(徐州专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第11课时一次函数的应用课件
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第 11 课时
一次函数的应用
考点聚焦
考点 一次函数的应用 1.建立函数模型解决实际问题的步骤: (1)审题,明确变量x和y; (2)根据等量关系,建立函数解析式; (3)确定x的取值范围; (4)在x的取值范围内解决实际问题.
【温馨提示】说明函数是一次函数情况: (1)当函数图象是直线(或线段、射线); (2)用表格呈现数据时:当自变量的变化值均匀时,函数值的变化也是均匀的,而 且当自变量的变化值为1时,函数值的变化值就是自变量的系数k; (3)用语言呈现数据时:当一个量每变化一个单位时,另一量就相应地变化n个 单位.
+10 5
0<x≤665
.
故答案为
y=1202-15 ������ (6≤x<8)或
y=6������
+10 5
0<x≤665
.
考向一 利用一次函数进行方案选择
例1 [2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次 游泳再付费30元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元. 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择 方式二的总费用为y2(元). (1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式; (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?
[解析](1)根据题意,列出分段函数;(2)利用函数关系式求出自变量对应的函数值. 具体过程如下: (1)当0<x≤3时,y=7.0;当x>3时,y=7+2.4(x-3)=2.4x-0.2. (2)∵小亮付费19元,∴他乘车的路程超过了3千米.把y=19代入y=2.4x-0.2, 得19=2.4x-0.2,解得x=8.
5. [2018·义乌]实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是
15 cm,底面的长是30 cm,宽是20 cm,容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图
11-3所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点A的三条棱的长
分别为10 cm,10 cm,y cm(y≤15),当铁块的顶部高出水面2 cm时,x,y满足的关系
= =
125������3 145������3
+ +
������������11,,解得
������3 ������1
= =
3, -50,
∴射线 BC 的解析式为 y3=3x-50(x≥125).
2.5������(0 ≤ ������ ≤ 75), 综上,y= 2.75������-18.75(75 < ������ ≤ 125),
| 考向精练 | 1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关 系的图象如图11-6中折线所示.该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元, 截止到15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列 问题:
设 OA 的解析式为 y1=k1x,则有 2.5×75=75k1,∴k1=2.5,
∴线段 OA 的解析式为 y1=2.5x(0≤x≤75);
设线段 AB 的解析式为 y2=k2x+b(75≤x≤125),由图象,
得
2.5 × 75 = 75������2 + 325 = 125������2 + ������,
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75 m3的部分
2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
a
超出125 m3的部分
a+0.25
图11-5
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系 如图11-5所示,求a的值及y与x之间的函数关系式;
解：(2)由题意,得 a=(325-75×2.5)÷(125-75),解得 a=2.75,∴a+0.25=3.
2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤: (1)观察图象,获取有效信息; (2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系; (3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.
【温馨提示】要理解以下四点: ①函数图象中的横、纵坐标代表的量; ②拐点:图象上的拐点,既是前一段函数变化的终点,又是后一段函数的起点; ③水平线:函数值随自变量的变化而保持不变; ④交点:表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等,这个交点是函数值大 小关系的“分界点”.
100, 得
������ ������
= =
10, 200,
∴B(10,200),∴当 0<x<10 时,y 甲<y 乙,即选择甲种消费卡合算; 图11-4
当 x>10 时,y 甲>y 乙,即选择乙种消费卡合算;
当 x=10 时,y 甲=y 乙,即选择两种卡消费一样.
考向二 利用一次函数解决分段函数问题
(1)若甲用户3月份的用气量为60 m3,则应缴费
元;
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系 如图11-5所示,求a的值及y与x之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175 m3(3月份用气量低于2月份用气 量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量分别是多少?
解:(1)y1=30x+200,y2=40x.
例1 [2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每 次游泳再付费30元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元. 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元), 选择方式二的总费用为y2(元). (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省 钱?
水中的体积为 10×8×y=80y(cm3),
∴80y=30×20×(8-x),∴y=1202-15������.∵y≤15,∴x≥6,即 y=1202-15������(6≤x<8). ②当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 10 cm 的那一面平放在长方体的容器底面
时,同①的方法得,y=6������
3. [八上P156练习第2题改编]某市出租车的收费标准:不超过3千米计费为7.0元,超
过3千米部分按2.4元/千米计费.
