材料力学习题弯曲应力

弯 曲 应 力
基 本 概 念 题
一、择题(如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。

)
1. 弯曲正应力的计算公式y I M
z
=
σ的适用条件是（ ）。

A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B ．粱内最大应力不超过材料的比例极限 C ．粱必须是纯弯曲变形 D ．粱的变形是平面弯曲 E ．中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M
z
=
σ中，I z 为粱的横截面对（ ）轴的惯性矩。

A . 形心轴 B ．对称轴 C ．中性轴 D ．形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面，如图所示，则梁的抗弯截面模量W 为（ ）。

A .
32
3
D π B ．
)1(32
4
3
απ-D C ．
32
3
d π
D ．
32
32
3
3
d D ππ-
E ．2
6464
4
4
D
d D ππ-
题3图 题4图
4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z
z
S bI S F *=τ中，S *z 表示
的是（ ）对中性轴的静矩。

A ．面积I
B ．面积Ⅱ
C ．面积I 和Ⅱ
D ．面积Ⅱ和Ⅲ
E ．整个截面面积
-21-
5．欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z
z
S bI S F *=τ中，b
应取（ ）。

A ．上翼缘宽度
B ．下翼缘宽度
C ．腹板宽度
D ．上翼缘和腹板宽度的平均值 6．图为梁的横截面形状。

那么，梁的抗弯截面模量W z ＝（ ）。

A . 62bh
B ．32
63
2d bh π-
C ．2641243h
d bh ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-226412
43d h d bh π
7．两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦)，如图所示。

那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( )
A . 62bh
B ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛622
bh C ．)2(612
h b D ．h bh 21222⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
8．T 形截面的简支梁受集中力作用(如图)，若材料的[σ]- ＞[σ]+，则梁截面位置的合理放置为( )。

-22-
9．如果杆件横截面上各点σ＝0，则截面上无（ ）。

A ．内力
B ．M
C ．F N
D ．F S
E ．T
二、判断题
1．在变截面粱中，最大正应力不一定出现在弯矩值最大的截面上。

( ) 2．粱中的最大正应力和最大剪力一定不会出现在同一截面。

( )
3．在工程中，按正应力强度条件设计的粱，大多数不满足剪应力强度条件。

4．对于等截面粱，最大剪应力的值必出现在剪力值最大的截面上。

( ) 5．中性轴的位置是由几何关系确定的。

( )
6．纯弯曲时，横截面变形后保持为平面，其形状和大小均保持不变。

( )
7．若梁的截面是T 形截面，则同一截面上的最大拉应力和最大压应力的数值不相等。

( )
三、填空题
1．不管是抗扭还是抗弯，空心圆截面都比实心圆截面( )。

2．当杆件在弹性范围内发生平面弯曲时，中性层的变形是( )。

3．在弯曲正应力公式y I M
z
=
σ中，y 表示欲求应力点到( )的距离。

4．如杆件在弹性范围内发生平面弯曲，则中性轴为横截面的( )。

5．在一般情况下，大多数梁的强度都是决定于( )强度。

6．矩形截面梁，横截面上任一点的弯曲剪应力方向都与( )一致。

7．如果横截面关于中性轴对称，那么横截面上的最大拉应力和最大压应力的数值。

( ). 8．弯曲正应力公式y I M
z
=
σ在使用时要求梁的变形是( )；梁中的最大应力( )。

9．如果外力作用面与梁的形心主惯性平面重合或平行；且通过截面的弯曲中心，并且外力作用线垂直轴线，那么梁将发生( )。

-23-
计 算 题
1. 简支梁承受均布载荷如图所示。

若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D 1＝ 40 mm ，
22D d ＝5
3
，试分别计算它们的最大正应力。

并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？
题1图
2. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l ＝ 4 m ，h b
＝ 3
2，q ＝ 10 kN/m ，[σ] = 10 MPa 。

