九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆学案设计新人教版

第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1.理解圆的两种定义形式.
2.理解与圆有关的一些概念.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
活动1:观察图形,从中找到共同特点.
二、信息交流,揭示规律
(一)圆
活动2:
1.画圆
2.圆的定义:
归纳:圆心是确定圆在平面内的的,半径是确定圆的的,所以,圆是由和两个要素确定的.
圆有个圆心,条半径,同一个圆中所有的都相等.
活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:
(1)篮球是圆吗?为什么?
(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?
(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?
(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?
(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?
3.从画圆的过程可以看出:
(1)圆上各点到的距离都等于.
(2)到定点的距离等于定长的点都.
因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是
的点的集合.
活动4:讨论圆中相关元素的定义:
(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)
1.弦:.
直径:.
思考:直径是不是弦?弦是不是直径?
答:.
2.弧:.
半圆:.
由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫,小于半圆的弧叫,还有半圆.
3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径.
4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:
5.等弧:.
思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?
答:
等弧只能出现在或中.
三、运用规律,解决问题
活动5:
1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?
2.判断
(1)直径是弦,弦也是直径.()
(2)半圆是弧,弧也是半圆.()
(3)同圆的直径是半径的2倍.()
(4)长度相等的弧是等弧.()
(5)等弧的长度相等.()
(6)过圆心的直线是直径.()
(7)直径是圆中最长的弦.()
四、变式训练,深化提高
活动6:
1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.
2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
3.如图,正方形OCEF的顶点E在☉O上,求半圆的直径AB.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
活动1:都有圆形.
二、信息交流,揭示规律
(一)圆
活动2:
1.
2.在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.
归纳:位置大小圆心半径1无数半径
活动3:(1)不是圆必须是“在同一个平面内”.(2)无数个.圆心不固定.(3)无数个.半径不定.(4)强调端点意在说明:圆上各点到圆心O(定点)的距离都等于线段OA的长(定长).如果不是定长,就可能得到一个别的图形.(5)都在圆上.
3.(1)圆心半径(2)在圆上到圆心O的距离等于半径r
活动4:(二)1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦直径:经过圆心的弦叫做直径思考:直径是弦,弦不是直径
2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆优弧劣弧
3.相等
4.略
5.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧不是,因为必须在同圆或等圆中相等的弧才是等弧等圆同圆
三、运用规律,解决问题
活动5:1.车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此当车辆在平坦的路上行驶时,坐车的人会感觉到非常平稳;如果做成其他形状,比如正方形,正方形的中心距离地面的距离随着椭圆的滚动而改变,因此中心到地面的距离就不是保持不变,因此不稳定.
2.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×(7)√
四、变式训练,深化提高
活动6:1.可以用一条长5 m的绳子,将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈.B所经过的路径就是所要的圆.
2.解:树干的半径是23÷2=11.5(cm).
平均每年半径增加11.5÷20=0.575(cm).
3.解:在正方形OCEF中,OC=CE=1,
∵OE2=OC2+CE2,
∴OE==,
∵OE=OB=OA,
∴AB=2.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.掌握垂径定理及相关结论.
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
二、信息交流,揭示规律
活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
图1
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?
相等的线段:
相等的弧:
由此可得垂径定理:.
请结合图形,写出它的推理形式.
∵
∴
若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,
你又能得到结论:
(图中弦AB是否可为直径?)
请结合图形,写出它的推理形式.
∵
∴
三、运用规律,解决问题
活动3:
1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.
2.填空
(1)如图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是.
(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为 3 cm,则弦AB的长是.
(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是.
3.解决求赵州桥拱半径的问题.
四、变式训练,深化提高
活动4:
1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?
2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
略
二、信息交流,揭示规律
活动1:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
图2
活动2:(1)是轴对称图形,对称轴是CD.
(2)AM=BM;=,=.如图(2)所示,连接OA,OB.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,=,=.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵CD是直径,AM=BM,∴CD⊥AB,=,=.
三、运用规律,解决问题
活动3:1.解:上面三个图可以找到相等的线段或相等的圆弧.
2.(1)2 cm(2)8 cm(3)2 cm
3.解:在图中AB=37,CD=7.23,
OD=OC-CD=R-7.23,
AD=AB=×37=18.5,
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
OA2=AD2+OD2,
即R2=18.52+(R-7.23)2,
解得:R≈27.3(m).
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
四、变式训练,深化提高
活动4:
1.解:如图所示,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,
则AE=AB=30 cm.令☉O的半径为R,
则OA=R,OE=OF-EF=R-10.
