2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第九章 平面解析几何9.6

√B.双曲线
C.抛物线
D. 圆
解析 如图，连接ON， 由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点， 又O为F1F2的中点， ∴|MF2|＝2. ∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， ∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|， ∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
×
√
√
123456 7
√
123456 7
题组二 教材改编
√
123456 7
√
123456 7
123456 7
4.[P62A组T6]经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ____________. 把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负训练1 (2016·浙江)设双曲线x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P 在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
由对称性不妨设P在右支上， 设|PF2|＝m， 则|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2为锐角三角形，
又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没 有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0<a<b，双曲线哪些性质受影响？
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲 线.( × )
图形
性质
范围 对称性 顶点
_x_≥__a_或__x≤__－__a_，__y_∈__R_ _x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a_ 对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
√
123456 7
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2， 由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)， ∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1， ∴－1<n<3，故选A.
123456 7
√
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
离心率
e∈ (1，＋∞)，其中c＝_______
性质
实虚轴
a，b，c 的关系
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ， 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【概念方法微思考】 1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为 双曲线吗？为什么？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
S△F1PF2
思维升华
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线， 进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1| －|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|， 则cos∠F1PF2＝_____.
引申探究
1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的 面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|·|PF2|＝8， S△F1PF2
提示 不一定. 当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
123456 7
123456 7
123456 7
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
师生共研
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点
F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的
轨迹是 A.椭圆
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
大一轮复习讲义
第九章 平面解析几何
§9.6 双曲线
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做_双__曲__线__ _的__焦__距__.
师生共研
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)， △ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是
图形
性质
范围 对称性 顶点
_x_≥__a_或__x≤__－__a_，__y_∈__R_ _x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a_ 对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
_________
_________