江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

2018~2019学年度第一学期高一数学期末联考试卷
一.选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|＜2}，B={x|log2x＞0}，则（）
A. B. A∩B=
C. 或
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合A和B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．
【详解】由2-x＜2得x＞-1，所以A={x|x＞-1}；由log2x＞0得x＞1，所以B={x|x＞1}．所以A∩B={x|x＞1}．故选A．
【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，考查指数对数不等式的解法，是基础题．
2.下列命题中正确的是（）
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若和都是单位向量，则=
D. 两个相等向量的模相等
【答案】D
【解析】
考查所给的四个选项：
向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；
若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；
两个相等向量的模一定相等，D说法正确.
本题选择D选项.
3.计算2sin2105°-1的结果等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
．选D．
4.函数f（x）=x-的图象关于（）
A. y轴对称
B. 原点对称
C. 直线对称
D. 直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】
函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x)，由奇函数的定义即可得出结论.
【详解】函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x),所以函数f（x）为奇函数，所以图象关于原点对称，故选B.
【点睛】本题考查了函数的对称性，根据函数解析式特点得出f（-x）=-f(x)即可得出函数为奇函数，属于基础题.
5.若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的奇偶性，即可得出φ的值．
【详解】函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；所以φ的值可以是.故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
6.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
∵
∴−−=3(−−)；
∴=−−.
故选：C.
7.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以；
因为，，所以，
所以．选C．
8.若，且则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，设与的夹角为，，则
，故选C．
考点：数量积表示两个向量的夹角
9.将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求解函数y的最小正周期，根据三角函数的平移变换规律，即可求解.
【详解】函数y=2sin（2x+）其周期T=π，图象向左平移个最小正周期后，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x++）=2cos（2x+）故选C.
【点睛】本题考查了最小正周期的求法和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10.若＜α＜π，化简的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可．
【详解】=因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力．
11.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．
【详解】由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.
【点睛】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题．
12.设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）
A.
B. 点是函数的一个对称中心
C. 在上是增函数
D. 存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可．【详解】函数f（x）=asinx+bcosx=周期T=2π．
由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力．
二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数f（x）=log2（x2-5），则f（3）=______．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用对数性质及运算法则直接求解．
【详解】∵函数f（x）=log2（x2-5），∴f（3）=log2（9-5）=log24=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.已知平面向量，的夹角为，，则 =______．
【答案】
【解析】
【分析】
=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案为.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
15.函数y=1-sin2x-2sinx的值域是______ ．
【答案】[-2，2]
【解析】
【分析】
利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）的值域，属于基础题．
【详解】∵sinx∈[-1，1]，∴函数y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为-4+2=-2，当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为：[-2，2]．
【点睛】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．
16.若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx 恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．
【答案】[-，-）∪（，]
【解析】
【分析】
利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围．
【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：
∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则
若k＜0，由对称性可知.
故答案为[-，-）∪（，].
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题．
三.解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知向量=（3，4），=（-1，2）．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量-与+2平行，求λ的值．
【答案】（1）；（2）-2.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量的数量积公式求出夹角的余弦值；（2）根据向量平行的坐标关系得到λ的方程，求值．
【详解】向量=（3，4），=（-1，2）
（1）向量与夹角的余弦值；
（2）向量-=（3+λ，4-2λ）与+2=（1，8）平行，则8（3+λ）=4-2λ，解得λ=-2．【点睛】本题考查了平面向量数量积公式的运用以及向量平行的坐标关系,属于基础题．18.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把
代入到展开后的式子中，即可求出所求答案。

（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案。

试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
19.已知向量=（cosx，-1），=（sinx，cos2x），设函数f（x）= +．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．
【答案】（1）；，（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式，可得，然后由周期公式去求周期，再结合正弦函数的单调性去求函数的单调递增区间．（2）由（1）知，由求出，再结合正弦函数的单调性去求函数的值域．试题解析：（1）依题意得
的最小正周期是：
由解得，
从而可得函数的单调递增区间是：
（2）由，可得
从而可得函数的值域是：
考点：（1）向量数量积的坐标运算及辅助角公式；（2）正弦函数的单调性及值域．
20.已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示，
（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由图象可知A="2,"=－=, ∴T=2,ω==π
将点(, 2)代入y=2sin(πx＋j), 得 sin(＋j)="1," 又|j| <
所以j =. 故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋) (x∈R)
（Ⅱ）∵f() =, ∴2sin(＋) =, 即, sin(＋) =
∴cos(－a)=cos[π－2(＋)] =－cos2(＋)=2sin2(＋)－1 =
考点：由y= A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
点评：本题考查由y="A" sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用，考查分析与计算的能力，属于中档题．
21.已知函数
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）奇函数；（2）.
【解析】
【分析】
化简函数f（x）=log3（2-sinx）-log3（2+sinx）（1）利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；（2）把分子分离常数，根据-1≤sinx≤1，求出函数的值域．
【详解】（1），
的定义域为，则对中的任意都有
,
所以为上的奇函数；
（2）令，
，
，
，
，
，
即值域为.
【点睛】本题考查对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数函数的值域与最值，考查计算能力，属于中档题.
22.已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．
（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；
（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示；
对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得
在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.
试题解析：
（1），
因为，所以，其中，
即，．
（2）由（1）知，当时，，
又在区间上单调递增，
所以，从而，
要使不等式在区间上恒成立，只要，
解得：．
点晴:本题考查的是求函数的解析式及不等式恒成立问题. （1）首先
，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式.。