在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.
解得R=50 cm.
即修理人员应准备内径为100 cm的管道.
2.略
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
1.圆是轴对称图形,其对称轴是.圆还是对称图形,其对称中心是.
2.圆绕旋转度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.
二、信息交流,揭示规律
1.圆心角:顶点在的角,叫圆心角.
2.探究:
(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则AB A'B',.
(2)如图,☉O中=,则∠AOB ∠A'OB',AB A'B'.
(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB ∠A'OB',.
文字语言叙述:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的弧.
符号语言:如上图
(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴,.
(2)∵=,∴,;
(3)∵AB=A'B',∴,.
3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?和相等吗?
三、运用规律,解决问题
【例1】如图:在☉O中,弧=,∠ACB=60°.
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【例2】如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.
【例3】如图,在☉O中,AD=BC,比较与的大小.,并证明你的结论.
四、变式训练,深化提高
为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分, 每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.直径所在的直线中心对称圆心
2.圆心任意角
二、信息交流,揭示规律
1.圆心
2.(1)= = (2)= = (3)= = 相等相等相等相等相等相等(1)AB=A'B' = (2)∠AOB=∠A'OB' AB=A'B' (3)= ∠AOB=∠A'OB'
3.不相等;不相等.
三、运用规律,解决问题
【例1】证明:∵=,
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.
又∵∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC.
【例2】解:∵==,
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°,
∴∠AOE=180°-∠COB-∠COD-∠DOE
=75°.
【例3】解:∵AD=BC,
∴=,
∴+=+,
∴=.
四、变式训练,深化提高
做三个相等的圆心角各120°,三个角所对的弧相等.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角(第1课时)
学习目标
1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.
2.初步运用圆周角定理解决相关问题.
3.渗透分类讨论思想.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
什么叫圆心角?在图1中画出所对的圆心角,能画几个?
图1
二、信息交流,揭示规律
(一)圆周角定义
1.定义:叫圆周角.
辨析:图中的角是圆周角的是.
2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个?
(二)探究1:
1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?
在下图中画出所对的圆周角.
2.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .
3.尝试证明你的发现.
归纳:圆周角定理:.
在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
(三)探究2:
在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?
归纳:圆周角定理的推论:
.
三、运用规律,解决问题
1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
2.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于D,求BC,AD,BD 的长.
四、变式训练,深化提高
已知在一个圆形博物馆的墙壁周围安装电子监视仪,若每只监视仪最大监视视角为30°,要使博物馆室内每一个角落都能监视到,你认为至少要安装多少个监视仪?
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
顶点在圆心的角叫做圆心角.1个.
二、信息交流,揭示规律
(一)1.顶点在圆上,两边都与圆相交的角 E
2.无数个.
(二)1.三类.画图略
2.同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半
3.证明:证法1:∵OA=OC,
∴∠A=∠C,
又∵∠BOC=∠A+∠C,
∴∠BOC=2∠A,
即∠A=∠BOC.
证法2:作射线AO交☉O于点D.
由第1种情况得∠BAD=∠BOD,
∠CAD=∠COD,
∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD,
即∠BAC=∠BOC.
证法3:作射线AO交☉O于点D,由第1种情况得
∠CAD=∠COD,
∠BAD=∠BOD,
∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BOD,
即∠BAC=∠BOC.
归纳:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
=∠AOB
相等;因为同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半,圆周角相等,圆心角就相等,圆心角所对的弧就相等.
(三)画图略.直径AB所对的圆周角都是直角;同弧或等弧所对的圆周角相等,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
三、运用规律,解决问题
1.∠1=∠4;∠2=∠7;∠3=∠6;∠5=∠8.
2.解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
在Rt△ABC中,
BC===8.
∵CD平分∠ACB,
∴=,
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
∴AD=BD=AB=×10=5(cm).
四、变式训练,深化提高
6个.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角(第2课时)
学习目标
1.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.
2.了解直角三角形的一种判定方法.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
1.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,则∠ACB= .
2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,若∠BOD=100°,则∠A= ,∠C= .
二、信息交流,揭示规律
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个.
问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆, 猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.
由此得出圆内接四边形的性质: .
三、运用规律,解决问题
1.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .
2.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D= .
问题2:如图,CD是△ABC的中线,且CD=AB.
求证:∠ACB=90°.
由此得直角三角形的判定方法:
如果三角形,
那么这个三角形是.
四、变式训练,深化提高
1.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠BOD=110°,则∠C= .