(1)车费y(元)与路程x(千米)之间的函数表达式为
;
(2)小亮乘出租车出行,付费19元,则小亮乘车的路程为
千米.
7.0(0 < ������ ≤ 3), [答案] (1)y= 2.4������-0.2(������ > 3) (2)8Leabharlann 乙=10x+100.
[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费 用为y元,选择这两种卡消费时,y与x之间的函数关系如图11-4所示,解答下列问 题: (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
解:
(2)解方程组
������ ������
= =
20������, 10������ +
对点演练
题组一 必会题 1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(单位:cm)与燃 烧时间t(单位:h)(0≤t≤4)之间的关系是 h=-5t+20 .
2. [八上P157问题2改编]某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同.以每月用车里
程x km计算,甲汽车租赁公司的月租费是y1元,乙汽车租赁公司的月租费是y2元.如
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
每月用气量 不超出75 m3的部分 超出75 m3不超出125 m3的部分 超出125 m3的部分
单价(元/m3) 2.5 a
a+0.25
解: (2)由y1<y2,得30x+200<40x,解之,得x>20,所以当x>20时,选择方式一比方式 二省钱.
| 考向精练 | [2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费 用为y元,选择这两种卡消费时,y与x之间的函数关系如图11-4所示,解答下列问 题: (1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式; (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
题组二 易错题 【失分点】在实际问题中,尤其是分段函数自变量的取值往往有限制,审题时应 注意. 4.若等腰三角形的周长是20 cm,则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长 x(cm)之间的函数关系的图象是 ( )
图11-2
[答案] B [解析]根据题意得 2y+x=20.∴y=10-12x.由 y+y>x,即 20-x>x,得 x<10,又 x>0, ∴0<x<10,∴y 关于 x 的函数关系式为 y=10-12x(0<x<10).故选 B.
式是
.
图11-3
[答案] y=1202-15������(6≤x<8)或 y=6������+5 10 0<x≤665 [解析]①当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 y cm 的那一面平放在长方体的容
器底面时,铁块浸在水中的高度为 8 cm,此时,水位上升了(8-x) cm(x<8),铁块浸在
������,解得
������2 = 2.75, ������ = -18.75,
∴线段 AB 的解析式为 y2=2.75x-18.75(75≤x≤125);
(385-325)÷3=20,故 C(145,385),设射线 BC 的解析式为 y3=k3x+b1(x≥125),
由图象,得
325 385
3������-50(������ > 125).
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75 m3的部分
2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
果y1,y2与x之间的关系如图11-1,那么:
(1)每月用车里程为
km时,租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同;
(2)每月用车里程在x
范围内时,租用甲汽
车租赁公司的车所需费用较少;
(3)如果每月用车的里程约为2300 km,那么租
用
汽车租赁公司的车所需费用较少
(填“甲”或“乙”).
图11-1
[答案](1)2000 (2)<2000 (3)乙 [解析]从函数图象上看,当x=2000时,两个函数的图象相交于一点,此时两个函数的 自变量相同,函数值相同;当x<2000时,y1<y2;当x>2000时,y1>y2.
每月用气量 不超出75 m3的部分
单价(元/m3) 2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
a
超出125 m3的部分
a+0.25
解:(1)由题意,得60×2.5=150(元).
图11-5
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
图11-4
解:(1)设 y 甲=kx,把(5,100)代入得 100=5k,∴k=20,∴y 甲=20x;
设 y 乙=k1x+b,把(0,100)和(20,300)分别代入,
得
������ = 100, 20������1 + ������
=
300,解得
������������1==11000,,∴y
a
超出125 m3的部分
a+0.25
图11-5
(3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175 m3(3月份用气量低于2月份用气 量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量分别是多少?
解: (3)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x)m3, 当x>125,175-x≤75时,3x-50+2.5(175-x)=455, 解得x=135,175-135=40,符合题意; 当75<x≤125,175-x≤75时,2.75x-18.75+2.5(175-x)=455, 解得x=145,不符合题意,舍去; 当75<x≤125,75<175-x≤125时,2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方程无解. ∴乙用户2,3月份的用气量分别是135 m3,40 m3.