试确定此梁横截面的尺寸。

题2图 题3图
3. 压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为45钢，σs ＝ 380 MPa ，取安全因数n ＝1.5。

试校核压板的强度。

4. ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。

若材料的拉伸许用应力[σt ] ＝ 40 MPa ，压缩许用应力[σC ]＝160 MPa ，截面对形心轴z C 的惯性矩I zC ＝ 10180 cm 4， h 1 ＝ 9.64 cm ，试计算该梁的许可载荷F 。

题4图 题5图
-24-
5. 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。

其许用拉应力[σt] = 40 MPa，许用压应力[σ
c]= 160 MPa。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载荷不变，但将T形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
6. 截面为正方形的梁按图示两种方式放置。

试问哪种方式比较合理？
题6图题7图
7. 半径为r的圆形梁截面，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面系数增大（何故？）。

试求使W为极值的α，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？
8. 为改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。

设主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1和W2，材料相同，试求辅助梁的合理长度a。

题8图题9图
9. 我国营造法式中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h : b ＝ 3 : 2。

试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

-25-
材料力学习题答案2
7.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。

应力的单位为MPa 。

解 (a) 如受力图(a)所示
()70x MPa σ=，()70y MPa σ=-，0xy τ=，30α=
(1) 解析法计算（注：P217）
()
cos 2sin 22
270707070 cos 6003522
x y
x y
xy MPa ασσσσσατα
+-=
+
--+=+-= ()7070
sin cos 2sin 60060.62
2
x y
xy MPa ασστατα-+=
+=
-= (2) 图解法
作O στ坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由x σ、xy τ定Dx 点, y σ、yx τ定Dy 点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C 点, 以C 点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。

由CDx 起始, 逆时针旋转2α= 60°,得D α点。

从图中可量得
D α点的坐标, 便是ασ和ατ数值。

7.4 已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为MPa 。

试用解析法及图解法求:
(1) 主应力大小，主平面位置；
(2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； (3) 最大切应力。

解 (a) 受力如图(a)所示
()50x MPa σ=，0y σ=，()20xy MPa τ=
(1) 解析法 （数P218）
2
max 2
min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭
()(
)2
2
5750050020722MPa MPa ⎧+-⎪⎛⎫=±+=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩
按照主应力的记号规定
()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-
02220
tan 20.8500
xy
x y
τασσ⨯=-
=-
=---，019.3α=-
()13
max 577
3222
MPa σστ-+=
=
= (2) 图解法
作应力圆如图(a1)所示。

应力圆与σ轴的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ 的数值。

由x CD 顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。

应力圆的半径即为最大切应力的数值。

主应力单元体如图(a2)所示。

(c) 受力如图(c)所示
0x σ=，0y σ=，()25xy MPa τ=
(1) 解析法
2
max 2
min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭
()()2500252MPa MPa ⎧+⎪==⎨-⎪⎩
按照主应力的记号规定
()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-
02225
tan 200
xy
x y
τασσ⨯=-
=-
=-∞--，045α=- ()13
max 2525
2522
MPa σστ-+=
=
= (2) 图解法
作应力圆如图(c1)所示。

应力圆与σ轴的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ 的数值。

由x CD 顺时针旋转02α， 可确定主平面的方位。

x CD 的长度即为最大切应力的数值。

主应力单元体如题图(c2)所示。

7.33 对题7.4中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应力。

设0.25μ=，
1
4
t c σσ=。

解(a) ()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-
()1157r MPa σσ== （书：247）
()()()2123570.250758.8r MPa σσμσσ=-+=-⨯-= ()31357764r MPa σσσ=-=+=
4r σ=
()60.8
MPa =
=
()131
57758.84
t rM c MPa σσσσσ=-
=+⨯= （书：P250，讲课没有讲）
(c) ()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-
()1125r MPa σσ==
()()()2123250.2502531.3r MPa σσμσσ=-+=-⨯-= ()313252550r MPa σσσ=-=+=
4r σ=
()43.4MPa =
= ()131
252531.34
t rM c MPa σσσσσ=-
=+⨯=
7.35 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa 、-900MPa 、-1100MPa 。

