关于可靠度分析的若干方法

关于可靠度分析的若干方法
1.一次二阶矩法 （1）中心点法
中心点法的基本思路就是将非线性功能函数在其随机变量均值(中心点)处Taylor 级数展开并取至一阶项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，而结构可靠度可用功能函数的均值和标准差来表示。

假设n x x x ,...,,21为结构中互不相关的n 个基本随机变量，其均值为
),...,2,1(n i i
x =μ标准差为),...,2,1(n i i x =σ，将功能函数Z=G(n x x x ,...,,21)在
均值处Taylor 级数展开并取至一阶项：
)(),...,,(121i n x i n
i i x x x x x G G Z μμμμμ
-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+=∑= 由此可计算出功能函数的均值和标准差为：
),...,,(2
1
n
x x x Z G μμμμ=
∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=n
i x i Z i x G 12
2
σσμ
从而结构的可靠度可表示为：
∑=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
=
n
i x i x x x Z Z i
n
x G G 1
2
2)
,...,,(2
1
σμμμσμβμ
由以上论述可知，中心点法的最大的优势在于计算简便，不需要进行过多的数值计算，但其缺陷也是非常明显的：①不考虑随机变量的分布类型；②将非线性功能函数在基本随机变量均值处展开不合理，这是因为均值不一定在结构的极限状态面上，因此展开后的功能
函数可能会较大地偏离原来的极限状态面；③对有相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程，求得的结构可靠指标值不同。

（2）验算点法（JC 法）
验算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的计算。

对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。

当量正态化方法即为JC 法。

它的基本思想就是：①在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*I
X μ ,标准差为*I
X σ)的分布函数值
*I X F 与原随机变量(其均值*i x μ ，标准差为*I x σ)的分布函数值*I x F 相
等；②在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*I
X μ ,标
准差为*I
X σ)的概率密度函数值*I
X f 与原随机变量(其均值*i
x μ ，标准
差为*I
x σ)的概率密度函数值*I
x f 相等。

下面详细介绍一下验算点法的具体步骤。

引入标准正态随机变量，令：
i
i
x
x i i x y σμ-=
i=1,2,…,n ○
1 极限状态方程可表示为：
0)(),...,(111==++=y G y y G Z n n x n x x x σμσμ ○
2 定义方向余弦：
∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-
=
n
i x y i x y i
i i i
y G y G
12
2
*
*|σσα ○
3
其中，*y 表示标准正态空间内极限状态曲面的切平面的法线垂足，又可称为设计验算点。

*|y i
y G
∂∂表示功能函数对基本随机变量的偏导数在设计验算点处的值。

根据方向余弦的定义可得：
i i y βα= ○
4 因此根据○
1，○4两式可将原随机变量表示为： i xi xi i x αβσμ+=*，i=1,2,…,n ○
5 联合○3，○4，○5三式可求解β和原始设计验算点*i
x 。

上述计算过程通常需要迭代直到前后两次计算所得可靠度β相差不大，且原始设计验
算点*i x 满足极限状态方程○
2式为止。

因此， ()*x 和β的迭代计算过程为：
(1)设置原始随机向量*x 初始迭代点，如取均值，即xi i x μ=*，
i=1,2,…,n ；
(2)由○1式计算标准正态空间的设计验算点*i
y ； (3)计算功能函数梯度
*|y i
y G
∂∂和方向余弦在设计验算点*y 处的值； (4)将方向余弦值i α和随机变量的均值、标准差代入○2，○
5两式求出β 值和原始设计验算点*x ；
(5)判断前后两次计算所得的β值之间的误差是否满足精度要求，以及设计验算点*x 是否满足极限状态方程。

如果不满足要求则将(3)步中计算所得的*x 代入步骤(2)，重复步骤(3)至步骤(5)，直到结果满足要求为止。

2.响应面法
大型复杂结构的内力和位移一般要用有限元法进行分析，当对结构或结构构件进行可靠度分析时，所建立的极限状态方程也不再是一个显式表达式，从而造成了迭代求解可靠度的困难.响应而法是近年来发展起来的处理此类问题的一种有效方法，其基本思想是先假设一个包括一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间的解析表达式，然后用插值的方法来确定表达式中的未知参量。

选择响应面的表达式时，一方面要求尽可能地逼近真实曲面；另一方面则要求尽可能简单。

在实际应用中，通常可取为二次多项式形式：
(
)j n i n
j i ij
i
n i i n
i x x a
x a a x G ∑∑∑====++='11
1
1
}
{
其中，ij i a a a ,,0是待定系数，共有2
)
1(1++
+n n n 个。