一次函数的应用
考点聚焦
考点 一次函数的应用 1.建立函数模型解决实际问题的步骤: (1)审题,明确变量x和y; (2)根据等量关系,建立函数解析式; (3)确定x的取值范围; (4)在x的取值范围内解决实际问题.
【温馨提示】说明函数是一次函数情况: (1)当函数图象是直线(或线段、射线); (2)用表格呈现数据时:当自变量的变化值均匀时,函数值的变化也是均匀的,而 且当自变量的变化值为1时,函数值的变化值就是自变量的系数k; (3)用语言呈现数据时:当一个量每变化一个单位时,另一量就相应地变化n个 单位.
+10 5
0<x≤665
.
故答案为
y=1202-15 ������ (6≤x<8)或
y=6������
+10 5
0<x≤665
.
考向一 利用一次函数进行方案选择
例1 [2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次 游泳再付费30元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元. 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择 方式二的总费用为y2(元). (1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式; (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?
[解析](1)根据题意,列出分段函数;(2)利用函数关系式求出自变量对应的函数值. 具体过程如下: (1)当0<x≤3时,y=7.0;当x>3时,y=7+2.4(x-3)=2.4x-0.2. (2)∵小亮付费19元,∴他乘车的路程超过了3千米.把y=19代入y=2.4x-0.2, 得19=2.4x-0.2,解得x=8.
5. [2018·义乌]实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是
15 cm,底面的长是30 cm,宽是20 cm,容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图
11-3所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点A的三条棱的长
分别为10 cm,10 cm,y cm(y≤15),当铁块的顶部高出水面2 cm时,x,y满足的关系
= =
125������3 145������3
+ +
������������11,,解得
������3 ������1
= =
3, -50,
∴射线 BC 的解析式为 y3=3x-50(x≥125).
2.5������(0 ≤ ������ ≤ 75), 综上,y= 2.75������-18.75(75 < ������ ≤ 125),
| 考向精练 | 1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关 系的图象如图11-6中折线所示.该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元, 截止到15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列 问题:
设 OA 的解析式为 y1=k1x,则有 2.5×75=75k1,∴k1=2.5,
∴线段 OA 的解析式为 y1=2.5x(0≤x≤75);
设线段 AB 的解析式为 y2=k2x+b(75≤x≤125),由图象,
得
2.5 × 75 = 75������2 + 325 = 125������2 + ������,
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75 m3的部分
2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
a
超出125 m3的部分
a+0.25
图11-5
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系 如图11-5所示,求a的值及y与x之间的函数关系式;
解：(2)由题意,得 a=(325-75×2.5)÷(125-75),解得 a=2.75,∴a+0.25=3.
2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤: (1)观察图象,获取有效信息; (2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系; (3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.
【温馨提示】要理解以下四点: ①函数图象中的横、纵坐标代表的量; ②拐点:图象上的拐点,既是前一段函数变化的终点,又是后一段函数的起点; ③水平线:函数值随自变量的变化而保持不变; ④交点:表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等,这个交点是函数值大 小关系的“分界点”.
100, 得
������ ������
= =
10, 200,
∴B(10,200),∴当 0<x<10 时,y 甲<y 乙,即选择甲种消费卡合算; 图11-4
当 x>10 时,y 甲>y 乙,即选择乙种消费卡合算;
当 x=10 时,y 甲=y 乙,即选择两种卡消费一样.
考向二 利用一次函数解决分段函数问题
(1)若甲用户3月份的用气量为60 m3,则应缴费
元;
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系 如图11-5所示,求a的值及y与x之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175 m3(3月份用气量低于2月份用气 量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量分别是多少?
解:(1)y1=30x+200,y2=40x.
例1 [2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每 次游泳再付费30元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元. 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元), 选择方式二的总费用为y2(元). (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省 钱?
水中的体积为 10×8×y=80y(cm3),
∴80y=30×20×(8-x),∴y=1202-15������.∵y≤15,∴x≥6,即 y=1202-15������(6≤x<8). ②当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 10 cm 的那一面平放在长方体的容器底面
时,同①的方法得,y=6������
3. [八上P156练习第2题改编]某市出租车的收费标准:不超过3千米计费为7.0元,超
过3千米部分按2.4元/千米计费.