若[σ] = 300MPa ，试对接触点作强度校核。

解 ()1800MPa σ=-，()2900MPa σ=-，()31100MPa σ=-
()[]()3138001100300300r MPa MPa σσσσ=-=-+===
4r σ=
()264MPa =
= []()300MPa σ≤=
用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。

8.3 图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小
车等)为W=40kN ，横梁AC 由两根No.18槽钢组成， 材料为Q235钢，许用应力
[σ]=120MPa 。

试校核横梁的强度。

解 梁AC 受压弯组合作用。

当载荷W 移至AC 中点处时梁内弯矩最大，所以AC 中点处横截面为危险截面。

危险点在梁横截面的顶边上。

查附录三型钢表（P406），No.18槽钢的A=29.30cm 2，Iy=1370cm 4 W=152cm 3。

根据静力学平衡条件， AC 梁的约束反力为：
()0C i M F =∑， 3.5sin30 1.750RA F W -= ①
0ix F =∑， cos300x RA RC F F -=
由式①和②可得：
RA F W =， cos30cos30x RC RA F F W ==
危险截面上的内力分量为：
() cos3040cos3034.6x N RC F F W kN ===⨯=
()3.5sin 30 1.75sin 30 1.75400.5352RA M F W kN m =⨯==⨯⨯=
危险点的最大应力
()33
max 4634.6103510121229.310215210N
y
F M
MPa A W σ--⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯⨯ (压)
最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。

8.8 图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，
F=15kN ，许用拉应力[
]t σ=35 MPa 。

试确定立
柱所需直径d 。

解 立柱横截面上的内力分量如图(b)
所示，F N ＝F=15kN ，M=0.4F=6kN ·m ，这是
一个拉弯组合变形问题，横截面上的最大应力
33max 23234324151032610N N y F F M M A W d d d d
σππππ⨯⨯⨯⨯=+=+=+ 根据强度条件[]max σσ≤，有
33
62341510326103510d d
ππ⨯⨯⨯⨯+≤⨯ 由上式可求得立柱的直径为：()()0.122122d m mm ≥=。

8.12 手摇绞车如图(a)所
示，轴的直径d=30mm ，材料
为Q235钢，[]σ=80MPa 。

试
按第三强度理论，求绞车的
最大起吊重量P 。

解 圆轴受力图、扭
矩图、弯矩图如图(b)所示。

这是一个弯扭组合变形问题， 由内力图可以判定，C 处为危险截面。

其上的弯矩和扭矩分别为
()0.40.2C RA M F P N m ==
()0.18C T P N m =
按第三强度理论：[]W
σ≤ （书P273） 将C M 、C T 值代入上式得
()36
0.038010788P N π⎛⎫⨯⨯ ⎪≤= 绞车最大起吊重量为P=788N 。

8.13 电动机的功率为9kW ，转速为715r/min ，带轮直径D=250mm ，主轴外伸部分长度120l mm =，主轴直径d=40mm 。

若
[σ]=60MPa ，试用第三强度理论校核轴的强
度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。

显然危险截面在主轴根部。

该处的内力分量分别为：
扭矩： ()995499549120715
P T N m n
==⨯= 根据平衡条件，222
D D F F T ⨯-⨯=，得 ()221209600.25T F N D ⨯=== 弯矩： ()339600.12346M Fl N m ==⨯⨯=
应用第三强度理论
()
()()[]()max 33325830000058.3604010Pa MPa MPa W σσπ-====≤=⨯⨯ 最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。

