多元统计分析--常用统计量及均向量的统计推断

设有某正态总体 N , 2 ，现有一大小为 n 的样 本， 其均数和标准差分别为 X 和 S。X 是总体均数 的 估计值。问此样本是否来自均数为 0 的总体？
H 0 : 0 ，检验水准为α
t
X 0 S n
t 服从于自由度为 n -1 的 t 分布。 t t ,n1 ，在α 水准拒绝 H 0 ； t t ,n1 ，在α水准上不拒绝 H 0 。 在 H 0 成立的条件下， t 2 F ，也可根据 F 分布作 出统计推断。此时，1 1, 2 n 1 。
比较不同地区儿童生长发育情况 不同种族正常人头发中微量元素的含量 不同组别的IgG,IgM,IgA,IgE 不同组别的CD2,CD3,CD4,CD8,CD4/CD8
关系
探索病因
校正混杂因素
调整基线
探讨巯基丁氨酸(homocysteine)与血压、冠心病 的关系，需调整年龄、性别、种族、已知的与冠 心病有关的其他因素。
X 3 74.3750
单变量时，对每个变量分别计算 X 和 S 2 。 多变量时，则计算每个变量的均数、方差以及 变量间的协方差和相关系数。
为了清晰表达多变量间的关系，常用矩阵 (matrix)表示。构成矩阵的每个数据称为元素 (element)。这里称为均向量、方差协方差矩阵。
1.1均向量(means vector)
预测：回归模型
分类：聚类分析与判别分析、回归模型 评价：主成分分析与因子分析
回归：多元线性回归、logisitic回归、Cox回归、Poisson回归
4 多元分析的主要内容 均向量的统计量推断
Hotelling T 2 multivariate analysis of variance (MANOVA)
其中： r r S S i k k i i k
S S S S i i k k
i 12 、 m , k 12 、m , ik
correlation coefficients matrix
r 1 0 . 8926 0 . 8020 11 r 12 r 13 R r 0 . 8926 1 0 . 9168 21 r 22 r 23 r r r 0 . 8020 0 . 9168 1 31 32 33
2 j i n
对角线两侧为变量间的协方差：
V V X X X X 1 ， i n i k k i i j i k j k协方差为更一般的形式。
总体协方差阵
11 12 21 22 n1 n 2
身 高 (cm)
2.均向量的统计推断
多元T检验
多元配对设计均向量检验 多元成组设计两样本的均向量检验
多元方差分析
多元成组设计资料的分析 多元区组设计资料的分析 多元方差分析的正确应用
2.1多元T检验(Hotelling T 2检验)
(1) Student-t 检验的简单回顾 ① 检验一样本是否来自某已知总体
二元正态分布曲面(11=2,22=4,12=－0.75)
二元正态分布曲面(11=2,22=4,12=0.75)
医用多元统计分析方 法
二元正态分布曲面剖面(11=1,22=1/2,12=－0.75)
m元正态分布的性质
每一个变量均服从正态分布。
变量的线性组合服从正态分布。
r 1 11 R r 0 . 8926 1 21 r 22 r r r 0 . 8020 0 . 9168 1 3 1 3 2 3 3
如事先对每个变量做标准化变换，则变换 后变量的协差阵等于原变量的相关阵。
离差和－离差积和－相关系数矩阵
例1.1 调查某地16岁中学生12名，其身高、体重和胸围
资料见下表。
表 1.1 12 名 16 岁中学生身高、 体重和胸围测量资料 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
身高(cm) x1 171.0 175.0 159.0 155.3 152.0 158.3 154.8 164.0 165.2 164.5 159.1 164.2
j 1
n
S S 与V的关系为：
SS S Sn 1 V 或 V n 1
1.4相关系数阵
X1与X2的相关系数为：
r r S S S S S S 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2
5 5 35 0 27 6 50 . 8 9 2 6
变量本身的相关系数为1，因此：
多元统计分析
蒋 敏 卫生统计学教研室
多元分析常用统计量 与均向量的统计推断
为什么要学多元分析？
事物间的关系是错综复杂的，多元的； 研究本身是多因素的； 应用多元分析获取更丰富的信息； 提高论文的档次。
多元统计分析有哪些应用
比较 关系
预测
分类
评价
比较
比较
探索与预后有关的因素
影响黑色素瘤患者的生存时间的因素：年龄、性 别、病灶部位、浸润深度
预测
疾病预后的预测 是否会患某病的预测
哪些人更容易患糖尿病? 年龄、家族史、工作性质、 BMI、腰臀比等；
乳腺癌患者手术后的生存时间？年龄、家族史、并 发症、复发、化疗等； 法医鉴定中死亡时间的推算：根据尸体的直肠温度、 环境温度、停尸物的质地等。
多元线性回归(multivariate linear regression) 主成分分析(principal component analysis) 因子分析(factor analysis) 聚类分析(cluster analysis)
判别分析(discriminant analysis)
X1 161.8667
体重(kg) x2 58.5 65.0 38.0 45.0 35.0 44.5 44.5 51.0 55.0 46.0 48.0 46.5
X 2 48.0833
胸围(cm) x3 81.0 87.0 71.0 74.0 63.0 75.0 74.0 72.0 79.0 71.0 72.5 73.0
vij=vji，协方差阵是对角阵
v 4 5 . 7 2 2 4 1 1 V v v 5 0 . 3 6 2 1 6 9 . 6 2 8 8 1 2 2 2 3 2 . 2 3 1 8 4 5 . 4 6 5 9 3 5 . 3 2 3 9 v v v 1 3 2 3 3 3
j = 1 n
1 7 1 1 6 1 5 8 4 8 1 6 4 1 6 1 4 6 4 8 1 1 5 0 . 3 6 2 1
本例共三个协方差。 v13=v31=32.2318 v23=v32=45.4659
样本协方差阵
r r r 1 1 1 2 2 3 3
将各变量间的相关系数用矩阵形式排列， 称相关阵。记为R(See P.3)。
,X 一般地，n个观察对象有m个 X 1 2, , X m变 量，则有m×m维的样本相关阵：
1 r2 1 R rm 1 r1 2 1 r1 m 1
② 检验两样本是否来自同一总体
设两样本来自两个具有公共方差的总体 1 2 和