(1)车费y(元)与路程x(千米)之间的函数表达式为
;
(2)小亮乘出租车出行,付费19元,则小亮乘车的路程为
千米.
7.0(0 < ������ ≤ 3), [答案] (1)y= 2.4������-0.2(������ > 3) (2)8Leabharlann 乙=10x+100.
[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费 用为y元,选择这两种卡消费时,y与x之间的函数关系如图11-4所示,解答下列问 题: (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
解:
(2)解方程组
������ ������
= =
20������, 10������ +
对点演练
题组一 必会题 1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(单位:cm)与燃 烧时间t(单位:h)(0≤t≤4)之间的关系是 h=-5t+20 .
2. [八上P157问题2改编]某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同.以每月用车里
程x km计算,甲汽车租赁公司的月租费是y1元,乙汽车租赁公司的月租费是y2元.如
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
每月用气量 不超出75 m3的部分 超出75 m3不超出125 m3的部分 超出125 m3的部分
单价(元/m3) 2.5 a
a+0.25
解: (2)由y1<y2,得30x+200<40x,解之,得x>20,所以当x>20时,选择方式一比方式 二省钱.
| 考向精练 | [2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费 用为y元,选择这两种卡消费时,y与x之间的函数关系如图11-4所示,解答下列问 题: (1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式; (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
题组二 易错题 【失分点】在实际问题中,尤其是分段函数自变量的取值往往有限制,审题时应 注意. 4.若等腰三角形的周长是20 cm,则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长 x(cm)之间的函数关系的图象是 ( )
图11-2
[答案] B [解析]根据题意得 2y+x=20.∴y=10-12x.由 y+y>x,即 20-x>x,得 x<10,又 x>0, ∴0<x<10,∴y 关于 x 的函数关系式为 y=10-12x(0<x<10).故选 B.
式是
.
图11-3
[答案] y=1202-15������(6≤x<8)或 y=6������+5 10 0<x≤665 [解析]①当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 y cm 的那一面平放在长方体的容
器底面时,铁块浸在水中的高度为 8 cm,此时,水位上升了(8-x) cm(x<8),铁块浸在
������,解得
������2 = 2.75, ������ = -18.75,
∴线段 AB 的解析式为 y2=2.75x-18.75(75≤x≤125);
(385-325)÷3=20,故 C(145,385),设射线 BC 的解析式为 y3=k3x+b1(x≥125),
由图象,得
325 385
3������-50(������ > 125).
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75 m3的部分
2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
果y1,y2与x之间的关系如图11-1,那么:
(1)每月用车里程为
km时,租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同;
(2)每月用车里程在x
范围内时,租用甲汽
车租赁公司的车所需费用较少;
(3)如果每月用车的里程约为2300 km,那么租
用
汽车租赁公司的车所需费用较少
(填“甲”或“乙”).
图11-1
[答案](1)2000 (2)<2000 (3)乙 [解析]从函数图象上看,当x=2000时,两个函数的图象相交于一点,此时两个函数的 自变量相同,函数值相同;当x<2000时,y1<y2;当x>2000时,y1>y2.
每月用气量 不超出75 m3的部分
单价(元/m3) 2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
a
超出125 m3的部分
a+0.25
解:(1)由题意,得60×2.5=150(元).
图11-5
例2 [2013·徐州27题]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价 格如下表所示:
图11-4
解:(1)设 y 甲=kx,把(5,100)代入得 100=5k,∴k=20,∴y 甲=20x;
设 y 乙=k1x+b,把(0,100)和(20,300)分别代入,
得
������ = 100, 20������1 + ������
=
300,解得
������������1==11000,,∴y
a
超出125 m3的部分
a+0.25
图11-5
(3)在(2)的条件下,若乙用户2,3月份共用气175 m3(3月份用气量低于2月份用气 量),共缴费455元,乙用户2,3月份的用气量分别是多少?
解: (3)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x)m3, 当x>125,175-x≤75时,3x-50+2.5(175-x)=455, 解得x=135,175-135=40,符合题意; 当75<x≤125,175-x≤75时,2.75x-18.75+2.5(175-x)=455, 解得x=145,不符合题意,舍去; 当75<x≤125,75<175-x≤125时,2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方程无解. ∴乙用户2,3月份的用气量分别是135 m3,40 m3.