若不考虑上式中的交叉项)(j i a ij ≠，则待定系数的个数可减少至2n+1个，即：
(
)21
1
1
}
{i
n
i ii i
n i i n i x a
x a a x G ∑∑===++='
因此，由上述论述可知，待定系数的求解是响应面法应用的关键。

为了得到响应面表达式中的待定系数，需要选择足够的展开点来计算极限状态函数()n i x G 1}{=的值，进而通过联立方程组求解待定系数ij i a a a ,,0，即可得到响应面函数的拟合表达式。

在实际计算过程中，为了提高计算精度，通常需要引进一些数值计算的冗余度，即所得到的方程的个数必须大于待定系数的个数，然后利用最小二乘法求待定系数ij i a a a ,,0的值，即：
[][][]}{}{G X A X X T T =
由此可得待定系数为：
[][]
()
[]}{}{1
G X X X A T T
-=
其中，系数矩阵或向量为：
[]⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=--n k n k k k n
k i
k n
k k n n n
n x x x x x x x x x x x x x x x x X ,1,2
,1,2
,2,,1,,11,12
,11,12,121
,1,11,1.........1...
.......
......
....
(1)
{G}={G 1,G 2,…,G k }
{A}={a 0,a 1,…,a n ,a 1,1,…,a n,n ,a 1,2,…,a n-1,n }T
其中，x ij 为第i 组数据中第j 个随机变量的样本值；G i 为第i 组随机变量样本值代入响应面函数中所得到的值。

但上述方法随着随机变量数目的增加，其计算量将变得非常庞大，因此在实际计算过程中不需要在整个空间上使响应面()n i x G 1}{='和精确的失效界面()n i x G 1}{=相吻合，只需要在验算点附近一致即可。

因为，这一区域对结构总的失效概率贡献最大，因此[][][]}{}{G X A X X T T = 式中应将展开点取在验算点附近，但是在计算时并不知道验算点的位置，因此，需要预先选取随机变量展开点的取值范围。

如果展开点取值范围很宽，验算点比较容易落在该范围内，但是所得到的多项式对实际的失效函数的拟合度就比较差；若取值范围过窄，验算点就有可能不落在该范围内，从而使所得到的多项式不能与实际的极限状态 函数在该点处拟合。

因此，在实际计算过程中，若已知各基本随机变量的分布类型和
分布参数，则首先以均值点为中心，展开点的选择范围则取为
xi xi xi f σμμ±~,其中xi xi σμ,别为随机变量x i 的均值和标准差，如下图所
示为两个随机变量的插值点选取。

取若干组展开点后就可以计算极限状态函数的近似表达式
()
n i x G 1}{='，第一次得到的结果在验算点附近可能与真实的极限状态函
数()n i x G 1}{=的拟合程度并不是很好，这时可根据()n i x G 1}{='计算近似的验算点，然后以近似验算点为中心展开点，重复上述计算过程，直到达到精度要求为止，计算过程可形象地表示如下：
均值处的样本点
设计验算点处的样本点
其中，曲线为真实的失效界面：直线为拟合的失效界面；“○”表示展开点。

另外，在随机变量比较多的情况下，涉及到交叉项的响应面法的计算量比较大，所以可根据实际情况忽略响应面展开式中的交叉项，简化计算。

同时，在实际计算过程中，若结合有限元法来计算功能函数()n i x G 1}{=的值，则可以运用响应面法分析各种复杂的工程问题。

在拟合响应面求出以后，采用蒙特卡罗法或其他改进算法进而求出结构的失效概率。

3.蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法是一种采用统计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。

利用蒙特卡罗方法解决问题，其基本思想是:首先建立与描述该问题有相似性的概率模型，并利用这种相似性把这个概率模型的某些特征(如随机变量的均值、方差等)与数学计算问题的解答联系起来，然后对模型进行随机模拟或统计抽样，最终利用所得结果求出这些特征的统计估计值作为原来的数学计算问题的近似值。

假设有n 个统计独立的随机变量X 1,X 2,…,X n ，其对应的概率密度函数分别为xn x x f f f ,...,,21，极限状态函数为),...,,(21n x x x g Z =，现在计算结构的失效概率f P 。

蒙特卡罗法求解结构失效概率的过程如下:
(1) 首先用随机抽样分别获得各变量的分位值n x x x ,...,,21； (2) 计算极限状态函数值: ),...,,(21n i x x x g Z =；
(3) 设抽样数为N ，每组抽样变量分位值对应的极限状态函数值 为i Z ，i Z <0的次数为L ，则在大批抽样之后，结构失效概率
可由式f P =L/N 算出。

