153036
)3(00
103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x
x 18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
1．
∵x ∵f (x 1)＞
故f f (x 1)－f (x 2)=
12
1+x －12
2+x －a (x 1－x 2)=
1
12
22
122
21+++-x x x x －a (x 1－x 2)
=(x 1－x 2)(
1
12
22
12
1++++x x x x －a ) (1)当a ≥1时，∵
1
12
2212
1++++x x x x ＜1，
又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=
2
12a a -，满足f (x 1)=f (x 2)=1
∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
x 2；
3
2)
设2
121x x )
，
x 2－可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=2
7．
(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=
x
a
x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立
设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a
＞－3．。