2 ，两样本有关指标分别为 n1, X1,S1 和 n2 , X 2 ,S2 。 2
H0 : 2 ，检验水准为α
X t
1
X2
S X1 X 2
502.9464 0.8926 0.8020 553.9831 765.9168 0.9168 354.5498 550.1249 388.5629
3 多元正态分布的性质
二元正态分布曲面(11=1,22=1,12=0)
二元正态分布曲面(11=1,22=1,12=0)
二元正态分布曲面(11=2,22=4,12=0.75)
分类
计算机辅助诊断系统 临床诊断
病毒鉴别
胸痛患者如何快速诊断(是否急性心肌缺血?) 对体形进行分类，制作服装 对口腔牙列进行分类，预制牙列
评价
综合评价
医院效益评价
卫生投入产出评价
健康状况评价
各种应用对应的多元统计分析方法 比较：多元方差分析
关系：回归模型
X m1
X m2
X 1n
X mn
X1
样本均向量为： 总体均向量为：
X X 1 X 2
X2
X m
Xm
1 2
m
1.2 方差、协方差矩阵
方差：变量自身的变异； 协方差：变量与另一变量的协同变异(即：一个 变量随另一个变量变化的关系)。 方差、协方差矩阵：将各指标的方差、协方差 用矩阵的形式排列，得方差-协方差矩阵 (variance-covariance matrix)，简称协方差阵 (covariance matrix)，用字母V表示。

1m 2m nm
1.3离均差平方和与离均差积和矩阵
将各变量的离均差平方和与离均差积和用 矩阵排列，该矩阵称为离差阵(SSCP)。用SS或 L表示。 2 n SSii Xij Xi
j 1
S S X X X X i k i j i k j k
v 4 5 . 7 2 2 45 0 . 3 6 2 13 2 . 2 3 1 8 1 1 v 1 2 v 1 3 V v v v 5 0 . 3 6 2 1 6 9 . 6 2 8 8 4 5 . 4 6 5 9 1 2 2 2 3 2 3 2 . 2 3 1 8 4 5 . 4 6 5 9 3 5 . 3 2 3 9 v v v 1 3 2 3 3 3
本课程的要求 上机做练习，分析实际资料
学会看文献，判断统计分析的应用是否正确
统计软件SAS，或Stata 考试：
平时作业与考勤 期末考试：闭卷
第一讲内容：
多元分析常用统计量 多元T 检验 多元方差分析
多元分析常用统计量
均向量
方差、协方差矩阵 离均差平方和与离均差积和矩阵 相关系数矩阵
一般地，如n个观察单位测量了m个变量， 则样本协差阵为维的对称阵。记为：
V11 V12 V V 21 22 V Vm1 Vm 2
V1 m Vmm
其中：对角线上为各变量的方差： ， i 1 ， 2 m V Xij Xi n1 ii
m 元正态分布中的任意 k (0<k<m)个变量服 从 k 元正态分布。
m元正态分布的条件分布仍服从正态分布。
协方差为0的变量间相互独立。
二元正态相关变量的参考值范围
体 重 (kg)
75 70 65 60 55 50 45 40 152 156 160 164 168 172 176 180
将各变量的均数用矩阵形式排列，称为均 向量。如本例均向量为三维列向量：
161 X 48 74 31
其转置向量为三维行向量：
X 1 6 1 4 87 4 13
更一般地：
观测对象 1 2 n
X1
X2
X 22 X 2n
Xm
X 11 X 21
X 12
本例：第1个变量方差为：
v X 14 5 . 7 2 2 4 X n 1 1 1 j 1
2 j 1 n
本例共三个方差： v22=69.6288 v33=35.3239
第1个变量与第2个变量的协方差为：
v v X X X X 1 n 2 1 1 2 1 j 1 2 j 2