四川省德阳市永安镇中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析

四川省德阳市永安镇中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得
，则称函数在D上的几何平均数为C.已知，则函数在上的几何平均数为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．
【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为
，
而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，
所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；
故选B
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断；关键是明确线段AB中点与圆上点的距离范围．
3. 设偶函数在上是单调减函数，则与的大小关系是
（）
A． B．C． D．不能确定
参考答案：
C
4. f(x)是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数，设a＝，b＝,c＝
，则a，b，c的大小关系是
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 参考答案：
C
5. 设，且则（）
A．10 B． C． 20 D． 100
参考答案：
A
6. （5分）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（）
A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x
参考答案：
D
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．
解答：根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A；
根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；
将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意
故选D．
点评：本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．
7. 高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()
A. 13
B. 17
C. 19
D. 21
参考答案：
C
【分析】
直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.
【详解】因为，
所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，
所以样本中的另一个学生的编号为，故选C．
【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.
8. 集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
参考答案：
B
【考点】子集与真子集．
【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．
【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．9. （4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）内单调递增的是（）
A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣x
参考答案：
B
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本初等函数的单调性与奇偶性，对选项中的函数进行判断即可．
解答：对于A，y=x3是定义域R上的奇函数，∴不满足题意；
对于B，y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足题意；
对于C，y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于D，y=2﹣x是定义域R上非奇非偶的函数，∴不满足题意．
故选：B．
点评：本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判断问题，是基础题目．
10. 已知函数则等于( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）一个几何体按比列绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m2．
参考答案：
2
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由三视图可知：该几何体为一个组合体，利用正方体的体积计算公式即可得出． 解答： 解：由三视图可知：该几何体为一个组合体， 该几何体的体积V=2×13=2． 故答案为：2．
点评： 本题考查了组合体的三视图、正方体的体积计算公式，属于基础题．
12. 已知函数f （x ）=，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a=0有且只有一个实根，则实数a
的取值范围是
．
参考答案：
（1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】关于x 的方程f （x ）+x ﹣a=0有且只有一个实根?y=f （x ）与y=﹣x+a 的图象只有一个交点，结合图象即可求得．
【解答】解：关于x 的方程f （x ）+x ﹣a=0有且只有一个实根?y=f （x ） 与y=﹣x+a 的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图， 观察函数的图象可知当a ＞1时，y=f （x ）与y=﹣x+a 的图象
只有一个交点，即有a ＞1． 故答案为：（1，+∞）
13. 若△ABC 的内角A 满足sin2A=
，则sinA+cosA= ．
参考答案：
【考点】二倍角的正弦．
【分析】根据sin2A 的值确定A 的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本
关系把等式右边的“1”变为sin 2A+cos 2A ，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A 化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A 的范围，开方即可得到sinA+cosA 的值． 【解答】解：因为A 为三角形的内角且
，所以2A ∈（0，180°），则A ∈（0，90°）
把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin 2A+2sinAcosA+cos 2A=（sinA+cosA ）2= 所以sinA+cosA==
故答案为：
14. 从集合A 到集合B 的映射f ：x→x 2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B 中至少有 个元素．
参考答案：
3
【考点】映射．
【专题】分类讨论；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】根据映射的定义，分别求出A中元素对应的值，进行判断即可．
【解答】解：当x=±1时，x2+1=1+1=2，
当x=±2时，x2+1=4+1=5，
当x=0时，x2+1=0+1=1，
故B中至少有1，2，5三个元素，
故答案为：3
【点评】本题主要考查映射的定义，比较基础．
15. 一球的表面积与它的体积的数量相等，则球的半径为_____________.
参考答案：
略
16. 数列{a n}的前n项和S n=n2+1，则a n= .
参考答案：
=
略
17. 在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．
参考答案：
60°三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）设直线和圆相交于点。

（1）求弦的垂直平分线方程；
(2)求弦的长。

[来源:]
参考答案：
（1）圆方程可整理为：，
整理得：。

（2）圆心到直线的距离，
故。

19. （本小题12分）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－4＝0互相垂直，求点P(2，- 5)到直线2x ＋my－4＝0 的距离.
参考答案：
20. 已知P、Q为圆上的动点，，为定点，
（1）求线段AP中点M的轨迹方程；
（2）若，求线段PQ中点N的轨迹方程.
参考答案：
（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）
【详解】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为.
∵点在圆上，
∴.
故线段中点的轨迹方程为
（2）设的中点为，
在中，，
设为坐标原点，连结，则，
所以，
所以.
故中点的轨迹方程为
21. 已知圆C：x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2）
（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；
（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
参考答案：
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）求出圆心为C（﹣1，1），半径，求出AB的斜率，直线CD的斜率，然后求解直线CD的方程．
（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，通过圆心C到直线的距离求解即可；
②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，通过圆心C到直线的距离求解即可；
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，圆心为C（﹣1，1），半径，，
∴直线CD的斜率为：，
∴直线CD的方程为：y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y﹣1=0．
（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，
则圆心C到直线的距离为，解得k=1，得直线为y=x，
②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，则圆心C到直线的距离为，解得a=±2，得直线为x+y=2或x+y=﹣2，
综上所述，直线方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0或x+y+2=0．
22. 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧BC的中点为D．求证：AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】（Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，由已知可证AC∥OE，线线平行即可证明线面平行AC∥平面POD；证法2：由AB是底面圆的直径，可证AC⊥BC，利用OD⊥BC，可证AC∥OD，即可判定AC∥平面POD．
（Ⅱ）设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，可求，利用三角形面积公式可求r，进而可求此圆锥的表面积．
【解答】解：（Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC?平面POD，OE?平面POD，
∴AC∥平面POD．
证法2：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC，
∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC，
又AC，OD共面，∴AC∥OD，
又AC?平面POD，OD?平面POD，
∴AC∥平面POD．
（Ⅱ）解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴，
∵由，得r=3，
∴．。