高三数学精选立体几何多选题达标提高题学能测试试卷

高三数学精选立体几何多选题达标提高题学能测试试卷
一、立体几何多选题
1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在
平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线1BB 与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若1
D N 与AB 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为椭圆
【答案】BC 【分析】
对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3
MND π
∠=
，3
ND =
，可知N 的轨迹是以D 为圆心，3
3
为半径的圆周； 【详解】
对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的
18，其面积2
14182
S ππ=⨯⨯=，故A 错误；
对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，
(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知
122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简整理得：22
34y x -=，即22
1
44
3
y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；
对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3
MND π
∠=，在直
角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
5
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM
AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯，
2222cos ||||
43
AP AC y PAC AP AC x y '
⋅+'∠=
='++⨯，即
222215
5
43
y x y +=
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
3．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成
SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．存在点E 和某一翻折位置，使得S
B SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC
C ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D ．存在点
E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】
依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则
//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，
计算得到
2
cos 3
α=
，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒
，计算得到5
tan θ=
，故D 正确，得到答案. 【详解】
当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，
这与已知矛盾，故B 错误；
如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，
取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，
1CE BF ==，125DG =
，12cos 5OG α=
，故只需满足12
sin 5
SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：
2
2
2
1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM
AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，
取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，
设OAG OAM θ∠=∠=，8
4
ππθ<<，则22
DAG π
θ∠=-，
tan tan 22DG OG
AG πθθ=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5
tan 5
θ=，验证满
足，故D 正确； 故选：ACD .
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能
力和空间想象能力.
4．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 所成的角的正切值为5 B
．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且11
3
PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】
构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EP
PA E AE
∠
=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有
11
2PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】
直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==
选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示
即有EP ⊥面111A B C
∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EP
PA E AE
∠
=
∵112EP BB =
，22111152
AE A B B E BB =+= ∴15
tan PA E ∠=
，故A 正确
选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示
由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥
而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又11
11A B B C B =
∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面1
1A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=
∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确
选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线
∴Q 为中位线的交点
∴根据中位线的性质有：
11
2
PQ QA =，故C 错误
选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时
当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan 30>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
5．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ2
3【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论.
对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()3133
BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出. 【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形，
∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确.
对于C.12
λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ，
则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=
+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()31231339
f λ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
6．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 的最小值为355
B ．DP 5
C ．1AP PC +6
D ．1AP PC +170 【答案】AD
【分析】 DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355
h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为
所求的最小值，易知11122,2,cos 10
AA AC AAC ''==∠=-， 所以217042222()105
AC '=+-⨯⨯⨯-=.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
7．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．线段BM 的长是定值
B ．存在某个位置，使1DE A
C ⊥
C ．点M 的运动轨迹是一个圆
D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE
【答案】AC
【分析】
取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．
【详解】
解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，
∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，
∴1MF A D ∥，
∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，
∴MF 平面1A DE ，
∵DF BE ∥且DF BE =，
∴四边形BEDF 为平行四边形，
∴BF DE ，
∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，
∴BF ∥平面1A DE ，
又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，
∴平面//BMF 平面1A DE ，
∵BM ⊂平面BMF ，
∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，
设22AB AD a ==，
则112MF A D a =
=，BF DE ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴
BM a ==，
即BM 为定值，所以A 正确，
∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵
DE CE ==
，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，
设1DE A C ⊥，
∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1
AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，
∵1A E ⊂平面1A CE ，
∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，
所以假设不成立，即B 错误.
故选:AC .
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．
8．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A ．11A C ⊥平面11B
B D D
B ．1BD ⊥平面1ACB
C ．1B
D 与底面11BCC B 2
D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条
【答案】ABD
【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．
【详解】
对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，
由于四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，
因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，
1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ，
1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥， 1AC
B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2
C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，
()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，
设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21
DA m
DA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122
111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341
y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-
由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±
因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。