2.☉O中,∠AOB=110°,则弦AB所对的圆周角的度数为.
3.☉O的内接四边形ABCD中∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是()
A.1∶2∶3∶4
B.4∶1∶3∶2
C.4∶3∶1∶2
D.4∶1∶2∶4
4.已知,▱ABCD是☉O的内接四边形,求证:▱ABCD是矩形.
课堂小结
1.圆内接四边形的性质: .
2.直角三角形的判定方法:.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.90°
2.50°130°
二、信息交流,揭示规律
圆的内接多边形多边形的外接圆
问题1:∠A+∠C=180°;∠B+∠D=180°
圆的内接四边形对角互补
三、运用规律,解决问题
1.70°100°
2.90°
问题2:证明:∵在△ABC中,CD是AB边上的中线,
∴AD=BD.
又∵CD=AB,
∴AD=BD=CD,
∴A,B,C在以点D为圆心,AB为直径的圆上.
∴∠ACB=90°.
一边上的中线等于这条边的一半直角三角形
四、变式训练,深化提高
1.125°
2.55°或125°
3.C
4.证明:∵▱ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,
在▱ABCD中,∠A=∠C,
∴∠A=∠C=90°,
∴▱ABCD是矩形.
课堂小结
略
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标
1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关
系.
2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
二、信息交流,揭示规律
1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.
2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.
当点P在圆时,d r;
当点P在圆时,d r;
当点P在圆时,d r.
3.结合画图说明:
设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,
若d>r,则点P在圆;
若d=r,则点P在圆;
若d<r,则点P在圆;
归纳:①点P在⇔d r;
②点P在⇔d r;
③点P在⇔d r.
练习:
1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:
A.8厘米
B.4厘米
C.5厘米
请你分别说出点与圆的位置关系.
2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.
(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
4.画图探究:
图1
图2
(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?
(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?
(3)经过三点作圆
①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?
②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?
小结:(1)经过一点可以作个圆;经过两点可以作个圆,它们的圆心在上.
(2)个点确定一个圆.
(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,这个三角形叫做圆的,圆心叫做三角形的.
练习:画出以下几个三角形的外接圆
归纳:锐角三角形外心在三角形部;钝角三角形外心在三角形部;直角三角形外心在.
三、运用规律,解决问题
(一)判断题:
1.过三点一定可以作圆()
2.三角形有且只有一个外接圆()
3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形()
4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点()
5.三角形的外心到三边的距离相等()
(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.
(三)如何解决“破镜重圆”的问题
四、变式训练,深化提高
1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.
2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
两种.
二、信息交流,揭示规律
1.三种.P的三种位置如图A,B,C
2.外> 上= 内<
3.外上内
归纳:①圆外> ②圆上= ③圆内<
练习1:A.圆外、B.圆内、C.圆上.
2.(1)B在圆上,D在圆外,C在圆外,
(2)B在圆内,D在圆上,C在圆外,
(3)B在圆内,D在圆内,C在圆上.
4.(1)无数个.
(2)无数个;经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
(3)①不能.②能.不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心在AB,AC,BC三条线的垂直平分线的公共交点上.
小结:略
练习:略
三、运用规律,解决问题
(一)1.×2.√3.×4.√5.×
(二)因为A,B两点在圆上,所以圆心必与A,B两点的距离相等,
又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,
所以圆心在CD所在的直线上,因此可以作任意两条直径,它们的交点为圆心.
(三)
四、变式训练,深化提高
1.(1)四点在一条直线上时不能作圆;
(2)三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;
(3)四点中任意三点不在一条直线上有可能作出圆也可能作不出一个圆.
2.作三角形ABC的外接圆.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系(第1课时)
学习目标
1.理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系.
2.掌握它们的判定方法.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
活动1:
1.点与圆有几种位置关系?
2.怎样判定点和圆的位置关系?
活动2:
你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?
二、信息交流,揭示规律
活动3:
(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?
(2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型?
1.判断下列直线和圆的位置关系.
2.判断下列说法正确与否
(1)直线与圆最多有两个公共点.()
(2)若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.()
(3)若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.()
(4)若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.()
活动4:议一议
对比点和圆的位置关系的判定方法,是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?
三、运用规律,解决问题
活动5:如图,∠AOB=30°,P为OB上一点,且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?
①R=2 cm;
②R=2.5 cm;
③R=4 cm.
2.填表
四、变式训练,深化提高
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,以点C为圆心,r为半径作圆.