8.14 图(a)为操纵
装置水平杆，截面为空心
圆形，内径d=24mm ，外径
D=30mm 。

材料为Q235钢，
[σ]=100MPa 。

控制片受
力F 1=600 N 。

试用第三强
度理论校核杆的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。

空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。

利用平衡条件可以求出杆上的反力，并作内力图(b)。

从内力图可以判定危险截面
在B 处，其上的扭矩和弯矩为：
()10.20.2600120T F N m ==⨯=
()71.3M N m ==
应用第三强度理论
()()[]()max 43328920000089.2100240.03130Pa MPa MPa W σσπ====≤=⎡⎤⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。

9.3 图示蒸汽机的活塞杆AB ，所受的压力F=120kN ，l =180cm ，横截面为圆形，直径d=7.5cm 。

材料为Q255钢，E=210GPa ，
240p MPa σ=。

规定st n = 8，试校核活塞的稳定性。

解 活塞杆的回转半径
4
d i === 对于两端铰支杆，μ=1，所以杆的柔度
1 1.8960.075/4
l
i μλ⨯===
192.9λ=== 因 1λλ>，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即
()()()()294222210100.075649940009941 1.8cr EI F N kN l πππμ⨯⨯⨯⨯====⨯ 工作安全因数：st 9948.288120
cr F n n F ===>= 工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。

9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。

杆端承受压力。

杆长 4.5l m =,横截面直径
d=15cm 。

材料为低合金钢，200p MPa σ=，E =
210GPa 。

两端可简化为铰支座，规定的稳定
安全因数为 3.3st n =。

试求顶杆的许可载荷。

解
1102λ=== （书P301） 顶杆的柔度为：
1 4.5120/40.15/4
l
l
i d μμλ⨯==== 因 1λλ>,属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界载荷，即
()()()()294222210100.1564254000025401 4.5cr EI F N kN l πππμ⨯⨯⨯⨯====⨯
顶杆的许可载荷：
()25407703.3
cr st F F kN n ===
9.8 某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。

推杆由丝杆通过螺母来带动。

已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢，E=210GPa ，240p MPa σ=。

当推杆全部推出时,前端可能有微小的侧移,故简化为一端固定、一端自由的压杆。

这时推杆的伸出长度为最大
值，max 3l m =。

取稳定安全因数
4st n =。

试校核压杆的稳定性。

解 一端固定、另一端自由的
压杆的长度系数μ=2。

推杆的柔
度为：
23185/40.13/4
l
l
i d μμλ⨯====
192.9λ=== 因 1λλ>,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即
()()()()294
222210100.136480700080723cr EI F N kN l πππμ⨯⨯⨯⨯====⨯ 推杆的工作安全因数807 5.384150
cr st F n n F ===>=，因推杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数，所以可以安全工作。

9.15 某厂自制的简易起
重机如(a)图所示,其压杆BD 为
20号槽钢,材料为Q235 钢。

材
料的E= 200GPa,200p MPa σ=,a=304MPa,b=1.12 MPa ，240s MPa σ=。

起重机的最大起重量是W=40kN 。

若规定的稳定安全因数为5st n =,试校核BD 杆的稳定性。

解 应用平衡条件图(b)
()0A i M F =∑，()()32240101070001071.5sin 30 1.50.5
NBD W F N kN ⨯⨯====⨯ 查附录三型钢表得：232.837A cm =，4144y I cm =， 2.09y i cm =，
41910x I cm =
，7.64x i cm =。

由计算出Q235钢的
199.3λ=== 2304
57.11.12
s a b σλ-=== 压杆BD 的柔度( 设BD 杆绕y 轴弯曲失稳)
11 1.5/cos3082.90.0209
y y l
i μλλ⨯===< 因y λ均小于 1λ大于2λ，所以应当用经验公式计算临界载荷，即
()()()()4632.8410304 1.1282.910693000693cr cr y F A A a b N kN σλ-==-=⨯⨯-⨯⨯== 压杆的工作安全因数为：
693 6.485107
st n n ==>= BD 压杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数,故可以安全工作。

