高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形章末总结分层演练 文

第4章三角函数与解三角形
章末总结
一、点在纲上，源在本里
二、根置教材，考在变中 一、选择题
1．(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4
θ的值为( )
A ．4
9
B.59
C ．23 D.79
解析：选D.因为sin 2θ＝23，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2
θ
＝1－12sin 2
2θ＝1－12×49＝79
.故选D.
2．(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最
大值为1，则a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π
6＋cos x ＋a ＝3
sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋
π
6
)＋a ，所以f (x )max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A. 3．(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．
2
10
B ．－
210
C ．7210
D ．－7210
解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝3
5
，
cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－32
1＋32＝－45，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝
22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－2
10
.选B. 4．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图
象，则其解析式为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4.所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝－π
12
时，
y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1
，所以φ＝π6，A ＝2.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
故选D.
5．(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4
D.17
解析：选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22，所以sin C ＝223.由于C ＜90°，所以
cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32
－2×2×3×13
＝9，所以
c ＝3，故选B.
6．(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3a cos A
＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则a sin B ＝( )
A ．43
B.23
2 C ．423
D ．6 2
解析：选C.因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，
即3a cos A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 2
2ac
＝a ，
所以cos A ＝13，又0＜A ＜π.所以sin A ＝22
3.
又b ＝2，所以a sin B ＝b sin A ＝2×223＝42
3.故选C.
二、填空题
7．(必修4 P 146A 组T 5(1)改编)3sin 80°－1
cos 80°＝______．
解析：3sin 80°－1cos 80°＝3cos 80°－sin 80°
sin 80°cos 80°
＝
2⎝ ⎛⎭⎪
⎫32cos 80°－12sin 80°1
2
sin 160°＝
4sin （60°－80°）
sin 160°
＝
－4sin 20°
sin 20°
＝－4.
答案：－4 8．(必修5 P 20A 组T 11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .A ＝120°，
a ＝7，S △ABC ＝
15
4
3，则b ＋c ＝________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543
b 2＋
c 2－2bc cos 120°＝72
，
即⎩
⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2
＋bc ＝49，所以b 2＋c 2
＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：8
9．(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π
4)的下列结论：
①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π
2对称；
③f (x )的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，0对称；
④f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上单调递增；
⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π
8个单位得到．
其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．
解析：f (x )的最小正周期T ＝2π
12
＝4π.所以f (x )的一个周期为－8π.①正确．
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＝0，故②错误．③正确． 由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π
2，k ∈Z ，得
4k π－π2＜x ＜4k π＋3
2
π.
令k ＝0得，－π2＜x ＜32π.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，3π2.故④正确．
g (x )＝23
cos 12
x ＝23
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＋π2
＝23sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12()x ＋π， f (x )＝23
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝23sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，
所以g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝3
2π即可得到f (x )的图象．故⑤错误，即①③④
正确．
答案：①③④ 三、解答题
10．(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π
4处取得
最值，其中ω∈(0，2)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝4
3
－2，求cos α.
解：(1)f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2
ωx ＝2(sin
2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2， 由于f (x )在x ＝π4处取得最值，因此2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝2k ＋3
2，
因为ω∈(0，2)，所以ω＝3
2
，
因此，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，所以T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，
再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象，
故g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，
可得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，
因为α为锐角，所以－π6＜α－π6＜π
3，
因此cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＝53，
故cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝53×32－
23×12＝15－2
6
. 11．(必修5 P 20A 组T 13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求BC 的长；
(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S △ACE . 解：(1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m .
在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .
即1＋m 2
－2m cos ∠ADB ＝4，①
1＋m 2
＋2m cos ∠ADB ＝1.②
①＋②得m 2
＝32
，
所以m ＝
6
2
，即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得
AE
sin ∠ACE
＝
EC sin ∠EAC ，BE sin ∠BCE ＝EC
sin ∠CBE
，
由于∠ACE ＝∠BCE ， 且
BC
sin ∠BAC ＝AC sin ∠CBA ，所以AE BE ＝AC BC ＝66
.
所以BE ＝6AE ，所以AE ＝2
5
(6－1)．
又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）2
2×2×1
＝－14，所以sin ∠BAC ＝15
4，
所以S △ACE ＝1
2AC ·AE ·sin ∠BAC
＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。