可见在蒙特卡罗法中，失效概率就是结构失效次数占总抽样数的频率，这就是蒙特卡罗法的基本点。

用蒙特卡罗法计算失效概率的方法很多，有直接法、平均值法、半解析法以及改进法等。

直接法就是对极限状态方程中的随机变量直接作数值模拟，从而得到结构的失效概率。

设功能函数),...,,(21n x x x g Z =，并定义),...,,(21n x x x g Z =<0为结构失效，又),...,,(21n X X X f 为各随机变量的联合分布概率密度函数，结构的失效概率是
n n f dx dx x x x f P ...),...,,(...121⎰⎰=
当各随机变量互相独立时，有
∏⎰==n
i i n
x f x
x x f 1
2
1
)(),...,,(
为了便于表达，引进一个指标函数
其它
,00
),...,,(,1{
)),...,,((2121≤=n n x x x g x x x g I 根据数学期望的定义，有
))],...,(([1nj j f x x g I E P =
上式中f P 的一个无偏估计是
∑==
n
j nj j
f x x
g I M
P 1
1)),...,((1
式中: ),...,(1nj j x x g 是随机变量第j 次抽样得到的观察值。

它的意义是对随机变量(X 1,X 2,…,X n )进行M 次独立抽样，代入功能函数),...,,(21n x x x g Z =中得到一个观察值。

若),...,,(21n x x x g Z =<0或
1)),...,,((21=n x x x g I 为结构失效，则结构失效频数之和与抽样次数M 之
比，即为结构的失效概率。

显然，抽样次数越多，失效频率将渐近于失效概率。

蒙特卡罗法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。

根据大数定理，设n x x x ,...,,21是n 个独立的随机变量，若它们来自同一母体，有相同的分支，且具有相同的有限均值和方差，分别用μ和2σ表示，则对于任意ε>0有:
01lim 1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥∑=∞→εn i i n x n P 另有，若随机事件A 发生的概率为P(A),在n 次独立试验中，事件A 发生的频数为m ，频率为W(A)=m/n ，则对于任意ε>0有:
1)(lim =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∞→εA P n m P n 蒙特卡罗法是从同一母体中抽去简单子样来做抽样试验。

根据简
单子样的定义，n x x x ,...,,21是n 个具有相同分布的独立随机变量，由上两式可知，当n 足够大时，
n
x i ∑)
(依概率收敛于μ，而频率m/n 依概
率收敛于P(A)，这就是蒙特卡罗法的理论基础。

设抽样次数为N ，每组抽样随机数对应的功能函数值为)(i g ，
0)(≤i g 的次数为L ，则在大批抽样后，结构的失效概率可由下式计算:
N L P f /=
蒙特卡罗法的误差可由下式计算:
2
1)()
1(2⎥⎦
⎤⎢
⎣
⎡⋅-=f f P N P ε 可见取样数N 越大，误差ε越小。

因此，要达到一定的精度，N 必须取得足够大。

一般应满足:
f
P N 100
≥
式中f P 为预先估计的失效概率。

在工程中，一般f P 是个很小的数，因此要求计算的N 非常大，但据有关资料，N 取500次即可满足工程精度。

现在的问题归结为:如何得到各随机变量戈的抽样，其条件是使X i 满足它的概率分布函数F(x i )或概率密度函数f(x i )。

根据随机变量函数的理论，只要知道一种具有连续分布的随机变量，就可以通过变换或运算产生其它任意分布的随机变量。

而[0，1]区间均匀分布的随机变量是最简单最基本的分布，因此只要能够产生[0，1]区间上均匀分布的随机数列n ξξξ,...,,21，便可通过数学变换得到其它分布的随机数列。

电子计算机都备有可直接使用的均匀分布随机数函数或程序，如RAND等。

一般是用数值转换中的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并不是随机的，因此称为伪随机数。

不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连续检验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用。

蒙特卡罗方法的解题步骤如下:
(1) 根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等)，所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。

(2) 根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数，进行“抽样”。

通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。

(3) 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

(4) 按照所建立的模型进行仿真实验、计算，求出问题的随机解。

(5) 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。

在可靠性分析和设计中，用蒙特卡罗模拟法不但可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，而且还可以模拟随机过程、寻求系统
最优参数等。

为了有效地将蒙特卡罗技术应用于实际问题，必须注意以下几点:
(1) 为基本变量X的数值抽样开发一套系统的方法;
(2) 选择一项合适的、经济的和可靠的模拟技术或抽样策略;
(3) 考虑计算功能函数Z的复杂性和所用模拟技术中基本变量的数
量;
(4) 对于某一给定的模拟技术来说，应当能够确定要得到合理的
P估
f 算所需要的抽样数量。