(1)当r满足时,直线AB与☉C相离;
(2)②当r满足时,直线AB与☉C相切;
(3)当r满足时,直线AB与☉C相交;
(4)当r满足时,线段AB与☉C有且只有一个公共点.
2.试着编一道直线与圆位置关系的题目,使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
活动1:1.3种
2.(1)点到圆心的距离大于半径时,点在圆外.
(2)点到圆心的距离等于半径时,点在圆上.
(3)点到圆心的距离小于半径时,点在圆内.
活动2:直线和圆有三种位置关系.
二、信息交流,揭示规律
活动3:(1)一开始没有公共点,到有一个公共点,然后有两个公共点;0;2(2)3种
1.相离;与☉O1相离,与☉O2相交;相切;相交.
2.(1)√(2)×(3)×(4)√
活动4:利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.
三、运用规律,解决问题
1.解:过点P作PM⊥OA于点M.
在Rt△OMP中,∠AOB=30°,OP=5 cm
∴PM=2.5 cm.
(1)R=2 cm,
∵2<2.5,
∴☉P与OA相离.
(2)R=2.5 cm,
∵2.5=2.5,
∴☉P与OA相切.
(3)R=4 cm,
∵4>2.5,
∴☉P与OA相交.
2.
位置关系
公共点个
四、变式训练,深化提高
1.(1)0<r< (2)r= (3)r> (4)r=或5<r≤12
2.略
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)
学习目标
1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.
2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1),(2),(3);直线和圆的公共点的个数依次是,,.
2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?
二、信息交流,揭示规律
1.切线的判定定理的得出:
作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是;
(2)直线l和☉O的位置关系是.
归纳:切线的判定定理:
经过并且的直线是圆的切线.
请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:
判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.()
(2)与半径垂直的直线是圆的切线.()
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()
2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:
(1);
(2);
(3) .
三、运用规律,解决问题
1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.
3.已知点O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于点D,以O为圆心,OD为半径作☉O.求证:☉O 与AC相切.
课堂小结
若证直线是圆的切线,
1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;
2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.
四、变式训练,深化提高
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.
2.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.
(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①;②.
(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.相交相切相离210
2.(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
二、信息交流,揭示规律
1.(1)r (2)相切半径的外端垂直于半径
∵OA是半径,l⊥OA于点A
∴l是☉O的切线.
判断:(1)×(2)×(3)×
2.总结:(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线
(3)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
三、运用规律,解决问题
1.略
2.证明:连接OC(图略).
∵在△OAB中,OA=OB,CA=CB,
∴AB⊥OC于C.
∵OC是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
3.证明:过O作OE⊥AC于点E(图略).
∵AO平分∠BAC,OD⊥AB,
∴∠DAO=∠CAO,
∠ADO=∠AEO=90°,
又∵AO=AO,∴△ADO≌△AEO,
∴OE=OD,
即圆心O到AC的距离d=r,
∴AC是☉O的切线.
课堂小结:1.这点和圆心直线垂直于经过这点的半径
2.圆心直线的垂线段这条线段的长等于圆的半径
四、变式训练,深化提高
1.证明:过点O作OF⊥AB于点F
∵AB=AC,AO⊥BC,
∴AO平分∠BAC,
又∵OE⊥AC,OF⊥AB,
∴OE=OF,
∴AB是☉O的切线.
2.(1)AB⊥EF ∠CAE=∠B
(2)证明:过点O作直径AD,连接DC.
∵=,
∴∠D=∠B.
∵AD是直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠D=90°,
即∠CAD+∠B=90°.
又∵∠CAE=∠B,
∴∠CAD+∠CAE=90°,
∴OA⊥EF,
∴EF是☉O的切线.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系(第3课时)
学习目标
1.理解切线的性质定理内容和推出过程.
2.会用切线的性质定理证明.
学习过程设计
一、设计问题,创设情境
作图1:过☉O外一点P作直线.
作图2:若点A为☉O上的一点,如何过点A作☉O的切线?
二、信息交流,揭示规律
如图,如果直线AB是☉O的切线,切点为点C,那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢?(用反证法说明)
归纳:圆的切线的性质:
符号表示:
∵
∴
三、运用规律,解决问题
1.如图,AB是☉O的直径,直线l1,l2是☉O的切线,A,B是切点,l1与l2有怎样的位置关系?证明你的结论.
2.如图,以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,求证:AP=BP.
四、变式训练,深化提高
1.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,求证:AC平分∠DAB.
2.如图,BC切☉O于点B,AB为☉O的直径,弦AD∥OC.求证:CD是☉O的切线.。