10.2 长为l 、横截面面积为A 的杆以加速度a 向上提
升。

若材料单位体积的质量为ρ，试求杆内的最大应力。

解 应用截面法,由下段的平衡条件可得任一截面
的轴力
0Nd F gAx Axa ρρ--=
解上式得：
()1/Nd F gAx a g ρ=+
任一截面上的应力
()1/Nd d F gx a g A
σρ==+ 当x l =时，杆内应力最大
()max 1/gl a g σρ=+
10.4 飞轮的最大圆周
速度v=25m/s,材料的单位体
积的质量是7.41×103kg/ m 3
,
若不计轮辐的影响,试求轮缘内的最大正应力。

解 若不计轮辐的影响,飞轮可视为均质的薄圆环。

设其截面积为A,密度为ρ,平均直径为D,以匀角速度ω旋转,因为是薄圆环,所以可近似地认为环内各点的向心加速度n a 相同，等于2/2D ω，于是沿轴线均匀分布的惯性离心力集度：
212
d n q A a A D ρρω== 如图(b)所示。

为了求环的内力，设想把环用过直径的平面截开，研究其一半的平衡，如图(c)所示,根据平衡条件，有
0iy F =∑， 02sin 2
Nd d d D F q d q D πϕϕ=⨯=⎰ 222124
d Nd q D F A D A v ρωρ=== 轮缘横截面的正应力
()()2
2327.4110254630000 4.63Nd d F A v v Pa MPa A A
ρσρ====⨯⨯==
11.1 火车轮轴受力情况如图(a)所示。

a=500mm,l =1435mm,轮轴中段直径d=15cm 。

若F=50kN,试求轮轴中段
截面边缘上任一点的最大应力
max σ,最小应力min σ,循环特征r,
并作出σ-t 曲线。

解 轮轴中段截面上的弯矩为常数，即
()3350100.52510M Fa N m ==⨯⨯=⨯
最大应力为：
()()3max 325107550000075.50.15/32
M Pa MPa W σπ⨯====⨯
最小应力为：
()min 75.5MPa σ=- 循环特征：min max
1r σσ==- 作t σ-曲线图如图( b)所示。

11.5 货车轮轴两端载荷F=110kN,材料为铬镍合金钢，500b MPa σ=，
1240MPa σ-=。

规定安全因
数 1.5n =。

试校核Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ
-Ⅱ截面的强度。

解 由平衡条件求得
110RA RB F F kN ==
两截面上任意一点为对称循环。

Ⅰ-Ⅰ截面:
弯矩：()10.0821100.0829.02M F kN m =⨯=⨯= 最大弯曲正应力：()()3max 39.02107290000072.90.108/32
M Pa MPa W σπ⨯====⨯ 由图(b)，D/d =133/108=1.23，R/d=20/108=0.185。

查附录四图3得有效应力集中因数 1.35K σ=
查附录四表1得尺寸因数0.7σε=
查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数：
()0.950.900.955004000.9375800400
β-=-⨯-=- 其工作安全因数为
1
1max 240 1.60 1.51.3572.90.70.9375
n n K σσσσσεβ-==
=>=⨯⨯ Ⅱ-Ⅱ截面:
弯矩：()()20.0820.0361100.11813M F kN m =⨯+=⨯= 最大弯曲正应力()()32max 313105630000056.30.133/32
M Pa MPa W σπ⨯====⨯ 查附录四图1,当D/d=146/133=1.098,R/d=40/133=0.3时,查附录四图3得有效应力集中因数 1.2K σ=
查附录四表1得尺寸因数0.68σε=
查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数
()0.850.800.855004000.8375800400
β-=-⨯-=- 其工作安全因数为
1
1max 240 2.03 1.51.256.20.680.8375
n n K σσσσσεβ-==
=>=⨯⨯ 因为Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的工作安全因数均大于规定的安全因数,故安全。